2025年春九年级数学下册 期末综合测试卷（沪科安徽版）

这是一份2025年春九年级数学下册 期末综合测试卷（沪科安徽版），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1. 数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何的研究对象之一，下列数学曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
2. 文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是( )
3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝40°，则∠D＝( )
A．80° B．50° C．40° D．20°
4．从eq \f(36,7)，3.14，eq \r(5)，－eq \r(3,8)中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D．1
5．如图，A，B是⊙O上的点，∠AOB＝120°，C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，若⊙O的半径为5，则四边形ACBO的面积为( )
A．25 B．25eq \r(,3) C.eq \f(25\r(,3),4) D.eq \f(25\r(,3),2)
6. A、B、C三名同学玩“抢凳子”游戏．他们所站的位置围成△ABC，在他们中间放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜，为保证游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的( )
A．三边垂直平分线的交点处 B．三边中线的交点处
C．三条角平分线的交点处 D．三边高的交点处
7．如图，点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)，将线段AB绕点O按顺时针方向旋转得到对应线段A′B′，若点A′恰好落在x轴上，则点B′到x轴的距离为( )
A.eq \f(4\r(,5),5) B.eq \f(8\r(,5),5) C.eq \f(3\r(,6),5) D.eq \f(8\r(,6),5)
8．如图，网格纸中每个小正方形的边长均为1，以小正方形的顶点为圆心，2为半径做了一个扇形，用该扇形围成一个圆锥的侧面，针对此做法，小明和小亮通过计算得出以下结论：小明说此圆锥的侧面积为eq \f(5,6)π；小亮说此圆锥的底面周长为eq \f(5,3)π，下列判断正确的是( )
A．只有小亮对 B．只有小明对 C．两人都对 D．两人都不对
9. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算圆的面积，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.141 6.若圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形的面积近似估计圆的面积，可得π的估计值为3.如图，若用半径为1的圆的内接正八边形的面积作近似估计，可得π的估计值为( )
A.eq \f(33,2) B．2eq \r(,2) C．2eq \r(,3) D.eq \f(8,3)
10．如图，已知直线y＝eq \f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，P是以C(0，1)为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA，PB，则△PAB面积的最大值是( )
A．8
B．12
C.eq \f(21,2)
D.eq \f(17,2)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．青年创意田园里的小火车共有3节车厢，且从任意一节车厢上车的机会均等，研学游期间团小瑶、团小海两位同学同时乘坐同一列小火车，则这两位同学从同一节车厢上车的概率是__________．
12．如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠eq \(AC,\s\up8(︵))后，恰好经过点O，则∠AOC等于________．
13．如图，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去eq \f(1,3)圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为________．
14．2024·河南如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝3，线段CD绕点C在平面内旋转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD＝1，则AE的最大值为________，最小值为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．如图所示为一个几何体的三视图．
(1)写出这个几何体的名称；
(2)求该几何体侧面展开图的面积．
16．一个不透明的盒子里有3个相同的小球，将3个小球分别标上号码1、2、3，每次从盒子里随机取出1个小球且取后放回，预计取球10次．规定每次取球时，取出的球上的号码即为得分，前8次的取球得分情况如下表所示：
(1)设第1次至第8次取球得分的平均数为n，求n的值；
(2)求事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17. 玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扁圆形器物，据《尔雅·释器》记载“肉好若一，谓之环”，其中“肉”指玉质部分(边)，“好”指中央的孔．结合图①“肉好若一”的含义可以表示为：中孔直径d＝2h.图②是一枚破损的汉代玉环，为修复原貌，需推算出该玉环的孔径尺寸．如图③，文物修复专家将破损玉环的外围边缘表示为弧AB，设弧AB所在圆的圆心为O，测得弧AB所对的弦AB＝12 cm，半径OC⊥AB于点D，测得CD＝3 cm，连接OB，求该玉环中孔半径的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(－2，2)，B(－1，4)，C(－4，5)，请解答下列问题：
(1)若△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知点C1的坐标为(1，0)，作出△A1B1C1并写出其余两个顶点的坐标；
(2)将△ABC绕点O按顺时针方向旋转90°得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
(3)若将△A1B1C1绕某一点P旋转也可得到△A2B2C2，直接写出旋转中心点P的坐标．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．九年级数学课外小组在开展活动时，设计了这样一个数学活动．有A、B 两组卡片，每组各3张，A组卡片上分别写有1，3，5；B组卡片上分别写有－3，－2，－1.每张卡片除正面写有的数字不同外，其余均相同．甲从A组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为x，乙从B组中随机抽取一张，将上面所写的数字记为y.
