山东省泰安市部分学校2023~2024学年高二下学期期末测试数学试卷[附解析]

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．在此处键入公式.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题只有一个选项符合题目要求．
1.已知集合，，则下列结论不正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据交集、并集的定义求出，，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以，，，故A、B、C正确，D错误；
故选：D
2.关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由已知及一元二次不等式的性质可得，讨论a结合原不等式整数解的个数求的范围，
【详解】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，，
则，即，解得，
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
3.某同学喜爱球类和游泳运动．在暑假期间，该同学上午去打球的概率为．若该同学上午不去打球，则下午一定去游泳；若上午去打球，则下午去游泳的概率为．已知该同学在某天下午去游了泳，则上午打球的概率为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】上午打球为事件A，下午游泳为事件B，利用全概率公式求出，再利用条件概率公式计算即得.
【详解】设上午打球为事件，下午游泳为事件，
则，
于是，因此，
所以上午打球的概率为.
故选：C
4.下列说法中，正确的个数为（ ）
①样本相关系数的绝对值大小可以反映成对样本数据之间线性相关的程度；
②用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好；
③随机变量服从正态分布，若，则；
④随机变量服从二项分布，若方差，则．
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】C
【解析】
【分析】根据相关系数的性质，二项分布的性质，拟合效果的衡量以及正态分布的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】相关系数的绝对值越接近于1，成对样本数据之间线性相关的程度越强，故①正确；
用不同的模型拟合同一组数据，则残差平方和越小的模型拟合的效果越好，故②正确；
已知随机变量服从正态分布，若，则，故③正确；
若随机变量服从二项分布，则方差，所以，
所以，所以或，故④错误.
故选：C.
5.已知，，，则（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到；与运用作差法比大小，再把看作，可构造函数，求导并借助函数的单调性，可得到.从而得到.
【详解】令，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
所以，即，所以在上单调递减，
所以，即，所以，即；
令，则，
令，则，所以在上单调递增，
所以，即，所以在上单调递增，
所以，即，所以，即.
所以.
故选:.
【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：
（1）利用函数单调性；
（2）利用中间量；
（3）构造函数.
6.若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（ ）
A.17个B.19个C.20个D.21个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，得到，分五种情况讨论，结合排列数、组合数的计算公式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
当四位数为由构成时，共有1种情况；
当四位数为由构成时，共有种情况；
当四位数由构成时，共有种情况；
当四位数为由构成时，共有种情况；
当四位数为由构成时，共有1种情况,
由分类计数原理，可得共有种不同的“F数”.
故选：C.
7.已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案．
【详解】等价于，
令，则，所以是增函数，
所以等价于，
所以，所以，
令，则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，故
所以实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
8.设动直线与函数，的图象分别交于点，已知，则的最小值与最大值之积为（ ）
A.B.
C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】构造函数，由已知条件研究函数在上的最值即可.
【详解】设函数，
所以，
令，则，，，所以函数在上单调递减；
在，，所以函数在上单调递增；
所以当时，，
又当时，，
时，，因为，所以，
所以，故的最小值与最大值之积为：.
故选：D.
【点睛】方法点睛：构造函数，依据所给自变量的取值范围研究最值是解决函数应用题的一种重要方法.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．
9.已知正实数，且为自然数，则满足恒成立的可以是（ ）
A.B.
C.D.
【答案】BC
【解析】
【分析】将恒成立，转化为恒成立，再利用基本不等式得到，转化为恒成立，逐项判断.
【详解】解：因为正实数，且为自然数，
所以，
则恒成立，即恒成立，
两边同乘，则，
而，
，
当且仅当，即时，等号成立，
若恒成立，则恒成立，
A.当时，，不成立；
B.当时，，成立；
C.当时，，成立；
D.当时，，不成立，
故选：BC
10.玻璃缸中装有2个黑球和4个白球，现从中先后无放回地取2个球．记“第一次取得黑球”为，“第一次取得白球”为，“第二次取得黑球”为，“第二次取得白球”为，则（ ）
A.B.
