高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册圆的方程当堂检测题

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1.掌握圆的标准方程，能根据圆心,半径写出圆的标准方程；
2.会用待定系数法求圆的标准方程；
3.会将一般式方程转化为标准方程.
1 圆的定义
平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径.
2 圆的方程
(1) 标准方程
x−a2+y−b2=r2，圆心(a , b)，半径为r.
(2) 一般方程
x2+y2+D x+E y+F=0 (D2+E2−4 F>0)
(3) 求圆方程的方法
(i) 待定系数法
先设后求.确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a , b , r；若利用一般方程，需要求出D , E , F；
(ii) 直接法
直接把圆心和半径求出.要注意多利用圆的几何性质，如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置.
3 点与圆的位置关系
(1) 设点到圆心的距离为d，圆半径为r，
a.点在圆内⇔ dr .
(2) 给定点M(x0 , y0)及圆 C:x−a2+y−b2=r2.
M在圆C内⇔x0−a2+y0−b2r2 .
(3) 某点M到圆⊙O上点N的距离
若点M在圆内，则MNmin=MN1=r−OM，MNmax=MN2=r+OM；
若点M在圆外，则MNmin=MN1=OM−r，MNmax=MN2=OM+r；

【题型 1求圆的方程 】
【典题】（1）已知A(−1 , 0)，B(3 , 2)，C(0 , −2)，则过这三点的圆方程为 .
【解析】方法一 待定系数法
设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，(设为标准方程也可以)
又由圆过A(−1 , 0)，B(3 , 2)，C(0 , −2)三点，
则有&1−D+F=0&13+3D+2E+F=0&4−2E+F=0，解得D=−3，E=0，F=−4，
则圆的标准方程为x2+y2−3x−4=0，即x−322+y2=254.
方法二 几何法
圆心是直线AB、AC的垂直平分线的交点，(根据外心的定义)
易得直线AB、AC的垂直平分线分别为y=−2x+3，y=12x−34，
由y=−2x+3y=12x−34，解得x=32 y=0，即圆心O(32,0)，
半径r=OC=32−02+0+22=52，(半径为圆心到任一点的距离)
故圆的标准方程为x－322+y2=254.
【典题】（2） 若圆C过点(0 , −1) , (0 , 5)，且圆心到直线x−y−2=0的距离为2 2 ，求圆C的标准方程.
【解析】方法一 几何法
∵圆C过点0 , −1 , 0 , 5，∴圆心的纵坐标为2，(画图很容易看得出来)则设圆心为(a , 2)，
则a−42=2 2，∴a=0或8，∴当a=0时，r=3；当a=8时，r=64+9=73；
∴圆C的标准方程为x2+y−22=9或x−82+y−22=73.
方法二 待定系数法
设圆的方程为x−a2+y−b2=r2，则a2+−1−b2=r2&a2+5−b2=r2|a−b−2|2=2 2，解得a=0b=2r=3或a=8b=2r=73 (消元求解)
∴圆C的标准方程为x2+y−22=9或x−82+y−22=73.
巩固练习
1. 过点A(1 , 1)， B(−3 , 5)，且圆心在直线2x+y+2=0上的圆的半径是 .
【答案】 x+22+y−22=10
【解析】设圆的标准方程为x－a2+y−b2=r2，因为圆过点A(1,1),B(－3,5)，且圆心在直线2x+y+2=0上，则有(1−a)2+(1−b)2=r2(−3−a)2+(5−b)2=r22a+b+2=0，解得a=−2b=2r=10，所以圆的半径是10．
2. 已知圆x2+y2+ax+by+1=0关于直线x+y=1对称的圆的方程为x2+y2=1，则a+b＝ .
【答案】−4
【解析】圆x2+y2=1的圆心是坐标原点(0,0)，半径为1，设(0,0)关于直线x+y=1的对称点为(m,n)，
