黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023~2024学年高二下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

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考试时间：120 分钟 分值：150 分
一、单选题（共 8 小题，每题 5 分，共 40 分）
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
3. “ ”的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 设 为正实数，且 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列函数中，不满足 的是（ ）
A. B. C. D.
6. 某市一天内 气温 （单位：℃）与时刻 （单位：时）之间的关系如图所示，令 表示时间段
内的温差（即时间段 内最高温度与最低温度的差）， 与 之间的函数关系用下列图象表示，
则下列图象最接近的是（ ）.
A B.
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C. D.
7. 已知定义在 上的函数 满足 ，且函数 为奇函数，则下列说法正
确的是（ ）
A. 的一个周期是 2
B. 是奇函数
C. 不一定是偶函数
D. 的图象关于点 中心对称
8. 函数 ，若对任意 ， ，都有 成
立，则实数 a 取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共 3 小题，每题 6 分，共 18 分）
9. （多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是（ ）
A. ， B. 所有的正方形都是矩形
C. ， D. 至少有一个实数 x，使
10. 下列说法正确的序号是（ ）
A. 偶函数 定义域为 ，则
B. 一次函数 满足 ，则函数 的解析式为
C. 若不等式 的解集为 或 ，则
D. 若集合 中至多有一个元素，则
11. 定义域为 的函数 ，对任意 x， ， ，且 不恒为
0，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
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C 若 ，则 关于 中心对称 D. 若 ，则
三、填空题（共 3 小题，每题 5 分，共 15 分）
12. 函数 的定义域是______.
13. 若函数 ，若 ，则 __________．
14. 已知函数 ，若 ，则当 取得最小值时， ________．
四、解答题（共 5 小题，共 77 分）
15. 已知曲线 ．
（1）求与直线 平行，且与曲线 相切的直线方程；
（2）设曲线 上任意一点处切线的倾斜角为 ，求 的取值范围．
16. 设函数
（1）若不等式 对一切实数 x 恒成立，求 a 的取值范围；
（2）解关于 的不等式： ．
17. 近年来，合肥市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极
大便利，刷新了市民幸福指数.春节将至，为了提升人们的乘车体验感，合肥某地铁线路准备通过调整发车
时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔 （单位：分钟）满足 ，通过调研，在
某一时段，地铁载客量与发车时间间隔 相关，当 时地铁可达到满载状态，载客量为 1250 人，
当 时，载客量会减少，减少的人数与 的平方成正比，且发车时间间隔为 3 分钟时载客量
为 610 人，记地铁载客量为 .
（1）求 的解析式；
（2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数 与发车时间间隔 之间的函数关系
，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘
车体验感最好？
18. 已知定义在 上的函数 ，且 是偶函数．
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（1）求 的解析式；
（2）当 时，记 的最大值为 ． ，若存在 ，使 ，
求实数 的取值范围．
19. 已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 上有零点，且 ，求实数 m 的取值范围.
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