江苏连云港2024~2025学年高二下册6月期末调研数学试题[含解析]

这是一份江苏连云港2024~2025学年高二下册6月期末调研数学试题[含解析]，共19页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知，则与的夹角是， 的展开式中的常数项为， 下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 定义：集合且.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意计算即可.
【详解】由定义得.
故选：A.
2. 已知复数，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】根据复数乘法加法运算可解.
【详解】.
故选：B
3. 由这7个数字，可以组成无重复数字的四位数的个数为（ ）
A. 360B. 480C. 600D. 720
【答案】D
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理直接计算求解即可.
【详解】由题意得第一位上不得为0，故有6种选择，
第二位上减去第一位上使用过的数字共有6种选择，同理第三位上有5种选择，
第四位上有4种选择，故由分步乘法计数原理得共可以组成个四位数，
故选：D
4. 已知正方体的棱长为分别是和的中点.则两条平行线和间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用线面垂直的性质可证得，，由此可知所求距离为，利用勾股定理可求得结果.
【详解】连接，分别与交于点，，
，平面，平面，又平面，
；
四边形为正方形，，
又平面，，平面，
平面，；
又，，，
和间的距离即为的长；
，，，
即和间的距离为.
故选：C.
5. 已知，则与的夹角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知求得，平方可得，继而求出，根据向量的夹角公式即可求得答案.
【详解】由可得，
则，即得，故，
则，
故，
由于，故，
故选：C.
6. 的展开式中的常数项为（ ）
A. -80B. 80C. -160D. 160
【答案】C
【解析】
【分析】将变形为，求出通项，令的指数为零，求出的值，再代入通项计算即可.
【详解】因为，展开式的通项为，
令，得，
所以的展开式中的常数项为，
所以即的展开式中的常数项为.
故选：C.
7. 设甲袋中有3个白球，乙袋中有1个红球和2个白球.现从两个袋中各摸一个球进行交换，则这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分两种情况，若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球；若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，利用独立事件乘法公式计算，再相加即可.
【详解】分两种情况，
若第一次交换时从乙袋中拿到红球，则第二次交换时从甲袋中也拿到红球，其概率，
若第一次交换时从乙袋中拿到的是白球，则第二次交换时，从乙袋中拿到的仍然是白球，其概率为，
故这样交换2次后，红球还在乙袋中的概率为.
故选：A.
8. 一个密闭的长方体盒子高为4，底面是边长为2的正方形，盒内有一个半径为1的小球，若将盒子任意翻动，则小球不能到达区域的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据空间想象得出小球不能达到的空间，利用空间几何体的体积公式计算即可.
【详解】小球在长方体盒子自由滚动当与长方体三面相切时，
即在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，
不能达到的空间为，
此后当小球移动时与长方体的侧面两面相切，
其不能达到的空间为以长方体的侧棱中间长为2的棱为棱柱减去底面半径为1的圆柱的四分之一体积
（这样的空间有四个），体积为，
故小球达不到的空间体积为：.
故选：B
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直
B. 如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直
C. 如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，那么这两个平面平行
D. 如果平面外的一条直线上有两点到这个平面距离相等，那么这条直线与该平面平行
【答案】AB
【解析】
【分析】对于A，由线面平行可得平面内有直线和这条直线平行，由线面垂直可知在原来平面内的直线也存在这个平面，即得得到两个平面互相垂直；对于B，在平面内作直线，使得，线作平面，使得，则有,则，所以；对于C，三点共线时,这两个平面不一定平行；对于D，也有可能直线与平面相交；
【详解】对于A，如果一个平面与另一个平面的垂线平行，设两个平面为，两条直线为，如果 ，则有，进而，所以有，故A正确；
对于B，如果一个平面与另一个平面的垂面平行，有三个平面为，设，在平面内作直线，使得， 则，过直线作平面，使得，则有,则，因为，所以，故B正确；
对于C，如果一个平面内有三点到另一平面距离相等，当这三点在一条直线上时,这两个平面不一定平行, 故C错误；
对于D，当直线上的两点位于平面的同侧时，可得直线与平面平行；当两点位于平面两侧时，直线与平面相交，故D错误.
故选：AB.
