安徽省安庆市怀宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省安庆市怀宁县2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 式子在实数范围内有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列计算正确的有（ ）
A. B. C. D.
3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A B.
C. D.
4. 等腰中，，是边上的高线，若，则的面积为（ ）
A. 6B. 24C. 6或24D. 6或54
5. 若2＜a＜3，则＝（ ）
A. 5﹣2aB. 1﹣2aC. 2a﹣1D. 2a﹣5
6. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ）
A B.
C. D.
7. 直角三角形两边长为方程解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（ ）
A 或B. C. D. 或
8. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D. 且
9. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③ ；④；上述结论中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10. 如图，在中，，，，为边上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为线段垂直平分线与的交点，连接，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（4×4=16分）
11. 计算15÷×结果是________．
12. 如果，则的值是_________
13. 已知：，则__________
14. 若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为_________________②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为______________，
三、解答题（共74分）
15. 解方程：
16. 已知若，，求的值．
17. 先化简，再求值：，其中，．
18. 已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
19. 已知
（1）求的值；
（2）若恰好是一元二次方程的两个根，求p，q的值．
20. 如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：．
21. 某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨5元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题：
（1）当销售单价每件元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
22. 如图，在中，，分别以边，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，，交于点．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，求四边形的面积．
安徽省安庆市怀宁县2023-2024学年度第二学期八年级期中数学试卷
一、选择题（3×10=30分）
1. 式子在实数范围内有意义的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件即可求出答案．
【详解】】解：由题意可知：x-1＞0，
∴x＞1，
故答案为：x＞1
【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．
2. 下列计算正确的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法法则计算判断A，B，再根据二次根式的乘法法则计算判断C，D．
【详解】因为和不是同类二次根式，不能合并，所以A不正确；
因为，所以B不正确；
因为，所以C不正确；
因为，所以D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．
3. 满足下列条件时，不是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴设，则，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵，
∴，
∴不是直角三角形，
故C符合题意；
D、∵，，
∴，
∴是直角三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
4. 等腰中，，是边上的高线，若，则的面积为（ ）
A. 6B. 24C. 6或24D. 6或54
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，分是锐角三角形、钝角三角形两种情况，分别求解即可．
【详解】解：分两种情况，当是锐角三角形时，如图：
在中，，
；
∴的面积为
当是钝角三角形时，如图：
在中，，
，
∴的面积为
故选D．
5. 若2＜a＜3，则＝（ ）
A 5﹣2aB. 1﹣2aC. 2a﹣1D. 2a﹣5
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
详解】解：,∵2＜a＜3，
∴＜0，＞0，
∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故选D．
【点睛】此题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式的性质解答．
6. 用配方法解关于的一元二次方程，配方后的方程可以是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在本题中，把常数项−3移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数−2的一半的平方．
【详解】解：把方程x2−2x−3＝0的常数项移到等号的右边，得到x2−2x＝3，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2−2x＋1＝3＋1，
配方得（x−1）2＝4．
故选：A．
【点睛】本题考查了配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7. 直角三角形两边长为方程的解，第三边是方程的解，则这个直角三角形的周长是（ ）
A. 或B. C. D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，勾股定理的逆定理，先解方程，勾股定理的逆定理得出第三边为，即可求解．
【详解】解：
∴
解得：
由
∴，
解得：或
依题意，这个直角三角形的三边分别为，
∴这个直角三角形的周长为，
故选：C．
8. 已知关于的方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设“关于的方程”，得：二次项系数可以等于0，所以要分“当时”、“当”时两种情况讨论即可．
【详解】解：当时，原方程可整理得：，符合题意；
当时，∵关于 x 的方程kx2+4x-1=0有实数根，得：
，
解得：．
综上所述：．
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式和一元二次方程的定义是解题的关键．
9. 如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③ ；④；上述结论中，正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过作于, 则四边形是矩形，即可判断①；根据可以证明，即可判断③；根据全等三角形得到，然后利用勾股定理判断②；根据勾股定理判断④即可解题．
【详解】如图, 过作于, 则四边形是矩形,
∴,
∵,
∴, ①正确；
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，故③正确；
∴，
由勾股定理得，，
∵,
②正确；
由勾股定理得，即
∴，故④错误；
正确的为①②③，
故选C．
10. 如图，在中，，，，为边上一动点不与点重合，为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为线段垂直平分线与的交点，连接，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了含的直角三角形，全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．
连接，设交于点，先判定为线段的垂直平分线，从而可判定，然后由全等三角形的性质可得答案．
【详解】如图，连接，设交于点，
∵为的中点，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵等边三角形，
∴，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴为线段的垂直平分线，
∴，，
∴点在射线上，当时，值最小，如图所示，设点为垂足，
∵，
∴，，，
则在和中，
，
，
在中，，，
故，
，
，
，
解得：，
．
故选：D．
二、填空题（4×4=16分）
11. 计算15÷×结果是________．
【答案】3
【解析】
【分析】先计算15÷，再将结果与相乘．
【详解】原式=.