(1)若甲抽出的数字是1，乙抽出的数字是－3，它们恰好是x－my＝7的解，求m的值；
(2)在(1)的条件下，求甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率．

20．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA交BC于点D.
(1)求证：∠OAC与∠B互余；
(2)若AD＝6，BD＝10，CD＝8，求⊙O的半径．
六、(本题满分12分)
21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点O在对角线BD上，以点O为圆心，OB的长为半径作⊙O交BC于点E，连接DE.
(1)当⊙O的半径为eq \f(15,4)时，⊙O与直线AD的位置关系是怎样的？请说明理由；
(2)若DE是⊙O的切线，请求出线段DE的长．
七、(本题满分12分)
22．为了培养学生学习数学的兴趣，激发学生学习潜能，学校准备开展“爱数学、用数学”夏令营活动．学校对各班参加夏令营的学生人数情况进行了统计．已知全校共1 000名学生，统计发现各班参加夏令营的学生人数有2名、3名、4名、5名、6名，共五种情况，并将其制成了如图所示的两幅不完整的统计图：
(1)该校一共有________个班，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是________；
(2)请将条形统计图补充完整；
(3)为了了解学生在这次活动中的感受，学校准备从只有2名学生参加夏令营的班级中任选两名学生参加活动总结会，请用列表或画树状图的方法，求所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率．
八、(本题满分14分)
23．如图①，在正方形ABCD中，P是边BC上的动点，点E在△ABP的外接圆上，且位于正方形ABCD的内部，连接AE，EP，EA＝EP.
(1)求证：△PAE是等腰直角三角形；
(2)如图②，连接DE，过点E作EF⊥BC于点F，请探究线段DE与PF的数量关系，并说明理由；
(3)若DE＝4，当点P是BC的三等分点时，求BC的长．
答案
一、1.C 【点拨】A.是轴对称图形，不是中心对称图形；B.是轴对称图形，不是中心对称图形；C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意；D.是轴对称图形，不是中心对称图形．故选C.
2 .C
3. B 【点拨】∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∵∠BAC＝40°，∴∠B＝50°.
∴∠D＝∠B＝50°.
故选B.
4 .A 【点拨】从eq \f(36,7)，3.14，eq \r(5)，－eq \r(3,8)中随机抽取一个数共有4种等可能的结果，抽到无理数的结果只有eq \r(5)这1种，所以此数是无理数的概率是eq \f(1,4).故选A.
5. D 【点拨】连接OC，
∵C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，∠AOB＝120°，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴S四边形AOBC＝2×eq \f(\r(3),4)×52＝eq \f(25eq \r(3),2)．
故选D.
【点方法】根据在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等得到∠AOC＝∠BOC＝60 °，易得△OAC和△OBC都是等边三角形，利用等边三角形的面积公式即可解决问题．
6. A 【点拨】为使游戏公平，应使凳子到三名同学的距离相等，利用线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等可知，凳子应放在三边垂直平分线的交点处．
故选A.