C.D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】结合古典概型，条件概型的计算公式，分别求出有关事件的概率，再进行判断.
【详解】对A，由题意，第一次取得黑球的概率，
第一次取得白球的概率，
第一次取得黑球、第二次取得黑球的概率，
第一次取得白球、第二次取得白球的概率，
则，所以A错误；
对B，第一次取得黑球、第二次取得白球的概率，
第一次取得白球、第二次取得黑球的概率，
则，所以B正确；
对C，由，
得，所以C正确；
对D，由，得，所以D正确．
故选：BCD．
11.设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A.B.
C.的图象关于对称D.函数为周期函数，且周期为4
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，根据为偶函数求出的表达式，然后给的表达式两边求导，然后取特值求解；对于D，根据和为偶函数找到的关系，求出周期；B：根据的性质，取特值求解；C：根据已知推导出.
【详解】A：因为为偶函数，所以，所以，
令，则，所以，故A正确；
D：因为，所以，
用代替原来的得，①
又为偶函数，所以，
用代替原来的得：，②
由①②得，③
又，用代替原来的得：，④
由③④联立得：，⑤
用代替原来的得：，⑥
⑥减去⑤得：，故为周期函数，且周期为，
用代替原来的得：，⑦
因为，用代替原来的得：，⑧
因为，用代替原来的得：，⑨
由⑦⑧⑨得：，
用代替原来的得：，
所以为周期函数，且周期为，故D错误；
B：因为常函数为满足题意得一组解，但，故B错误；
C：由，则，即，
又，则，即，故C正确；
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：对于抽象函数可任意赋值（符合已知条件）得到函数的周期，再根据周期性和奇偶性取特值代入求解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分．
12.若函数f（x）＝x3﹣3x在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则实数a的取值范围是______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意求出函数的导数，因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以结合二次函数的性质可得：a＜1＜5﹣a2，进而求出正确的答案．
【详解】由题意可得：函数f（x）＝x3﹣3x，
所以f′（x）＝3x2﹣3．
令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；
在上递增，在（-1，1）上递减，在（1，+）上递增，
因为函数f（x）在区间（a，6﹣a2）上有最小值，则其最小值必为f（1），
1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，
又结合函数的性质可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，
联立解得：﹣2≤a＜1．
故答案为[﹣2，1）．
【点睛】本题考查了利用导数求函数单调区间与函数的最值的问题，属于中档题．
13.设a、b、m为整数，若a和b被m除得余数相同，则称a和b对模m同余，记为；已知，，则满足条件的正整数b中，最小的两位数是______．
【答案】13
【解析】
【分析】观察题中给出的形式，结合组合数的计算公式，提出，可求出的值，进而得到的值.
【详解】根据组合数的计算公式有
=
=
=103
故.
故答案为：13.
14.切比雪夫不等式是19世纪俄国数学家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究统计规律时发现的，其内容是：对于任一随机变量，若其数学期望和方差均存在，则对任意正实数，有.根据该不等式可以对事件的概率作出估计.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，现连续发射信号次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的.记发射信号“1”的次数为随机变量，为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在区间内，估计信号发射次数的值至少为______.
【答案】1250
【解析】
【分析】由题意知，可求出，由，得，再由切比雪夫不等式列不等式求解即可.
【详解】由题意知，所以，，
若，则，
即，即，
由切比雪夫不等式知，
要使得至少有98%的把握使发射信号“1”的频率在区间内，
则，解，
所以估计信号发射次数n的最小值为1250.
故答案为：1250
【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的期望和方差，考查切比雪夫不等式的应用，解题的关键是将变形为，考查理解能力和计算能力，属于较难题.
