上海市虹口区2024~2025学年高二下册期末学生学习能力诊断测试数学试题[附解析]

这是一份上海市虹口区2024~2025学年高二下册期末学生学习能力诊断测试数学试题[附解析]，共18页。
【注意】
1.本试卷共21题,满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷分设试题和答题纸,作答时必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试题上作答一律不得分.
一、填空题(本大题满分54分)本大题共12题,第1-6题,每空填对得4分;第7-12题,每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.
1.抛物线的准线方程为_____.
2.函数的导数_____.
3.经过平面外一点与该平面平行的直线有_____条.
4.直线与的夹角大小为_____.
5.若一个球的体积为,则该球的表面积为_____.
6.二项式展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
7.在正四面体中,直线与所成角的大小为_____.
8.某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制,均为整数)的频率分布直方图如右图,则成绩在之间的学生人数为_____.
9.从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛,则甲和乙至少一人参加的概率为_____.
10.已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的表面积为_____.
11.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点,若四边形为矩形,则的渐近线方程为_____.
12.曲线与曲线分别交于两点,设曲线在点
处的切线斜率为,曲线在点处的切线斜率为,若,则_____.
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
A.若,则B.若,则
C.若,则.若,则
14.随着Deepseek的流行,各种大模型层出不穷,现有甲、乙两个大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的统计表格:
则下列结论正确的是
A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
C.甲得分的极差大于乙得分的极差D.甲得分的方差大于乙得分的方差
15.对于定义在上的两个函数,若是奇函数,
是偶函数,且当时,,则时,下列结论一定成立的是()
A.B.
C.D.
A.B.
C.D.
16.对于曲线,给出两个结论:①曲线所围成的封闭图形的面积小于8;②曲线上的点到原点的距离的最大值为.则()
.①成立,②成立.①成立,②不成立
C.①不成立,②成立.①不成立,②不成立
三、解答题(本大题满分78分)本大题共5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知圆经过点,且圆心为.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线经过两点,且与圆相交于点,求线段的长.
18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,分别为中点.
(1)求证:平面;
(2)若,平面平面,求二面角的余弦值.
19.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
某校为了解学生的身高情况,从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查,其中高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3.
(1)求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
(2)从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查,求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示);
(3)经过调查,抽取的高二学生身高的平均数为,方差为60,其中被抽中的小李身高是.试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1)
20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.设
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若曲线在点处的切线与曲线也相切,求的值；
21.(本题满分18分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若的离心率为,且,求的方程;
(2)若过原点的直线,与相交于两点,是上异于的任意一点,求证:直线的斜率之积是定值;
(3)设直线的一个法向量为是上任意一点,对于平面内的一定点,定义.证明:若,则直线与椭圆相切.
虹口区2024学年度第二学期期末学生学习能力诊断测试高二数学试卷2025.6
【注意】
1.本试卷共21题,满分150分,考试时间120分钟.
2.本试卷分设试题和答题纸,作答时必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题纸上,在试题上作答一律不得分.
一、填空题(本大题满分54分)本大题共12题,第1-6题,每空填对得4分;第7-12题,每空填对得5分.请直接将结果填写在答题纸相应题号的空格内.
1.抛物线的准线方程为_____.
解析:
则准线方程为:
2.函数的导数_____.
解析:
3.经过平面外一点与该平面平行的直线有_____条.
解析:在过该点且与已知平面平行的平面上的每一条直线均与已知平面平行
所以有无数条直线符合题意;
4.直线与的夹角大小为_____.
解析:直线化为斜截式为
故直线的斜率是
直线的倾斜角满足
结合,可得
直线倾斜角为
所以直线与的夹角大小为
5.若一个球的体积为,则该球的表面积为_____.
解析:设球的半径为,由题意可得:
解得
所以球的表面积为:
6.二项式展开式中的常数项为_____.(用数字作答)
解析:二项式展开式中的常数项为
7.在正四面体中,直线与所成角的大小为_____.
解析:如图,作的中点,连接.
因为正四面体是四个全等的正三角形围成的空间封闭图形,所以棱长都相等,
所以
又
所以平面
所以
异面直线与所成的角的大小为
8.某校高一年级名同学在一次数学测验中成绩(百分制,均为整数)的频率分布直方图如右图,则成绩在之间的学生人数为_____.
解析:
所以成绩在之间的学生人数为
9.从甲、乙等7名学生中选派4名学生参加演讲比赛,则甲和乙至少一人参加的概率为_____.
解析:
10.已知圆锥的母线长为其侧面展开图是一个圆心角为的扇形,则该圆锥的表面积为_____.
解析:设圆锥的底面半径为,因为圆锥的母线长为,侧面展开图的圆心角为
所以该圆锥的表面积为
11.如图,是椭圆与双曲线的公共焦点,分别是在第二、四象限的公共点,若四边形为矩形,则的渐近线方程为_____.
解析:由四边形为矩形,得
由双曲线,且,
由椭圆,得,解得,即,解得
所以的渐近线方程为
12.曲线与曲线分别交于两点,设曲线在点
处的切线斜率为,曲线在点处的切线斜率为,若,则_____.
解析:
的导数为,在处斜率为
的导数为,在处斜率为
根据题意,
结合和,可得:
,代入得:
此时:
设,方程变为:或
当时,
当时,不符
综上:
二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项,考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.