7. B 【点拨】如图，连接OA，OB′，过点B′作B′H⊥x轴于点H，过点A作AT⊥OB于点T.
∵点A的坐标为(－2，1)，点B的坐标为(0，4)，
∴AT＝2，OT＝1，OB＝4，
∴OA＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，
∴OA′＝OA＝eq \r(5)，
由题易知S△OA′B′＝S△OAB＝eq \f(1,2)×4×2＝4，
∴eq \f(1,2)OA′·B′H＝4，
∴B′H＝eq \f(2×4, eq \r(5))＝eq \f(8eq \r(5),5)，
∴点B′到x轴的距离为eq \f(8eq \r(5),5)．
故选B.
8. A 【点拨】如图，由题意知，
OB＝2，OA＝1，∠OAB＝90°，
∵cs∠AOB＝eq \f(OA,OB)＝eq \f(1,2)，
∴∠AOB＝60°，
∴该扇形的圆心角为60°＋90°＝150°，
∴S扇形＝eq \f(150×π×22,360)＝eq \f(5,3)π，l扇形＝eq \f(150×π×2,180)＝eq \f(5,3)π，
∴圆锥的侧面积为eq \f(5,3)π，圆锥的底面周长为eq \f(5,3)π，
∴小明不对，小亮对．
故选A.
9. B 【点拨】如图，过点A作AC⊥OB于点C，
∵用半径为1的圆的内接正八边形面积作近似估计，
∴∠AOB＝45°，OA＝1，
∴AC＝eq \f(5,3)，
∴△AOB的面积为eq \f(1,2)×1×eq \f(eq \r(2),2)＝eq \f(eq \r(2),4))，
∴正八边形的面积为8×eq \f(eq \r(2),4)＝2eq \r(2)，
∴π的估计值为2eq \r(2)．
故选B.
【点方法】作AC⊥OB于点C，利用等腰直角三角形的性质求出△AOB的面积，从而得出正八边形的面积，进而解决问题．
10. C 【点拨】过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图，
∵直线y＝eq \f(3,4)x－3与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴易得A点的坐标为(4，0)，B点的坐标为(0，－3)，
∴OA＝4，OB＝3，由勾股定理得AB＝5.
∵C(0，1)，∴BC＝4.
由三角形面积公式得S△ABC＝eq \f(1,2)AB·CM＝eq \f(1,2)BC·OA，
∴5CM＝16，∴CM＝eq \f(16,5)，
∴⊙C上点到直线y＝eq \f(3,4)x－3的最大距离是1＋eq \f(16,5)＝eq \f(21,5)，
∴△PAB面积的最大值是eq \f(1,2)×5×eq \f(21,5)＝eq \f(21,2).
【点技巧】本题考查线圆最值问题，当动点P、圆心C和垂足M三点共线时，点P到直线的距离取得最大值或最小值. )
二、11.eq \f(1,3) 【点拨】3节车厢用A、B、C表示，根据题意画树状图如图：
所有等可能的情况有9种，其中两位同学从同一节车厢上车的情况有3种，∴P＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
故答案为eq \f(1,3).
12. 120° 【点拨】如图，设点O关于直线AC的对称点是Q，连接AQ，OQ，OQ交AC于点M，
则AC垂直平分OQ，
∴AQ＝AO，OM⊥AC.
又∵OQ＝OA，
∴OQ＝AQ＝OA，
∴△AQO是等边三角形，
∴∠AOQ＝60°，
∵OM⊥AC，OA＝OC，
∴∠COQ＝∠AOQ＝60°，
∴AOC＝60°＋60°＝120°.
13. 3eq \r(,5)cm 【点拨】设圆锥的底面圆的半径为r cm，根据题意得2π·r＝eq \f(240×π×9,180)，解得r＝6，所以这个圆锥的高为eq \r(92－62)＝3eq \r(,5)(cm)．
14.2eq \r( ,2)＋1；2eq \r( ,2)－1 【点拨】∵BE⊥AE，
∴∠BEA＝90°，
∴点E是在以AB为直径的圆上运动．
∵CD绕点C旋转，且CD＝1，
∴点D是在以C为圆心，1为半径的圆上运动．
由题易得AB＝eq \r( ,2)AC＝3eq \r( ,2)，AE＝AB·cs∠BAE，
∴当cs∠BAE最大时，AE最大；
当cs∠BAE最小时，AE最小．
①如图①，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC内部时，∠BAE最小，∴cs∠BAE最大，∴AE最大，连接CE.
