河北省深州市中学2023~2024学年高一下学期期末考试数学试卷[附解析]

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全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的
指定位置.
2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题
区域均无效.
3.选择题用 2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作
答；字体工整，笔迹清楚.
4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.
5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章~第九章.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 复数 在复平面内对应的点在第二象限，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】根据题意得 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A.
2. 中国古代科举制度始于隋而成于唐，兴盛于明、清两朝．明代会试分南卷、北卷、中卷，按 的
比例录取，若某年会试录取人数为 200，则北卷录取人数为（ ）
A. 70 B. 20 C. 110 D. 150
【答案】A
【解析】
【分析】由分层抽样的抽取比例乘以样本容量即可求解.
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【详解】会试录取人数为 200 时，根据分层抽样的性质可知，
北卷录取人数为 ．
故选：A
3. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. 8 D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】所求模平方后，根据向量的数量积的运算律化简求解即可.
【详解】因为向量 ， 满足 ， ， ，
所以 ，
则 ，
故选：B．
4. 在矩形 中， 为线段 的中点，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选 做基底，根据向量的加法和减法的平行四边形法则和三角形法则运算，即可求得答案.
【详解】 在矩形 中， 为 的中点，
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故选：D.
5. 已知一个正棱台（正棱台的两底面是两个相似正多边形，侧面是全等的等腰梯形）的上、下底面是边长
分别为 4、6 的正方形，侧棱长为 ，则该棱台的表面积为（ ）
A. 72 B. 82 C. 92 D. 112
【答案】C
【解析】
【分析】先计算棱台的侧面的高，再计算侧面积和底面积，即可求解.
【详解】因为正棱台的上、下底面是边长分别为 4、6 的正方形，侧棱长为 ，
棱台的侧面是等腰梯形，所以棱台侧面的高 ，
所以一个侧面积 ，
棱台的上、下底面面积和为 ，
所以该棱台的表面积为 .
故选:C．
6. 如图是 2020 年 2 月 15 日至 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图．则下列说法不正确的
是（ ）
A. 武汉市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
B. 2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例比前日降低了 1045 人
C. 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天是最少的一天 16 倍多
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D. 2020 年 2 月 19 日至 3 月 2 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例低于 500 人的有 10 天
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用折线图以及统计的相关知识逐一分析即可
【详解】对于 A， 19 日后新增确诊病例人数与之前的各天新增确诊病例人数相比较呈大幅下降趋势，
故防控取得了阶段性的成果，但新增人数还较多，故防控要求不能降低，故 A 正确；
对于 B，由图可知 18 日新增确诊病例人数 1660 人，19 日新增确诊病例人数 615 人，
故 2020 年 2 月 19 日武汉市新增新冠肺炎确诊病例比前日降低了 1045 人，故 B 正确；
对于 C，由图新增确诊病例最多一天的人数为 1690，
新增确诊病例最少一天的人数 111 人，
故 2020 年 2 月 15 日到 3 月 2 日武汉市新冠肺炎新增确诊病例最多的一天人数与最少的一天的人数的比值
为 ，C 错误，
对于 D，由图得到，病例低于 500 人的有 2 月 20 日、21 日、23 日、24 日、25 日、26 日、27 日、28 日、3
月 1 日、2 日，共 10 天，故 D 正确；
故选：C.
7. 某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完
前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）.“沙漏”是由一个圆锥体和一个四棱柱相通连接而成.某
次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是 ，高是 ；四棱柱底面边长为 和 ，
液体高是 .计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出液体的体积，然后计算出计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积，在利用高度比的立方
等于体积比即可得出结果.
【详解】由已知可得：液体的体积为 ，
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如图，易知， 两个相似的直角三角形，
因为圆锥的底面半径是 ，高是 ，
所以圆锥的体积为 ，
计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为 ，
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度 为 ，
则 ，
，解得 ，
所以计时结束后.“沙漏”中液体的高度为 .
故选：D.
8. 已知 中， ， ，若 最短边的长度为 ，则最长边的长度是（
）
A. 3 B. 8 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】借助同角三角函数基本关系与两角和的余弦公式计算可得 ，即可得 ，从而可得
最短边为 ，最长边为 ，再利用正弦定理计算即可得解.
【详解】由题可知 ，
由 ，则 ，
由 ，则 ， ，
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则
，
故有 ，故 ，故 ，即 ，
则 ，由 ，则 ，
故
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分，有选错的得 0 分.
9. 如图，在 4×4 方格中，向量 ， ， 的起点和终点均为小正方形的顶点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法可得.