则m2+n2=1mn=1，解得m=1n=1，则点(0,0)关于直线x+y=1对称的点的坐标为(1,1)，
所以圆x2+y2=1关于直线x+y=1对称的圆的方程为x－12+y−12=1，
化为一般式为x2+y2－2x－2y+1=0，所以a=b=－2，即a+b=－4．
3.圆心在直线y=x上，经过原点，且在x轴上截得弦长为2的圆的方程为 .
【答案】 x−12+y−12=2或x+12+y+12=2
【解析】画出圆A满足题中的条件，有两个位置，
当圆心A在第一象限时，过A作AC⊥x轴，又|OB|=2，
根据垂径定理得到点C为弦OB的中点，则|OC|=1，由点A在直线y=x上，
得到圆心A的坐标为(1,1)，且半径|OA|=2，
则圆A的标准方程为：x－12+y－12=2；
当圆心A'在第三象限时，过A'作A'C'⊥x轴，又|OB'|=2，
根据垂径定理得到点C'为弦OB'的中点，则|OC'|=1，由点A'在直线y=x上，
得到圆心A'的坐标为(－1,－1)，且半径|OA'|=2，
则圆A'的标准方程为：x+12+y+12=2，
综上，满足题意的圆的方程为：x－12+y−12=2或x+12+y+12=2．
【题型 2 点与圆的位置关系】
【典题】(1) 若实数x,y满足x2+y2+4x−2y−4=0，则x2+y2的最大值是 .
【解析】方法1 几何法
x2+y2+4x−2y−4=0即x+22+y−12=9，它表示一个圆心M(−2,1)，半径r=3的圆⊙M，
而x2+y2=(x−0)2+(y−0)2表示圆上的点N(x,y)与原点O(0,0)之间的距离，
(则本题就是求原点到圆上点距离的最大值)
结合图形知，ONmax=OM+r=5+3，即x2+y2的最大值是5+3．
方法2 三角代换法
x2+y2+4x−2y−4=0即x+22+y−12=9，
设x=3sinα−2，y=3csα+1，
则x2+y2=(3sinα−2)2+(3csα+1)2=14−6(2sinα+csα)
而−5≤2sinα+csα≤5 (由辅助角公式可得)
∴14−6(2sinα+csα)的最小值为14+65=5+3.
【点拨】 方法1是从几何的角度入手，确定方程为圆的方程，根据两点距离公式确定x2+y2是线段ON的长度，则问题转化为圆外一点到圆上点的距离最值问题.方法2是三角代换法，圆x−a2+y−b2=r2的参数方程为x=rcsθ+ay=rsinθ+b(θ∈R是参数)，它是求最值问题的一大技巧.
【典题】(2) 若点P的坐标是(5csθ,4sinθ)，圆C的方程为x2+y2=25，则点P与圆C的位置关系是( )
A．点P在圆C内B．点P在圆C上
C．点P在圆C内或圆C上D．点P在圆C上或圆C外
【解析】∵点P的坐标是(5csθ,4sinθ)，∴5csθ2+4sinθ2=16+9cs2θ≤25，∴点P与圆C的位置关系是点P在圆C内或圆C上，故选：C．
巩固练习
1. 设点M(x0 , 1) , 若圆O:x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=30∘，那x0的取值范围 ．
【答案】−3≤ x0≤3
【解析】过M作⊙O切线交⊙O于R，根据圆的切线性质，有∠OMR≥∠OMN．
∴若圆O上存在点N，使∠OMN=30°，则∠OMR≥30°．
∵|OR|=1，∴|OM|＞2时不成立，∴|OM|≤2，
即OM2=x02+1≤ 4，解得−3≤ x0≤3.
2.如果圆x−a2+y−a2=8上总存在到原点的距离为2的点，那实数a的取值范围 ．
【答案】 −3,−1∪[1,3]
【解析】 圆x−a2+y−a2=8半径r=2 2，圆心A(a，a)到原点O的距离OA=|2a|，
若由圆x−a2+y−a2=8上总存在点到原点的距离为2，∴ 2 2−2≤2a≤ 2 2+2，
∴1≤|a|≤3，解得 1≤a≤3或−3≤a≤−1．∴实数a的取值范围是[−3，−1]∪[1，3]．

3.在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C：x2+y2+2mx−2y+m2−4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为 ．
【答案】 49,4
【解析】点P(0,1)在圆C：x2+y2+2mx－2y+m2－4m+1=0内，
∴1－2+m2－4m+1