∵AE与⊙C相切于点D，∴∠ADC＝∠CDE＝90°，
∴AD＝eq \r( ,AC2－CD2)＝2eq \r( ,2).
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°.
∵eq \(AC,\s\up8(︵))＝eq \(AC,\s\up8(︵))，
∴∠CEA＝∠CBA＝45°，
∴DE＝CD＝1，
此时AE＝2eq \r( ,2)＋1，即AE的最大值为2eq \r( ,2)＋1.
②如图②，当AE与⊙C相切于点D，且点D在△ABC外部时，∠BAE最大，∴cs∠BAE最小，∴AE最小，连接CE.
同理可得AD＝2eq \r( ,2)，DE＝1，
此时AE＝2eq \r( ,2)－1，即AE的最小值为2eq \r( ,2)－1.
三、15.【解】(1)这个几何体的名称为圆锥．
(2)底面周长为π×8＝8π(cm)，
母线长为eq \r(82＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,2)))2)＝4eq \r(,5) (cm)，
∴该几何体侧面展开图的面积为eq \f(1,2)×4eq \r(,5)×8π＝16eq \r(,5)π(cm2)．
16.【解】(1)n＝(2＋1＋1＋2＋2＋3＋2＋3)÷8＝2.
(2)第9次和第10次取球得分的平均数等于n也就是两次取出的球上的数的和为4，用列表法列出所有可能出现的情况如下：
共有9种等可能的情况，其中和为4的有3种，
∴P(两数和为4)＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3)，
∴事件“第9次和第10次取球得分的平均数等于n”发生的概率为eq \f(1,3).
四、17.【解】∵OC⊥AB，
∴AD＝DB＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×12＝6(cm)．
设OB＝OC＝r cm，
在Rt△ODB中，由勾股定理得，OB2＝OD2＋BD2，
∴r2＝(r－3)2＋62，∴r＝7.5.
∴由题意得该玉环中孔半径的长为eq \f(1,2)×7.5＝3.75(cm)．
18. 【解】(1)△A1B1C1如图所示．
点A1(3，－3)，点B1(4，－1)．
(2)△A2B2C2如图所示．
(3)P(5，0)． 【点拨】如图，点P即为所求的旋转中心，
∴旋转中心点P的坐标为(5，0)．
【点方法】由旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上，即点P是A1A2、B1B2、C1C2这三条线段的垂直平分线的交点．)
五、19.【解】(1)∵x＝1，y＝－3是x－my＝7的解，∴1－(－3m)＝7，∴m＝2.
(2)列表如下：
共有9种等可能的情况，其中是方程x－2y＝7的解的有(1，－3)，(3，－2)，(5，－1)，共3种，
∴甲、乙随机抽取一次的数恰好是方程x－my＝7的解的概率为eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).
20.(1)【证明】如图，延长AO交⊙O于点E，连接CE，
∵AE是圆的直径，∴∠ACE＝90°，
∴∠OAC＋∠E＝90°，
∵∠B＝∠E，∴∠OAC＋∠B＝90°，
即∠OAC与∠B互余．
(2)【解】∵∠B＝∠E，∠ADB＝∠CDE，
∴△ADB∽△CDE，∴eq \f(AD,DB)＝eq \f(CD,DE)，即eq \f(6,10)＝eq \f(8,DE)，
∴DE＝eq \f(40,3)，∴AE＝eq \f(40,3)＋6＝eq \f(58,3)，
∴⊙O的半径为eq \f(1,2)×eq \f(58,3)＝eq \f(29,3).