四、解答题：本题共5小题，满分77分．
15.中华文化源远流长，为了让青少年更好地了解中国的传统文化，某培训中心计划利用暑期开设“围棋”、“武术”、“书法”、“剪纸”、“京剧”、“刺绣”六门体验课程．
（1）若体验课连续开设六周，每周一门，求“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的所有排法种数；
（2）现有甲、乙、丙三名学生报名参加暑期的体验课程，每人都选两门课程，甲和乙有一门共同的课程，丙和甲、乙的课程都不同，求所有选课的种数；
（3）计划安排A、B、C、D、E五名教师教这六门课程，每门课程只由一名教师任教，每名教师至少任教一门课程，教师A不任教“围棋”课程，教师B只能任教一门课程，求所有课程安排的种数．
【答案】（1）480 （2）360
（3）1140
【解析】
【分析】（1）采用插空法，先拍其余四科，再插空；
（2）特殊的先排，再用分步乘法；
（3）按甲所教科目的数量分类，然后由分类加法计数原理求解.
【小问1详解】
第一步，先将另外四门课排好，有种情况；
第二步，将“京剧”和“剪纸”课程分别插入5个空隙中，有种情况；
所以“京剧”和“剪纸”课程排在不相邻的两周的排法有种；
【小问2详解】
第一步，先将甲和乙的不同课程排好，有种情况；
第二步，将甲和乙的相同课程排好，有种情况；
第三步，因为丙和甲、乙的课程都不同，所以丙的排法种情况；
因此，所有选课种数为.
【小问3详解】
①当A只任教1科时：先排A任教科目，有种；再从剩下5科中排B的任教科目，有种；接下来剩余4科中必有2科为同一名老师任教，分三组全排列，共有种；所以当A只任教1科时，共有种；
②当A任教2科时：先选A任教的2科有中，这样6科分为4组共有种，
所以，当A任教2科时，共有种，
综上，A不任教“围棋”的课程安排方案有1140种．
16.轻食是餐饮的一种形态、轻的不仅仅是食材分量，更是食材烹饪方式简约，保留食材本来的营养和味道，近年来随着消费者健康意识的提升及美颜经济的火热，轻食行业迎来快速发展.某传媒公司为了获得轻食行业消费者行为数据，对中国轻食消费者进行抽样调查.统计其中400名中国轻食消费者（表中4个年龄段的人数各100人）食用轻食的频数与年龄得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的消费者称为青少年，年龄在的消费者称为中老年，每周食用轻食的频数不超过3次的称为食用轻食频率低，不低于4次的称为食用轻食频率高，根据所给数据，完成列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
（2）从每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，从中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，，.求的分布列与期望；
（3）已知小李每天早餐、晚餐都食用轻食，且早餐与晚餐在低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁3种轻食中选择一种，已知小李在某天早餐随机选择一种轻食，如果早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，则晚餐选择低卡甜品的概率分别为，，，求小李晚餐选择低卡甜品的概率.
参考公式：，.
附：
【答案】（1）列联表见解析，有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关，理由见解析
（2）分布列见解析，数学期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）数据分析，得到列联表，计算出卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）先利用分层抽样得到，，和的抽取人数，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望；
（3）设出事件，结合全概率公式得到答案.
【小问1详解】
列联表如下：
故，
故有99%的把握认为食用轻食频率的高低与年龄有关；
【小问2详解】
每天食用轻食1次及以上的样本消费者中按照表中年龄段采用分层抽样，
的抽取人数为，的抽取人数为，
的抽取人数为，的抽取人数为，
的可能取值为0，1，此时的取值为0，1，2，故的可能取值为0，1，2，
其中包含两种情况，即和，故，
包含三种情况，，和，故，
包含1种情况，即，故，
故的分布列如下：
则数学期望为；
【小问3详解】
记小李早餐选择低卡甜品、全麦夹心吐司、果蔬汁，分别为事件，
则，，，
小李晚餐选择低卡甜品为事件，则，，，
故，
故小李晚餐选择低卡甜品的概率为.
17.二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
（1）证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
（2）一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．
【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析
（2）数学期望小于最有可能发生的次数
【解析】
【分析】（1）（ⅰ）根据组合数公式分析证明；（ⅱ）根据二项分布结合二项式定理分析证明；
（2）分析可知随机变量，结合二项分布概率公式可得概率最大，进而与期望对比分析.
