安徽省安庆市20校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份安徽省安庆市20校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了 下面计算正确的是， 若，则等于等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A. x≥2B. x≤2
C. x＞2D. x＜2
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
5. 将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A. ，－3，1B. ，3，－1
C. ，－3，－1D. ，3，1
6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若，则等于（ ）
A. 1B. 5C. ﹣5D. ﹣1
8. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程下的根的情况是（ ）

A. 无实根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
9. 甲流病毒是一种传染性极强急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了( )
A. 12人B. 12人C. 13人D. 14人
10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则a的值为（ ）
A. B. C. 1或D. 6或
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：2___5．（填“＞”、“＜”或“＝”）
12. 请写出一个有实数根的一元二次方程______．
13. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____．
14. 已知直角三角形三边长为6，8，x,则以x为边长的正方形的面积为________
三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）
15 计算：
（1）；
（2）．
16. 解方程：．
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．

18. 观察下列各式：
，
，
，

依据以上呈现的规律，计算：
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
六．解答题（本题12分）
21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求t的值？
（2）面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
七．解答题（本题12分）
22. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元?
八．解答题（本题14分）
23. 阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
2023—2024学年度第二学期期中综合素质调研
八年级数学试题
一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接根据最简二次根式的判定条件逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A、，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、中含有分数，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、，故不最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、满足最简二次根式的条件，是最简二次根式，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．
2. 若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
A. x≥2B. x≤2
C. x＞2D. x＜2
【答案】A
【解析】
【分析】二次根式有意义，被开方数为非负数，即x-2≥0，解不等式求x的取值范围．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−2≥0，解得x≥2．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件．
3. 下面计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的运算法则及性质进行运算即可求解，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键．
详解】解：、，该选项计算正确，符合题意；
、与不是同类二次根式，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
、和不是同类项，不能合并，该选项计算错误，不符合题意；
、，该选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）
①：②；③；④．
A. ①B. ①②C. ①②③D. ①②③④
【答案】A
【解析】
【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．根据这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】①符合一元二次方程的四个条件，故方程是一元二次方程；
②中时方程不是一元二次方程，故方程不一定是一元二次方程；
③变形为，故方程不是一元二次方程；
④是分式方程，故不是一元二次方程；
综上分析可知，只有①是一元二次方程，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
5. 将一元二次方程化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（ ）
A. ，－3，1B. ，3，－1
C. ，－3，－1D. ，3，1
【答案】B
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2＋bx＋c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：化成一元二次方程一般形式是，
它的二次项是，一次项系数是3，常数项是−1．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键把握要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．
6. 用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故选：C．
【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7. 若，则等于（ ）
A. 1B. 5C. ﹣5D. ﹣1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键．
根据二次根式有意义的条件得，从而求得，最后代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴且．
∴．
∴．
∴．
故选：A．
8. 函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程下的根的情况是（ ）

A. 无实根B. 有两个相等的实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】先利用一次函数的性质得，，再计算判别式的值得到，于是可判断，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【详解】解：根据图象可得，，则，
∴，，
∵，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了一次函数图象．
9. 甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有人感染了“甲流病毒”，则每轮传染中平均一个人传染了( )
A. 12人B. 12人C. 13人D. 14人
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；传染源为人，每次传播人，第一轮传播后，感染的人数一共为人，人则成为第二轮的传染源，因此第二轮感染的人数为人，根据两轮感染的总人数即可列出方程求解．
【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，
根据题意，得，
解得：或(舍去)，
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故选：D．
10. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，满足，则a的值为（ ）
A. B. C. 1或D. 6或
【答案】B
【解析】
【分析】先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，利用，得到，解关于a的方程，然后利用a的范围确定满足条件的a的值．
【详解】解：根据题意得
解得，
根据根与系数的关系得：，，
∵，
∴，
即，
整理得，
解得，，
而a＜3，
∴a的值为，
故选B．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是熟记根的判别式以及根与系数之间的关系．
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 比较大小：2___5．（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＜
【解析】
【分析】把根号外的系数平方后移入根号内，再比较根号内被开方数的大小即可．
【详解】2＝＝，5＝＝，
∵20＜50，
∴2＜5，
故答案为：＜．
【点睛】本题考查了实数大小的比较，两个含有算术平方根的正数比较大小，两种处理方法：一是把根号外的系数平方后移入根号内，再比较根号内被开方数的大小即可；二是平方法，两个数分别平方，比较平方后的数大小即可．
12. 请写出一个有实数根的一元二次方程______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式写出即可.
【详解】解：由于有实数根，
故，
即符合题意的有（答案不唯一）．
故答案：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义以及根的判别式是解题的关键．
13. 若、是一元二次方程的两根，则的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系，得，再代入即可解决此题．
【详解】解：∵、是一元二次方程的两根，
，
则
，
故答案为：．
14. 已知直角三角形的三边长为6，8，x,则以x为边长的正方形的面积为________
【答案】100或28
【解析】
【分析】以x为边长的正方形的面积是x2，所以只需求得x2即可．但此题应分8为直角边和为斜边两种情况．
【详解】当较大的数8是直角边时，根据勾股定理，得x2=36+64=100；
当较大的数8是斜边时，根据勾股定理，得x2=64-36=28．
所以以x为边长的正方形的面积为100或28．
故答案是：100或28.
【点睛】考查了勾股定理，一定要注意分两种情况，不要漏解.
三．解答题（本大题共2小题，第15题8分，第16题8分，满分16分）
15. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算，乘法公式的应用，熟练掌握公式及运算法则是解题的关键．
（1）先化简，再算加减即可；
（2）根据完全平方公式以及平方差公式进行计算即可求解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
．
16. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了解一元二次方程．先分解因式，即可得两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
，
，
四．解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．