【详解】设每个方格的边长为 1，则 ， ， ， ，
，A 选项错误；
，B 选项正确；
， ，所以 C 选项正确；
， ， ，所以 D 选项正确．
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故选：BCD．
10. 在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，下列命题中正确的有（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则 A＝B
C. 若 ，且 ， ，则 D. 若 A＜B，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦定理对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】设 R 为三角形外接圆的半径．
在 中，若 a＞b，则 在 上单调递减，
从而 ，故 A 正确；
若 ，则 ，故 a＝b，所以 A＝B，故 B 正确；
当 ， 时，A＞B 成立，
但 ， ，故 C 错误；
若 A＜B，故 a＜b，故 ，
故 ，从而 ，即 ， ，
所以 ，故 D 正确．
故选：ABD．
11. 如图，在表面积为 的正方体 中，点 P 在侧面 （包含边界）内运动，则
下列结论正确的有（ ）
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A. 直线
B. 二面角 的大小为
C. 三棱锥 的外接球体积为
D. 过三点 的正方体的截面面积的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对 A，根据线面垂直的性质证明 ；对 B，根据二面角的定义可得二面角 为
即可判断；对 C，根据三棱锥的外接球与正方体外接球为同一球求解即可;对 D，作出截面，分析可
得当截面为 时截面积最大即可.
【详解】对 A，连接 ，因 为正方体，故 ， 平面 .
又 平面 ，故 .又 平面 ，
故 平面 .又 平面 ，故 .故 A 正确；
对 B，由正方体性质， 平面 平面 ，故 ，
故二面角 为 .故 B 错误；
对 C，三棱锥 的外接球即正方体 的外接球，
其半径为体对角线 的一半即 ，体积 ，故 C 错误；
对 D，由对称性，P 在 内与 内截面面积取最大值的情况相同，且当 P 在 上时，
截面即矩形 ，面积为 .
故不妨设 P 在 内（不包含 ）.设截面交 分别于 ，
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则由正方体性质与面面平行的性质可得 ，故 ，故截面为梯形 .
设 ，
因为 平面 ，
故 平面 ，故 平面 .又 平面 ，
故 ，即 为梯形 的高.
设 ，则 ，故
.
下证 ，即 ，即 显然成立，
故 成立.
故 .
即 .故过三点 正方体的截面面积的最大值为 .故 D 正确；
故选:AD.
【点睛】方法点睛：先应用面面平行求出截面，
再表示面积结合不等关系得出最值.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 光明中学举办以“喜迎二十大、争做新青年、永远跟党走、奋进新征程”为主题的演讲比赛．其中 8 人比
赛的成绩为：85，86，88，89，90，92，94，98（单位：分），则这 8 人成绩的第 50 百分位数和第 80 百分
位数的和为__________．
【答案】183.5
【解析】
【分析】利用百分位数的计算方法进行计算即可.
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【详解】数据从小到大排列为：85，86，88，89，90，92，94，98，
，第 50 百分位数为 ，
，第 80 百分位数 94，
则这 8 人成绩的第 50 百分位数和第 80 百分位数的和为 183.5
故答案为：183.5
13. 某地为了更好地开发当地的旅游资源，决定在两座山头建一条索道，现测得两座山高分别为
米， 米．从山脚下的 处测得 处的仰角为 ， 处的仰角为 ， ，点 ，
， 在同一水平面内， ， ，则两座山的山顶 ， 之间的距离是______米．（参
考数据： ， ）
【答案】
【解析】
【分析】在直角三角形中求出 、 ，再由余弦定理计算可得.
【详解】在 中， ，所以 米，
在 中， 米，
在 中，
，则 米．
故答案为：
14. 如图，已知 ，在平面 内，OA 是平面 的斜线，且 ，
，则直线 与平面 所成的角的大小为______．
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【答案】
【解析】
【分析】取线段 的中点 ，连接 ，并延长 ，作 ，证明 平面 ，找到
线面角，利用余弦定理求解即可.
【详解】取线段 的中点 ，连接 ，并延长 ，作 ，如图，
因 ， ， ，
则由余弦定理得 ，即 ，
同理可得 ，
∵ ，D 是 的中点， ， ，
而 ，即 ，因此， ，
∵ ， ， 平面 ，
平面 ，又 平面 ，
∴ ，又∵ ， 平面 ，
∴ 平面 ， 是直线 OA 与平面 所成的角，
，
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∵线面角的范围为 ，∴ ，
所以直线 OA 与平面 所成的角的大小为 ．
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15. 已知向量 ， ， ，且 ， ．
（1）求向量 、 ；
（2）若 ， ，求向量 ， 的夹角的正弦值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由向量平行于垂直的坐标表示代入计算，即可求解；
（2）根据题意，分别求得 的坐标，结合向量的夹角公式代入计算，即可求解.
【小问 1 详解】
因为 ， ， ，且 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ；
【小问 2 详解】
设向量 ， 的夹角的大小为 ．
由题意可得， ， ，
所以 ， ．
16. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且满足
．
（1）求 的值；
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（2）已知 的面积为 ，求 a 的值．
【答案】（1）2 （2）1 或
【解析】
【分析】（1）边化角，利用正弦定理即可求解；
（2）应用三角形面积公式计算出 AB 边上的高，再利用勾股定理即可.
