四川省乐山市2025届高三下学期第三次调查研究考试数学试卷（Word版附解析）

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数学
（本试卷满分150分，考试用时120分钟.）
注意事项：
1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.
3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以，则，
故选：A.
2. 已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（ ）
A. 5B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先得到，的坐标，得到的坐标，再求其模或直接利用两点之间的距离计算即得.
【详解】法一：因为，，所以，，
所以，则，即.
法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，，
由勾股定理易得.
故选：B.
3. 已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ）
A. 2B. 13C. 39D. 49
【答案】C
【解析】
【分析】特值法可判断ABD；分为偶数和偶数，令，求出可判断C.
【详解】对于A，令，，故A错误；
对于B，令，，故B错误；
对于C，当为偶数，令，解得：，
当为奇数，令，解得：，
故39不是数列的项，故C正确；
对于D，令，，故D错误.
故选：C.
4. 已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可.
【详解】由可得，又因为，
所以，
故选：B.
5. 与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值.
【详解】设椭圆的方程为：，
双曲线的焦点为，
所以，又因为离心率为，所以，
所以，又因为，
所以圆方程为.
故选：C.
6. 已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案.
【详解】解法一：由余弦定理可知：，
所以，；
解法二：由余弦定理可知，
因为，则，
所以，
即，
故选：B.
7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解法一：由题意，，由诱导公式和二倍角的余弦公式代入化简得出答案；解法二：由两角差的正弦公式可得，对其两边平方可求出，再结合，即可得出答案.
【详解】解法一：由题意可得：，，从而
；
解法二：由得，平方可得，
所以，又，，
从而
故选：D.
8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得，得到函数在单调递增，在上单调递减，且，
画出以的大致图像，转化为与的图像有两个不同的交点，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域为，且，
当时，；当时，，
所以在单调递增，在上单调递减，且，
当时，，且，
所以的大致图像，如图所示.
由，可知与的图像有两个不同的交点，
可得，即实数的取值范围为.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据按从小到大排列为，，，是不为0的常数，则（ ）
A. 的极差等于的极差
B. 的第50百分位数等于的第50百分位数
C. 的平均数等于的平均数
D. 的方差等于的方差
【答案】AD
【解析】
【分析】由极差的定义可判断A；由百分位数的定义可判断B；由平均数和方差的性质可判断CD.
【详解】对于选项A，极差为一组数据中最大值与最小值的差，
原来的极差是的极差为
极差等于的极差，A选项正确；
对于选项B，记样本数据的第50百分位数为，
则数据的第50百分位数为，
是不为0的常数，当时，；
当时，；故B选项错误；
对于选项C，不妨设的平均数为，
是不为0的常数，则的平均数为，故C选项错误；
对于选项D，由方差的定义可知与的离散程度相同，
两组数据方差相等，故选项D正确.
故选：AD
10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. 若直线倾斜角为，则
C. D. 与之间的距离为3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项分析判断.
【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得，
直线斜率，直线方程，由，得，
对于A，，，A正确；
对于B，，由，，得，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，与之间的距离为，D错误.
故选：AC
11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】A先求，再将问题转化为的解集为，利用韦达定理即可；先研究的单调性，得出即可判断BC选项；D先求证，再利用倒序相加法即可求得.
【详解】由得，，则的定义域为，
又当且仅当时，导函数成立，
则的解集为，
即的解集为，
则，，，则，故A正确；
，
令，
则，
则得；得，
则在上单调递增，在上单调递减，
则，
则，故B正确；C错误；
因，则，
则，
记，
则，
两式相加得，
则，记，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线与在点处的切线方程为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由，可得，可得
所以曲线在点处的切线方程.
故答案为：.
13. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有________对.

【答案】39
【解析】
【分析】由相反向量的定义求解即可.
【详解】当取两个点时，比如与，这样的相反向量有对；
当不是上述情况时：①斜着时，有4对；
②竖着时，有对；
③横着时，短横有对；长横有对；
相反的向量共有对.
故答案为：39.
14. 三棱锥中，，，，，，向量与向量的夹角为，则三棱锥外接球的表面积为________.
【答案】
【解析】
【分析】过作，过作，证得平面，得到平面平面，证得平面，直角 中，求得，利用余弦定理，求得，取中点，过作交于，设，三棱锥外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，列出方程组求得，结合表面积公式，即可求解.
【详解】过作，过作，交于，
因为向量与向量的夹角为，所以，
又因为，所以，
因为，且，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面，
且平面平面，
过作于，且平面，所以平面，
在直角中，因为，所以，，
在直角中，因为，，可得，
所以，
取中点，则为直角的外心，且，
在中，由余弦定理可得，
则三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上，
由于平面，平面，故，
如图所示，过作交于，则四边形为矩形，所以，
设，三棱锥外接球的半径为，则，
可得，即，解得，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
15. 已知数列是等差数列，前项和为，前三项分别是，，，且.
