人教A版 (2019)选择性必修 第一册直线的方程课后作业题

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1. 掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)
2.了解斜截式与一次函数的关系.
1 直线方程的几种形式
2 易错点
(1) 利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.
(2) 截距与距离的区别：截距的值有正、负、零.距离的值是非负数.
(3) 用截距式方程表示直线时，要注意方程的条件限制为两个截距均不能为零.
3常用结论
1.经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示;
2.直线Ax+By+C=0,
(1)当B=0时,直线的斜率不存在;当B≠0时,直线的斜率k=-AB,直线在y轴上的截距为-CB.
(2)当A=0时,直线在x轴上的截距不存在;当A≠0时,直线在x轴上的截距为-CA.
【题型 1求直线方程】
【典题】
（1） 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0 , 2)， B(−2 , 0)， C(1 , 0)，分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为 ，直线FH的一般式方程为 ．
【解析】(求点H坐标相当求点H到x、y轴距离，用几何知识点求解；
再求出点H便可求直线FH方程)
分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM=OC，MH=OA，
∵A(0 , 2)， C(1 , 0)，
∴MH=OA=2 ，AM=OC=1，可得OM=OA+AM=3，
由此可得H坐标为(2 , 3)，同理得到F(−2 , 4)，
∴直线FH的斜率为k=4−3−2−2=−14，
可得直线FH的方程为y−3=−14(x−2)，化简得x+4y−14=0．
【点拨】根据题意，可知点F、H是确定的，求出两点坐标再求直线FH方程就不难了.本题利用平几知识点求出点F、H的坐标.
（2）根据所给条件求直线方程
(1) 直线过点A(1 , 2)，倾斜角α的正弦值为35；
(2) 直线过点A(1 , 3)，且在两坐标轴上的截距之和为8；
(3) 直线过点A(2 , 4)，B(−2 , 8).
【解析】 (1) ∵sinα=35，∴k=tanα=±34，则直线方程为y−2=±34x−1，(已知斜率与一点，采取点斜式)即3x−4y+5=0或3x+4y−11=0.
(2) (x、y轴上的截距都涉及到，优先考虑截距式) 依题意得，直线的横截距、纵截距均不为0，
可设直线方程为xm+y8−m=1，代入点A(1 , 3)，可得1m+38−m=1，解得m=2或m=4，
所以所求直线方程为x2+y6=1或x4+y4=1，即所求直线方程为3x+y−6=0或x+y−4=0.
(3) (已知直线过两点，可先求出斜率再用点斜式)直线斜率k=4−82−(−2)=−1，
则所求直线方程为y−4=−(x−2)，整理得x+y−6=0
巩固练习
1.【多选题】下列有关直线l：x+my−1=0(m∈R)的说法中不正确的是( )
A．直线l的斜率为−mB．直线l的斜率为−1m
C．直线l过定点(0 , 1)D．直线l过定点(1 , 0)
【答案】 ABC
【解析】当m≠0时，直线l的方程可变为y=−1m(x－1)，其斜率为−1m，过定点(1,0)，当m=0时，直线l的方程变为x=1，其斜率不存在，过点(1,0)，故AB不正确，D正确，将点(0,1)代入直线方程得m－1=0，故只有当m=1时直线才会过点(0,1)，即C不正确，故选：ABC．
2. 已知直线mx+3y−12=0在两个坐标轴上截距之和为7，则实数m的值为 .
【答案】 4
【解析】令x=0，可得y=4，令y=0，可得x=12m，∵直线mx+3y－12=0在两个坐标轴上截距之和为7，∴4+12m=7，∴m=4，
3.若直线过点(1 , 1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有 条.
【答案】 3
【解析】设直线l的截距式为xa+yb=1，∵直线l经过点(1,1)，且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，
∴&1a+1b=1&12|ab|=2，解得a=b=2，或a=2+22,b=2－22，或a=2－22,b=2+22直线l的条数为3．
4.已知等边△ABC的两个顶点A(0 , 0) , B(4 , 0)，且第三个顶点在第四象限，则BC边所在的直线方程是 .