10. 已知由样本数据点集合，求得的回归直线方程为，且，现发现两个数据点和误差较大，去除这两点后重新求得的回归直线的斜率为1.2，则（ ）
A. 变量与具有正相关关系
B. 去除后的回归方程为
C. 重新求得的回归直线必过点
D. 去除后相应于样本点的残差为-0.05
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用重新求得的回归方程的斜率为1.2，即可判断选项；利用样本中心在回归直线上，求出，由此进行分析求出，从而得到去除后的回归方程，即可判断选项；利用回归方程求出去掉前的样本中心，分别去掉的两个数的平均数，即可判断选项C；求出，然后作差即可判断选项．
【详解】对A,因为重新求得的回归方程的斜率为1.2，故变量与具有正相关关系，故选项正确；
对C,将代入回归直线方程为，解得，
则样本中心为，去掉两个数据点和后，
由于，
所以去掉后的，没有变化，故样本中心还是，
故去除这两个数据点后的回归直线过点，故选项C正确；
对B,又因为去除后重新求得的回归直线的斜率为1.2，
所以，解得，
所以去除后的回归方程为，故选项不正确；
对D,因为，
所以，故选项正确．
故选：．
11. 已知一个几何体是由正四棱锥和正四面体组合而成，且，则（ ）
A. 该几何体的体积是
B. 二面角的余弦值是
C. 该几何体是七面体
D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】A选项，根据锥体体积公式计算；B选项，根据二面角平面角的定义得到为二面角的平面角，然后求余弦值即可；C选项，根据二面角与二面角互补得到平面与平面为同一个平面，即可得到该几何体为五面体；D选，利用面面平行的判定定理证明即可.
【详解】
如图，连接、，与交于点，过点作平面于点，连接，
由题意得正四棱锥和正四面体的棱长为2，则，，
，，
所以该几何体的体积=，故A正确；
取中点，连接，
因为点为中点，所以，，
因为平面平面，所以为二面角的平面角，
，，，
所以二面角的余弦值为，故B正确；
由图易知，二面角的平面角为，
，，
因为，所以二面角与二面角互补，
所以平面与平面为同一个平面，同理平面与平面为同一个平面，故该几何体为5个面，故C错；
因为，所以四边形为菱形，所以，
因为为正四棱锥，所以，
因为平面，平面，所以平面，平面，
因为，平面，所以平面平面，故D正确.
故选：ABD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某校高二年级200名学生在5月25日参加了江苏省数学联赛预赛，已知预赛成绩服从正态分布（试卷满分为120分）.统计结果显示，预赛成绩在70分到90分之间的人数约为总人数的，则此次预赛成绩不低于90分的学生人数约为__________.
【答案】20
【解析】
【分析】利用正态分布相关知识进行求解.
【详解】因为服从正态分布，且，
所以，所以成绩不低于90分的学生人数为.
故答案为：20.
13. 在8只不同的试验产品中有3只不合格品､5只合格品.现每次取1只测试，直到3只不合格品全部测出为止.最后1只不合格品正好在第4次测试时被发现的不同情形有__________种.
【答案】90
【解析】
【分析】根据题意，前3次有两次是不合格品，一次是合格品，由分步计数原理得到所求结果.
【详解】有8只不同的试验产品，其中有3只不合格品，第4次抽到不合格品，
前3次有两次是不合格品，一次是合格品共有种可能，
前3次测试中的顺序有种可能，
由分步计数原理即得共有种可能.
故答案为：90
14. 用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶（铁皮的正反面都要涂漆），其高是，底面的边长是，已知每平方米需用油漆，共需用油漆__________kg.（精确到）
【答案】##
【解析】
【分析】求出正四棱锥的侧面积，因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，算出即可.
【详解】
如图，正四棱锥表示冷水塔塔顶，表示底面中心，是高，是斜高，
则，底面的边长是，在中，由勾股定理得，，
所以，
因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆，
由精确到，实际问题向上取整，可得共需用油漆.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知函数.
（1）当时，求函数最大值；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）
答案见详解
【解析】
【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，从而求出最大值；
（2）求定义域，求导，分和两种情况，得到函数单调性.