小问1详解】
（ⅰ）因为，
且，
所以；
（ⅱ）因为，，
可得
，
令，则.
【小问2详解】
由题意可知：，
又因为随机变量，所以，
因为，
假设时，其概率最大，
则，解得，
可知，所以其数学期望小于最有可能发生的次数．
【点睛】方法点睛：1.对于（1）（ⅱ）根据组合数性质以及二项式定理分析求解；
2.对于二项分布的概率最大问题，常常列式，运算求解即可.
18.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数有两个不同的零点，
（i）求实数的取值范围：
（ⅱ）若满足，求实数的最大值.
【答案】（1）答案见解析；
（2）（i）；（ⅱ）.
【解析】
【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可.
（2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可；
（ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果.
【小问1详解】
函数的定义域为，求导得，
当时，恒成立，函数在上单调递增；
当时，由，得，由，得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的递增区间是，无递减区间；
当时，的递增区间是，递减区间是.
【小问2详解】
（ⅰ）由，得，令，求导得，
当时，，当时，，
则函数在上单调递增，在上单调递减，，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，即方程有两个不等的正根，亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是.
（ⅱ）由，得，且，
不妨设，将代入，
得，即，
令，求导得，令，
求导得，则函数在上单调递减，
有，即，函数在上单调递减，
由，得，则，
因此函数在上单调递减，即，
于是，有，则，
又，令，，
由（ⅰ）知，在上递增，而，因此在上递增，
则，即，解得，
所以a的最大值是.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
19.某闯关游戏由两道关卡组成，现有名选手依次闯关，每位选手成功闯过第一关和第二关的概率均为，两道关卡能否过关相互独立，每位选手的闯关过程相互独立，具体规则如下：
①每位选手先闯第一关，第一关闯关成功才有机会闯第二关.
②闯关选手依次挑战.第一位闯关选手开始第一轮挑战.若第位选手在10分钟内未闯过第一关，则认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
③若第位选手在10分钟内闯过第一关，则该选手可继续闯第二关.若该选手在10分钟内未闯过第二关，则也认为第轮闯关失败，由第位选手继续挑战.
④闯关进行到第轮，则不管第位选手闯过第几关，下一轮都不再安排选手闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若把闯关规则①去掉，换成规则⑤：闯关的选手先闯第一关，若有选手在10分钟内闯过第一关，以后闯关的选手不再闯第一关，直接从第二关开始闯关.令随机变量表示名挑战者在第轮结束闯关.
（i）求随机变量的分布列
（ii）证明.
【答案】（1）分布列见解析
（2）（i）分布列见解析（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出随机变量的取值，求出对应的概率即可列出分布列；
（2）（i）求出随机变量的取值，求出的概率即可列出分布列；
（ii）求出，先判断单调性，然后利用错位相减法和不等式放缩证明.
【小问1详解】
由题意，每位选手成功闯过两关的概率为，易知取1,2,3,4，则，，，，
因此的分布列为
【小问2详解】（i）时，第人必答对第二题，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
当时，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
的分布列为：
（ii）由（i）知.
，
故，
又，
故，
所以，①
，②
②－①，
故.
【点睛】方法点睛：求离散型随机变量的分布列及期望的一般步骤：
（1）根据题中条件确定随机变量的可能取值；
（2）求出随机变量所有可能取值对应的概率，即可得出分布列；
（3）根据期望的概念，结合分布列，即可得出期望.
（在计算时，要注意随机变量是否服从特殊的分布，如超几何分布或二项分布等，
可结合其对应的概率计算公式及期望计算公式，简化计算）.使用频数
偶尔1次
30
15
5
10
每周1～3次
40
40
30
50
每周4～6次
25
40
45
30
每天1次及以上
5
5
20
10
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
青少年
中老年
合计
食用轻食频率低
125
95
220
食用轻食频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
1
2
3
4
1
2
3
…
n-1
…