【答案】y=3(x−4)
【解析】如图所示：xC=2，yC=−2tan60°=－23，∴C(2,－23)．
∴BC边所在的直线方程是y=−23−02−4(x−4)，即y=3(x－4)．
【题型 2 直线方程的综合运用】
【典题】设直线l：3+2λx+4+λy−19−6λ=0 , (λ∈R)．
(1)求证：直线l恒过定点M，并求出定点M坐标；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(3)设直线l与x轴、y轴的正半轴交于点A , B，求当|MA||MB|(点M为(1)中的定点)取得最小值时直线l的方程．
【解析】1直线方程化为3x+4y−19+λ(2x+y−6)=0
由3x+4y−19=02x+y−6=0，解得x=1y=4，则定点M为(1 , 4)．
(λ视为参数，过定点的意思是"不管λ取什么值，方程3x+4y−19+λ(2x+y−6)=0均成立"，故先把λ提取出来，满足"0+λ⋅0=0"这一形式即可，故3x+4y−19=02x+y−6=0)
(2) (截距相等，有可能两个截距均为0，故要分类讨论)
当直线过原点时，−19−6λ=0 , 则λ=−196 , 此时直线的方程为4x−y=0．
当直线不过原点时，则3+2λ=4+λ，解得λ=1，所求直线为x+y−5=0．
综上，直线方程为4x−y=0或x+y−5=0．
(3)设A(a , 0)，B(0 , b)(a>0 , b>0) ，方法1 则直线l的方程可设为xa+yb=1，
又直线l过点M(1 , 4) , 则1a+4b=1，MAMB=AM∙MB
(利用数量积AM∙MB=MAMBcs0=MAMB
把“两线段乘积“变成”向量坐标“处理简单多了)
=1−a , 4−1 , b−4=a+4b−17
=a+4b1a+4b−17 (基本不等式巧1法)
=4ba+4ab≥24ba⋅4ab=8，
当且仅当4ba=4ab且1a+4b=1，即a=b=5时等号成立，此时直线方程为x+y−5=0．
方法2 设直线l的倾斜角为α，由已知可知α∈(π2,π)，
如图，MB=4sin⁡(π−α)=4sinα，MA=1cs⁡(π−α)=−1csα，
(通过图象观察引入变量α表示MAMB)
则MAMB=−4sinα∙csα=−8sin2α，
∵α∈(π2,π) ∴−1≤sin2α0时，由于m+2m≥22，PA•PB的最小值为：|42−422−3|=42−43−22=4(1+2)；当且仅当m=2时取等号．即k=2−1．
当m4(2−1)，2>42−1,
故PA•PB的最小值为：4(2−1).
名称
方程的形式
已知条件
局限性
点斜式
y−y1=k(x−x1)
(x1 , y1)为直线上一定点
k为斜率
不包括垂直于x轴的直线
斜截式
y=kx+b
k为斜率
b是直线在y轴上的截距
不包括垂直于x轴的直线
两点式
y−y1y2−y1=x−x1x2−x1
经过两点(x1 , y1) , (x2 , y2)
且(x1≠x2 , y1≠y2)
不包括垂直于x轴和y轴的直线
截距式
xa+yb=1
a是直线在x轴上的非零截距
b是直线在y轴上的非零截距
不包括垂直于x轴和y轴或原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
A , B , C为系数
无限制，可表示任何
位置的直线
一、单选题
1．若表示两条直线，则实数的值为（ ）
A．3B．2C．1D．0
【答案】B
【分析】由题可得方程左边一定可以表示为两个一次式的乘积，设比较系数可求出.
【详解】若表示两条直线，则其左边一定可以表示为两个一次式的乘积，又因缺少项，则可设，即，
则，解得.故选：B.
2．直线与直线垂直，垂足为，则
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：根据两直线垂直可得，然后将点的坐标代入直线可得，同理可得，于是可得．
详解：∵直线与直线垂直，
∴，∴，∴直线方程即为．
将点的坐标代入上式可得，解得．
将点的坐标代入方程得，解得．
∴．故选B．
3．若直线在第一、二、三象限，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】易知直线的斜率存在,将直线ax+by+c=0变形为y=-x-,如图所示.数形结合可知
即ab