六、21.【解】(1)⊙O与直线AD相切．
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，
∴在Rt△ADB中，BD＝eq \r(,AB2＋AD2)＝10.
∵⊙O的半径为eq \f(15,4)，∴BO＝eq \f(15,4)，
∴DO＝BD－BO＝eq \f(25,4).
如图，过点O作OF⊥AD于点F，
∴OF∥AB，
∴△DFO∽△DAB，
∴eq \f(OF,BA)＝eq \f(DO,DB)，即 eq \f(OF,6)＝eq \f(\f(25,4),10)，
∴OF＝eq \f(15,4).∵⊙O的半径为eq \f(15,4)，
∴⊙O与直线AD相切．
(2)如图，连接OE，

∵DE是⊙O的切线，
∴OE⊥DE，∴∠OEB＋∠DEC＝90°，
在矩形ABCD中，
∵∠C＝90°，BC＝AD＝8，
DC＝AB＝6，
∴∠DEC＋∠EDC＝90°，∴∠OEB＝∠EDC.
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠DBC，∴∠EDC＝∠DBC，
∴cs∠EDC＝eq \f(DC,DE)＝cs∠DBC＝eq \f(BC,BD)，
∴eq \f(6,DE)＝eq \f(8,10)，∴DE＝eq \f(15,2).
七、22. 【解】(1)20；90° 【点拨】该校一共有的班级数为6÷30%＝20(个)，在扇形统计图中，参加夏令营的学生人数为5名的班级数所对应的扇形圆心角的度数是360°×eq \f(5,20)＝90°.
(2)参加夏令营的学生人数为2名的班级数为20－5－6－5－2＝2(个)，
将条形统计图补充完整如图．
(3)把参加夏令营的学生人数为2名的其中一个班级的学生记为A、B，另一个班级的学生记为C、D，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中所选的两名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，
∴所选的两名学生恰好来自同一个班级的概率为eq \f(4,12)＝eq \f(1,3).
八、23.(1)【证明】∵点E在△ABP的外接圆上，
∴四边形ABPE内接于圆，
∴∠AEP＋∠B＝180°，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝90°，
∴∠AEP＝90°，
又∵EA＝EP，∴△PAE是等腰直角三角形．
(2)【解】DE＝eq \r(,2)PF.
理由如下：如图，延长FE交AD于点H，
∵EF⊥BC，BC∥AD，
∴EH⊥AD，
∴∠AHE＝∠EFP＝90°，
∴∠EAH＋∠AEH＝90°.
∵∠AEP＝90°，
∴∠PEF＋∠AEH＝90°，
∴∠EAH＝∠PEF，
又∵EA＝EP，∴△EAH≌△PEF，
∴AH＝EF，EH＝PF.
∵AD＝DC＝HF，∴AH＋HD＝EF＋HE，
∴HD＝HE＝PF，∴DE＝eq \r(,2)HE＝eq \r(,2)PF.
(3)【解】由(2)知DE＝eq \r(,2)PF.
∵DE＝4，∴PF＝2eq \r(,2)．
∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝∠HDC＝90°，
∵EH⊥AD，∴∠EHD＝∠C＝∠HDC＝90°，
∴四边形HDCF是矩形，∴FC＝HD＝PF＝2eq \r(,2)，
∴PC＝PF＋FC＝4eq \r(,2)．
∵点P是BC的三等分点，
∴BC＝3PC＝12eq \r(,2)或 BC＝eq \f(3,2)PC＝6eq \r(,2)．
【点方法】本题为考查圆的综合题，同时也考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，解答本题需要我们熟练运用各部分的知识，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来.
次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
得分
2
1
1
2
2
3
2
3
第9次
1
2
3
第10
次
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
乙
－3
－2
－1
甲
1
(1，－3)
(1，－2)
(1，－1)
3
(3，－3)
(3，－2)
(3，－1)
5
(5，－3)
(5，－2)
(5，－1)