2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）八年级试题

这是一份2025年5月夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛省级选拔模拟卷（三）八年级试题，共9页。试卷主要包含了填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．请你自己画图：画一个△ABC，三个顶点分别标上A，B，C，在BC边上任意取三个点(都不是B，C)，记为P，Q，R，在CA边上任意取两个点(都不是C，A)，记为M，N。连结线段AP，AQ，AR和BM，BN，这时你画的图中一共有 个三角形。
2．设a+b=1，a2+b2=2，那么a7+b7的值是 。
3．在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠DAE=60°，AE交∠C的外角平分线于点E，那么△ADE是 三角形。
4．设正整数a，b，c，d满足条件ab=bc=cd=58，则a+b+c+d的最小值是 。
5．已知n是正整数，且n4-16n2+100是质数，那么n= 。
6．有一个正在向上匀速移动的自动扶梯，旅客A从其顶端往下匀速行至其底端，共走了60级，B从其底端往上匀速行至其顶端，共走了30级(扶梯行驶，两人也在梯上行走，且每次只跨1级)，且A的速度(即单位时间所走的级数)是B的速度的3倍，那么自动扶梯露在外面的级数是 。
7．已知一个矩形的长、宽分别为正整数a，b，其面积的数值等于它周长数值的2倍，则a+b= 。
8．已知实数x，y满足(2x+1)2+y2+(y−2x)2=13，那么x+y的值 。
二、计算题（每题10分，共计20分）
9．先化简，再求值：(a+3)(a−3)−a(a−4)，其中a=12
10．先化简，再求值：x2−2x+1x+1÷x−1x2+x+x其中x=2−1
三、解答题（第11-13题各12分，第14-15题各15分，共计66分）
11．已知a>0，b>0，且a+b=2，求a2+ba2+b2的最大值。
12．在抗击“SARS”的过程中，某厂甲、乙两工人按上级指示同时做一批等数量的防护服。开始时，乙比甲每天少做3件，到甲、乙两人都剩下80件时，乙比甲多做了2天，这时，甲保持工作效率不变，乙提高了工作效率后比原来每天多做5件，这样甲、乙两人同时完成了任务。求甲、乙两人原来每天各做多少件防护服？
13．某班有学生36人，现从中选出2人去完成一项任务，设每人当选的可能性都相等。若选出的2人性别相同的概率是12，求该班男生、女生的人数。
14．如图，四边形ABCD是梯形，点E是上底边AD上一点，CE的延长线与BA的延长线交于点F，过点E作BA的平行线交CD的延长线于点M，BM与AD交于点N。证明：∠AFN=∠DME。
15．小明和哥哥在环形跑道上练习长跑，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔25s钟相遇一次。现在，他们从同-起跑点沿相同方向同时出发，经过25min哥哥追上了小明，并且比小明多跑了20圈，求：
（1）哥哥速度是小明速度的多少倍？
（2）哥哥追上小明时，小明跑了多少圈？
答案解析部分
1．【答案】42
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：如图，
可以数得出的三角形有两类，
第一类：有一个顶点为A，个数=3×10=30(个)(从AB，AP，AQ，AR，AC中任意取两条，再从BN，BM，BC中任意取一条)；
第二类：不以A为顶点的三角形，个数=3×4=12(个)(从BN，BM，BC中任意取两条，从AP，AQ，AR，AC中，任意取一条)；
共30+12=42(个)
故答案为：42.
【分析】如图，可以数得出的三角形有两类，第一类：有一个顶点为A；第二类：不以A为顶点的三角形，分别求解即可.
2．【答案】718​​​​​​​
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵a+b=1，a2+b2=2，
∴ab=12[(a+b)2−(a2+b2)]=12(1−2)=−12
a3+b3=(a+b)(a2+b2−ab)=2−(−12)=52
a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2=4−2×14=72
又∵(a3+b3)(a4+b4)=a7+b7+a3b4+a4b3=a7+b7+a3b3(a+b)=a7+b7−18，
即a7+b7−18=354，
∴a7+b7=354+18=718
故答案为：718.
【分析】a7+b7可由a3+b3，a4+b4，ab变换得到，应寻找、尝试通过变换得到a7+b7.
3．【答案】等边
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：过D作AC的平行线交AB于P，
∴△BDP为等边三角形，BD=BP
∴AP=CD，
∵∠BPD为△ADP的外角，
∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°，
而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°，
∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°，
∴∠DAP=∠EDC，
在△ADP和△DEC中，
∠DAP=∠EDCAP=DC∠APD=∠DCE
∴△ADP≌△DEC(ASA)，
∴AD=DE
∵∠ADE=60°
∴△ADE是等边三角形
故答案为：等边.
【分析】由题意知△ADP≌△DEC，可得AD=AE，即可证明△ADE是等边三角形.
4．【答案】1157
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【解答】解：∵a、b、c、d 为正整数，
∴a+b+c+d是正整数，
由已知b=85a，c=6425a，d=512125a，原式=1157125a，
当a=125时，最小值为1157，
故答案为：1157.
【分析】由已知b=85a，c=6425a，d=512125a，在根据题意a+b+c+d是正整数，从而得到答案.
5．【答案】3
【知识点】整式的混合运算；质数与合数
【解析】【解答】解：n4-16n2+100=n4+20n2+100-36n2=(n2+10)2-36n2=(n2+6n+10)(n2-6n+10)
∵n2+6n+10≠1而n4-16n2+100为质数，且n为正整数，
∴n2-6n+10=1，即n2-6n+9=0，
∴(n-3)2=0，
∴n=3
故答案为：3.
【分析】从因数分解的角度看，质数只能分解成1和本身的乘积(也可从整除的角度看)，故对原式进行恰当的分解变形即可求解.
6．【答案】48
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯外面的级数为n，
则603y=60−nx30y=n−30x
两式相除得：23=60−nn−30
解得：n=48，
经检验得n=48是方程的根，
故答案为：48.
【分析】设扶梯的速度为x级/分，旅客B的速度为y级/分，扶梯外面的级数为n，从而根据题意可得出两个分式方程，相除即可得出答案.
7．【答案】25或18或16
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得ab=2(2a+2b)，
∴ab-4a-4b=0，
∴(a-4)(b-4)=16.
不妨设a≥b，又a，b为正整数，
则a-4≥b-4≥-3，
∴a−4=16b−4=1或a−4=8b−4=2或a−4=4b−4=4，
∴a+b=25或18或16.
故答案为：25或18或16.
【分析】设长方形的长和宽为未知数，根据周长与面积相等列出方程，求正整数解后，相乘即为长方形的面积.
8．【答案】−23
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【解答】解：由(2x+1)2+y2+(y−2x)2=13，
得(3x+1)2+3(x-y)2=0，
则3x+1=0x−y=0
解得x=−13y=−13
故x+y=−13−13=−23
故答案为：−23.
【分析】利用配方法把已知方程转化为两平方数的和的形式，然后由非负数的性质求得x、y的值，从而求得x+y的值.
9．【答案】解：原式=a2−3−a2+4a=4a−3，
当a=12时，
原式=4×12−3=22−3
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用平方差公式和单项式乘多项式的分配律将表达式展开，再合并同类项化简，最后代入a值进行求值.
10．【答案】解：原式=(x−1)2x+1×x(x+1)x−1+x
=x(x-1)+x
=x2−x+x=x2
当x=2−1时，
原式=(2−1)2
=2-22+1
=3-22
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的除法和加法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题.
11．【答案】解：设a=1+t，b=1−t，1