13.已知是两条不重合的直线,是两个不重合的平面,则
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
A.若,则B.若,则
C.若,则.若,则
解析:若,则,正确；
所以选:.
14.随着Deepseek的流行,各种大模型层出不穷,现有甲、乙两个大模型,在对甲、乙两个大模型进行深度体验后,6位评委分别对甲、乙进行打分(满分10分),得到如图所示的统计表格:
则下列结论正确的是
A.甲得分的平均数大于乙得分的平均数B.甲得分的中位数大于乙得分的中位数
C.甲得分的极差大于乙得分的极差D.甲得分的方差大于乙得分的方差
解析：D正确
所以选D.
15.对于定义在上的两个函数,若是奇函数,
是偶函数,且当时,,则时,下列结论一定成立的是()
A.B.
C.D.
A.B.
C.D.
解析:已知函数是奇函数,函数是偶函数
则为偶函数,为奇函数
又当时,,则当时,
对于与0的大小关系无法确定,即错误;
对于,即正确;
对于,,即错误；
对于,即错误.
所以选:.
16.对于曲线,给出两个结论:①曲线所围成的封闭图形的面积小于8;②曲线上的点到原点的距离的最大值为.则()
.①成立,②成立.①成立,②不成立
C.①不成立,②成立.①不成立,②不成立
解析:①因为,当且仅当时取等号,
,当且仅当时取等号,
故曲线在一个长为4,宽为2的矩形内部,
故曲线所围成的封闭图形的面积小于,故①正确；
②设曲线上一点为,则,设,
到原点的距离的平方为,
,当时,距离平方有最大值为,故距离的最大值为故②正确.所以选:.
三、解答题(本大题满分78分)本大题共5题,解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
已知圆经过点,且圆心为.
(1)求圆的标准方程;
(2)若直线经过两点,且与圆相交于点,求线段的长.
解析:(1)
所以圆的标准方程为.
(2)由题意得直线的斜率为,故它的方程为
即
所以圆心到直线的距离为
所以的长等于.
18.(本题满分14分)本题共2小题,第1小题6分,第2小题8分.
如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,分别为中点.
(1)求证:平面;
(2)若,平面平面,求二面角的余弦值.
解析:(1)证明:取中点,连接,,
中,分别为中点
且
又正方形中,为中点
且
四边形为平行四边形,
平面,平面,
平面;
(2)取中点为中点为,连接,
中,,
平面平面,平面,平面平面平面,
又四边形为正方形,
以所在直线分别为轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,
,
,
,
设平面的法向量为,
则由,可得,即,
取,则,可得,
设平面的法向量为,
设平面与平面的夹角为,
则.
易得二面角为锐角
所以其余弦为.
19.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
某校为了解学生的身高情况,从高一、高二、高三三个年级中采用分层抽样的方法抽取了100名学生进行调查,其中高一、高二、高三的学生人数之比为4:3:3.
(1)求从高一、高二、高三各年级抽取的学生人数；
(2)从抽取的100名学生中随机选取2人协助工作人员调查,求这2人来自不同年级的概率(用最简分数表示);
(3)经过调查,抽取的高二学生身高的平均数为,方差为60,其中被抽中的小李身高是.试求除去小李后其余被抽中的高二学生身高的平均数与方差(结果精确到0.1)
解析:(1)高一抽取的学生人数为人
高二抽取的学生人数为人
高三抽取的学生人数为人
(2)
(3)设从高二学生中抽出的30人的身高分别为,
则由条件,这30人身高的平均数为,
身高的方差为.
设小李的身高为,则除去小李后其余被抽中的29位高二学生的身高平均
数、方差分别为,
20.(本题满分16分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.设
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若曲线在点处的切线与曲线也相切,求的值；
解析:(1)当时,,定义域为
且
令
所以函数在(0,2)上严格减,在上严格增.
(2)
所以曲线在点处的切线的方程为.
设直线与曲线相切于点,且
所以,且
(3)由题意得
设
令
令,得
所以函数在(0,1)上严格增,在上严格减.
所以函数的极大值为
所以.
21.(本题满分18分)本题共3小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分.
在平面直角坐标系中,分别为椭圆的左、右焦点.
(1)若的离心率为,且,求的方程;
(2)(1)若的离心率为,且,求的方程;
(2)若过原点的直线,与相交于两点,是上异于的任意一点,求证:直线的斜率之积是定值;
(3)设直线的一个法向量为是上任意一点,对于平面内的一定点,定义.证明:若,则直线与椭圆相切.解析:(1)由题意得所以的方程为.(2)由题意得关于原点对称,设,并设,则,即,于是(3)(i)当直线的斜率不存在时,设其方程为,则它的一个法向量为.
设的坐标分别为,
所以,
所以
所以.
因为,所以
从而直线与椭圆相切.
(ii)若直线的斜率存在,设其方程为,
则它的一个法向量为.
因为是上一点,设,
则
所以
所以
由得,
其判别式,
因为
所以
从而直线与椭圆只有一个交点,所以直线与椭圆相切.
评委编号模型名称
1
2
3
4
5
6
甲
8.0
9.2
8.0
8.2
8.6
8.4
乙
7.8
9.0
8.3
8.4
8.5
8.5
评委编号模型名称
1
2
3
4
5
6
甲
8.0
9.2
8.0
8.2
8.6
8.4
乙
7.8
9.0
8.3
8.4
8.5
8.5