故答案为3．
【点睛】本题考查二次根式的计算，理解运算的先后顺序是解决本题的关键．
12. 如果，则的值是_________
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的应用以及已知式子的值求代数式的值，算术平方根，先将方程进行化简，化成含，再整理得出，然后代入，进行开方运算，即可作答．
【详解】解：当时，则
故
则两边同时除以，
得
∴
∴
∴
则
故答案为：2
13. 已知：，则__________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值．根据算术平方根的非负数的性质可得，代入即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴，
∴，
故答案为：．
14. 若关于的方程有两个不相等的实数根．①求a的取值范围为_________________②若关于的方程的解为整数且满足①中条件的所有a值的和为______________，
【答案】 ①. 且 ②.
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
关于一元二次方程，利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，再解分式方程得到，接程利用分式方程的解为整数得到，然后确定满足条件的的值，从而得到满足条件的所有整数的和．
【详解】∵关于的方程有两个不相等的实根，
且，
解得且；
把关于的方程去分母得，
解得，
，
∴，解得，
∵为整数，
，
，
而且，
∴的值为，
∴满足条件的所有整数的和是．
故答案为：且；．
三、解答题（共74分）
15. 解方程：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【详解】解： ，
，
即 ，
或，
解得：．
16. 已知若，，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先化简a和b，再求出和的值，然后根据完全平方公式把变形后代入计算．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴，，
∴．
17. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，代数式求值是解题的关键．
先利用二次根式的性质进行化简，然后进行乘除、加减运算可得化简结果，最后代值求解即可．
【详解】解： ，
当，时，原式 ．
18. 已知中，，点P从点A开始沿边以每秒的速度移动，点Q从点C开始沿以每秒的速度移动，如果分别从A、C两点同时出发，经几秒时间使的面积等于？
【答案】2秒
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设经x秒时间使的面积等于，根据三角形的面积公式列出方程，即可求解．
【详解】解：设经x秒时间使的面积等于，根据题意得：
，
解得： (不符合题意，舍去)，
答：经2秒时间使的面积等于．
19. 已知
（1）求的值；
（2）若恰好是一元二次方程的两个根，求p，q的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，，也考查了非负数的性质．
（1）根据非负数的性质列出关于的方程组，即可求出的值；
（2）根据根与系数的关系即可求出的值．
【小问1详解】
∵，
，
解得：，
故；
【小问2详解】
是一元二次方程的两个根，
，
．
20. 如图，已知四边形中，平分，，与互补，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理．过C点分别作的垂线，垂足分别为E、F，根据角平分线的性质可得，利用同角的补角相等，得到，再证明，推出，再根据含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，即可证明结论．
【详解】证明：过C点分别作的垂线，垂足分别为E、F，
∵为的平分线，，
∴．
∵与互补，与也互补，
∴．
在与中，
，
∴．
∴．
∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
21. 某商店经销一种成本为每件元的时尚商品，据市场分析，若按每件元销售，一个月能售出件．若销售价每涨5元，则月销售量减少件．针对这种商品的销售情况请解答以下问题：
（1）当销售单价为每件元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）物价部门规定商品利润率不得超过，商店想使月销售利润达到元，销售单价应定为多少元？
【答案】（1）月销售量为件，月销售利润为元
（2）销售单价应定为元
【解析】
【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用．熟练掌握有理数混合运算的应用，一元二次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，月销售量为， （件）；根据月销售利润为，计算求解即可；
（2）设销售单价应定为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件， 依题意得： ，计算求解，然后计算利润率，当利润率小于等于即为满足要求的解．
【小问1详解】
解：由题意知，月销售量为， （件）；
∴月销售利润 （元 ．
∴当销售单价为每千克元时，月销售量为件，月销售利润为元．
【小问2详解】
解：设销售单价应定为 元，则每件的销售利润为 元，月销售量为 件，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， ．
当 时，利润率为 ，不合题意，舍去；
当 时，利润率为 ，符合题意．
∴销售单价应定为元．
22. 如图，在中，，分别以边，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，，交于点．
（1）求证：．
（2）求证：．
（3）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理；
（1）先证明，结合等腰三角形的性质，由“”可证；
（2）根据可得，，再由角的数量关系可证；
（3）根据勾股定理得，由等腰直角三角形，根据勾股定理得，在中，根据勾股定理得，由（1）和（2）得， ，进而根据即可求解．
【小问1详解】
证明：
等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
；
【小问2详解】
证明：
，，
，
∴，
，
，
；
【小问3详解】
解：，，
为等腰直角三角形，
，
由为等腰直角三角形，根据勾股定理得，
又是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形，
由是等腰直角三角形，根据勾股定理得，
在中，，，根据勾股定理得，
由（1）和（2）得， ；
，
．