（1）求和的值；
（2）若（为常数），使得，，成等比数列，求数列的前项和的最小值，及其取最小值时的值.
【答案】（1），
（2）或，
【解析】
【分析】（1）利用等差中项即可求解，进而可求解公差，根据等差数列的通项公式，以及求和公式即可求解，
（2）根据等比中项的关系可求解，即可根据的正负，求解或时，有最小值，由等差求和公式即可求解最小值.
【小问1详解】
由题意知等差数列的前三项分别是，，，
则，解得.
当时，，，
故.
又，
即，则或（舍去），
故.
【小问2详解】
由（1）可得，，，
，，成等比数列，即
即，解得.
故，且为等差数列，
时，，且，当时，，
故或时，有最小值.
且.
16. 在中，角的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，，的角平分线交于，求.
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】（1）利用和差角的余弦公式将变形，再结合角的范围即可求出角；
（2）解法一：等面积法. 根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出；解法二，在中，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出角及角，进而得到，从而推出是等腰三角形，即可求出.
【小问1详解】
由，得，
所以，
因为，所以，
所以，即.
【小问2详解】
解法一：等面积法.
因为，，由（1）知，
所以，
，
，
因为，
即，
所以解得.
解法二：
在中，因为，，由（1）知，
由余弦定理，解得，
由正弦定理可得，
所以，即或（舍），所以.
又，所以是等腰三角形，
所以.
17. 如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点.
（1）当时，证明：平面；
（2）当直线与平面所成角为时，求的值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先由题设求出和，进而由勾股定理求出，再由线面垂直的判定定理即可求证平面；
（2）建立适当空间直角坐标系，求出向量和平面的一个法向量，利用线面角的向量法公式即可计算求解.
【小问1详解】
因为为直五棱柱，所以平面，
又平面，所以，，
由，得，所以.
因为为的中点，在中，由勾股定理得.
因为，，，
所以，故，
又，，平面，
所以平面.
【小问2详解】
如图，易知，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
因为平面，平面，所以，，
所以为二面角的平面角，所以，
则，，，，
故，.
设平面的法向量为，
由得
取，得，故.
又，
，
即，
化简可得.
解得得（舍去）.
18. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据：
（1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）；
（2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，.
①若甲以获胜的概率为，求的最大值；
②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望.
参考公式：相关系数，，
参考数据：.
【答案】（1）可以，
（2）①；②分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用公式求得，得到用线性回归模型拟合与的关系，求得回归系数，进而得到回归直线方程；
（2）①根据题意，求得， 求得，得到函数得到单调性和最大值，即可求解；
②由①得到，随机变量，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，求得期望值.
【小问1详解】
解：由已知得，，
可得，
，
，
所以，
因为，可以推断与正两个变量正线性相关，且相关程度很强，
可用线性回归模型拟合与的关系，
则，所以，
所以关于的线性回归方程为：.
【小问2详解】
解：①若甲以获胜，则前四局中甲、乙各胜两局，且第五局甲获胜，
所以，
所以，
令，可得，当时，；
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得最大值，
②由①知，，随机变量，
可得；；
，
所以随机变量的分布列为
所以.
19. 已知动点与两个定点，的距离的比为.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过上的动点作的切线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴交于，.已知，，连接，交于点.
①求动点的轨迹方程；
②过点的直线与点的轨迹交于，两点，过作轴的垂线，记与直线0的交点为，若，证明：直线过定点.
【答案】（1）
（2）①；②证明见解析
【解析】
【分析】（1）设点，列方程，化简即可；
（2）①解法一：设，根据求解；
解法二：设，则点处的切线方程为，则：，：，进而得解；
解法三：设点，，，，由，可得，即，再根据斜率关系得解；
②解法一：设直线：，，，联立方程组，由可得，由，，共线得，进一步化简可得定点；
解法二：设，，、、三点共线，有，再根据斜率关系化简可得解.
【小问1详解】
设点，由，
即，
化简得.
【小问2详解】
①解法一：设，
则：，.
：，.
，
，即.
.
.
解法二：设，则点处的切线方程为.
，，
圆的方程为.
令，得，.
：，：.
由，两式乘得，即，
所以点的轨迹为.
解法三：设点，，，，
由，可得，即.
则.
另一方面，.
解得点的轨迹为.
②解法一：设直线：，，，
联立，可得.于是，.
由可得，
，.
记直线与轴交于点，
由，，共线得.
可得.
，
，
则.
于是直线过点.
解法二：设，，
、、三点共线，有.
，.
则.
即.
两式作差可得
于是，
另由，可知.
综上，，即直线过点.线上宣传投入金额（万元）
20
30
40
50
60
70
游客满意度评分（分）
60
65
70
78
80
85
3
4
5