【小问 1 详解】
由正弦定理得： ,
， ,
，因为 A，C 是三角形内角， ，
所以 ，而由正弦定理得 ，∴ ，即 ；
【小问 2 详解】
由第一问可知，b=2a，设 AB 边上的高为 h，
则三角形 ABC 的面积 ，
作下图：
过点 C 作 AB 的垂线，垂足为 D，则 CD=h，
设 AD=x ，则由勾股定理得到下列方程组：
，解得 ，
由公式法得 ，
，a=1；
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17. 已知正方体 的棱长为 分别是 的中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 H，使得 平面 ?若存在，求线段 的长；若不存在，请说明理
由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，
【解析】
【分析】（1）构造中位线和平行的传递性证明线线平行，然后利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）因为 是等腰三角形，当 H 为 的中点时，则满足 ，所以猜想当 H 为 的中点有
平面 ，然后证明猜想即可.
【小问 1 详解】
证明：连接 ，因为 分别是 的中点，所以 为 的中位线，
所以 ，在正方体中， ，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ；
【小问 2 详解】
取 的中点 H，则满足 平面 ，且 .
证明如下：取 的中点 H，连接 ，则 ，
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在 中， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
在 中， ，所以 ，又 平面 ，
所以 平面 ，且 .
18. 随着商品经济的发展，市场竞争日益激烈，消费者在选购产品时，不仅注重商品的质量，更加注重产品
的售后服务，从商家收到消费者问题的反馈到问题得到圆满的解决，这个时间长度我们称为“售后处理时间”.
这个“售后处理时间”无疑越短越受消费者的欢迎，现从某市使用甲和乙两种空调的消费者中分别随机抽取
100 个消费者，对他们的“售后处理时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：
（1）试估计该市使用甲种空调的消费者的“售后处理时间”的众数、中位数及平均数（同一组中的数据用该
组区间的中点值作代表）；
（2）如果以“售后处理时间”的平均数作为决策依据，从甲和乙两种空调中选择一款购买，你会选择哪款？
【答案】（1）55， ，40
（2）选乙种空调进行购买
【解析】
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【分析】（1）根据频率分布直方图求众数、中位数、平均数的计算规则计算即可得解；
（2）先计算乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数，然后在和（1）中计算的平均数做比较，即可得
出结果.
【小问 1 详解】
由使用甲种空调“售后处理时间”的频率分布直方图知，售后处理时间在
内的频率分别为 ，
因此，使用甲种空调的消费者中“售后处理时间”的众数为 55，
因为 ，则“售后处理时间”的中位数 ，
于是得 ，解得 ，
所以所求中位数为 ，
所求平均数为 ；
【小问 2 详解】
依题意，使用乙种空调的消费者中“售后处理时间”的平均数为
，
所以选乙种空调进行购买.
19. 如图，在三棱锥 D－ABC 中，已知△BCD 是正三角形，AB⊥平面 BCD，AB＝BC＝a，E 为 BC 的中点，
F 在棱 AC 上，且 AF＝3FC．
（1）求证：平面 ACD⊥平面 DEF；
（2）求三棱锥 A－BDF 的体积；
（3）若 M 为 DB 的中点，是否存在 N 在棱 AC 上， ，且 平面 DEF?若存在，求 的值并
说明理由；若不存在，给出证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）
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（3）存在，
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直得线线垂直，根据线线垂直证明线面垂直，进而可得面面垂直;
（2）根据三棱锥的体积公式即可求解;
（3）根据线段长对应成比例可得平行关系，进而由线线平行即可证明线面平行.
【小问 1 详解】
证明：取 AC 的中点 H，连接 BH，
因为 AB＝BC，可得 BH⊥AC，
又因为 AF＝3FC，可得 F 为 CH 的中点，因为 E 为 BC 的中点，所以 ，
则 EF⊥AC，又因为 是正三角形，所以 DE⊥BC，
因 AB⊥平面 BCD， 平面 BCD，所以 AB⊥DE，
又因为 ， 平面 ABC，所以 DE⊥平面 ABC，
又 平面 ABC，所以 DE⊥AC，
因为 且 平面 DEF，所以 AC⊥平面 DEF，
平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 DEF；
【小问 2 详解】
∵AB⊥平面 BCD， 是正三角形，E 为 BC 的中点，
∴平面 BCD⊥平面 ABC，DE⊥BC，DE⊥平面 ABC，
又∵AF＝3CF，
∴ ；
【小问 3 详解】
存在这样的点 N，当 时， 平面 DEF，
当 时，即 ，连接 CM，设 ，连接 OF，
由条件知 O 为 的重心，所以 ，所以当 时， ，
因为 平面 DEF， 平面 DEF，所以 平面 DEF，
即 时， 平面 DEF．
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