【小问1详解】
，定义域为，
，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得最大值，最大值为
【小问2详解】
，定义域为，
，
当时，，故在上单调递增，
当时，令，解得，令，解得，
故在上单调递增，在上单调递减，
综上，时，在上单调递增；
时，在上单调递增，在上单调递减.
16. 已知数列满足：是等差数列，，.
（1）求数列与的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题目提供的信息求解出的通项公式，再根据求解出的通项公式.
（2）用错位相减法进行求解.
【小问1详解】
当时，，则；
当时，，则；
又，所以，又，
所以等差数列的公差，所以.
令，
当时，，
得，因此，也满足上式，所以.
【小问2详解】
，设其前项和为.
则，
，
两式相减得：，
，
所以
17. 某药品科技研发团队针对甲流病毒的特点，研发出预防甲流药品和治疗甲流药品，根据研发前期对动物试验所获得的相关有效数据作出统计，随机选取其中的100个样本数据，得到如下列联表：
（1）根据表格中的数据，能否有的把握认为预防药品对预防甲流有效果？
（2）用频率估计概率，从已经感染的动物中，采用随机抽样的方式选出1只，用治疗药品对该动物进行治疗.已知治疗药品的治愈数据如下：对未使用过预防药品的动物的治愈率为，对使用过预防药品的动物的治愈率为，求该动物被治愈的概率.
参考公式：，其中.
参考数据：
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据列联表数据代入计算即可；
（2）根据全概率公式计算药品的治愈概率.
【小问1详解】
假设：使用预防药品对预防甲流无效果，
由列联表可知，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为有的把握认为使用预防药品对预防甲流有效果.
【小问2详解】
设事件表示使用治疗药品并且治愈，
事件表示未使用过预防药品，事件表示使用过预防药品，
由题意可得，
且，
则，
治疗药品的治愈概率.
18. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点的直线交椭圆于两点，且（其中为坐标原点），求的面积
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由离心率、椭圆过点和椭圆关系可求得，由此得到椭圆方程；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立后可得韦达定理的形式，由，有，即可解得，利用弦长公式和点到直线距离公式表示出和，由，即，代入即可求得结果.
【小问1详解】
设椭圆的半焦距为，由得，，
过点，，又，
联立，解得，，，
所以椭圆方程为：.
【小问2详解】
由题意知，直线的斜率存在，设为，
又直线过点则直线的方程为，
设，，由得，
由，得，
，
又，有，即，
整理得，
所以，解得，满足，
又因为，点到直线的距离，
则，
即，
代入得，，
故的面积为.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积（或最值，或取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出（求出）所求三角形的面积；
④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
19. 如图，在四棱锥中，四边形是梯形，，平面平面.
（1）证明：；
（2）若点是的中点，点是线段上的点，点到平面的距离是.求：
①直线与平面所成角的正弦值；
②三棱锥外接球的表面积.
【答案】（1）证明见解析
（2）；
【解析】
【分析】（1）由平面平面先证平面，得，从而根据线面垂直的判定定理得平面即可得证；
（2）①建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离确定点的坐标，再利用线面角的向量法求解；②取的中点，其为直角三角形外心，则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，即可确定半径，得解.
【小问1详解】
取的中点，连接，在直角梯形中，，
则四边形为正方形，所以，
在等腰直角三角形 中，，
为等腰直角三角形，而，故，
则有，所以，
因为平面平面平面平面，平面 ，
所以平面，又平面，所以，
又因为，直线有公共点，平面
所以平面又平面得；
【小问2详解】
以A为坐标原点，分别以所在的直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，，
，，，
设，则，则，
设平面的一个法向量为，
则 ，得 ，
取 ，则 ，得平面的一个法向量为，
点P到平面的距离为，
解得，此时，，
①设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值；
②取的中点，其为直角三角形外心，且，
则三棱锥外接球的球心在过点且垂直于平面的直线上，
即平面，设，
由，
得，
解得，
故外接球的半径为，
其表面积为，
故三棱锥外接球表面积为.
【点睛】关键点睛：求解外接球的相关问题，关键是根据题意结合几何题的特征，确定外接球的球心位置，进而求出半径，即可求解.
预防药品
感染
未感染
未使用
40
10
使用
30
20
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024