【答案】绳索的长度是
【解析】
【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答．
【详解】解：设秋千的绳索长为，则，
那么，
在中，，
故，
即
解得：，
所以绳索AD的长度是．
【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
18. 观察下列各式：
，
，
，

依据以上呈现的规律，计算：
【答案】9
【解析】
【分析】先把里边的每一项分别分母有理化，再把所得结果计算出来即可求出最后答案．
【详解】解：


．
【点睛】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，解题的关键是找出规律，使运算简便．
五．解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知实数a、b满足，若关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了非负数的性质、根与系数的关系、分式的加减等知识点，根据非负数的性质求得a、b的值成为解题的关键．
根据非负数的性质得出，根据根与系数的关系可得，将变形为，整体代入计算即可解答．
【详解】解：∵实数a、b满足，
∴，
∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，
∴，
∴＝．
20. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若此方程的两个实数根，满足，求k的值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）故k的值为1或．
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系：
（1）通过计算根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得，再利用得到，从而得到满足条件的k的值．
【小问1详解】
证明：∵，
∴该方程总有两个实数根；
【小问2详解】
解：根据根与系数的关系得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
故k的值为1或．
六．解答题（本题12分）
21. 如图，中，，，，一动点P从点C出发沿着方向以的速度运动，另一动点Q从A出发沿着边以的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为．
（1）若的面积是面积的，求t的值？
（2）面积能否为面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【答案】（1）
（2）不可能，见解析
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出面积为：，的面积为，由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系列方程求出t的值，但方程无解，从而可得答案．
【小问1详解】
解：由题意知，，，
∴，，
∴，
整理得，解得，
答：当时的面积为面积的；
【小问2详解】
不能，理由如下：
当时，
，
整理得，
∵△，
∴此方程没有实数根，
∴的面积不可能是面积的一半．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
七．解答题（本题12分）
22. “抖音直播带货”已经成为时尚的销售方式，某带货主播准备销售一种防护品，进货价格为每件50元，并且每件的售价不低于进货价．经过初期试销售调查发现：每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间满足如图所示的函数关系．

（1）求每月的销售量y（件）与每件的售价x（元）之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）
（2）物价部门规定，该防护品每件的利润不许高于进货价的．该带货主播销售这种防护品每月的总利润要想达到10000元，那么每件的售价应定为多少元?
【答案】（1）每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为
（2）当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元
【解析】
【分析】(1)由图象可知每月销售量(件)与售价(元)之间为一次函数关系，设其函数关系式为，用待定系数法求解即可；
(2)由题意得关于x的医院二次方程，解一元二次方程可得答案．
【小问1详解】
由图象可知每月销售量y（件）与售价x（元）之间为一次函数关系，
设其函数关系式为，
将，代入，得，解得：，
∴每月销售y（件）与售价x（元）的函数关系式为﹔
【小问2详解】
根据题意得：，
整理得，，解得，，
∵该防护品的每件利润不允许高于进货价的，
∴，即，
∴不合题意应舍去，∴．
∴当这种防护品每件的售价定为70元时，该主播每月的总利润可达到10000元．
【点睛】本题考查了一次函数与一元二次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键．
八．解答题（本题14分）
23. 阅读材料：
例：说明代数式的几何意义，并求它的最小值．
解：．
几何意义：如图，建立平面直角坐标系，点是轴上一点，则可以看成点与点的距离，可以看成点与点的距离，所以原代数式的值可以看成线段与长度之和，它的最小值就是的最小值．
求最小值：设点关于轴对称点，则．因此，求的最小值，只需求的最小值，而点，间的直线段距离最短，所以的最小值为线段的长度．为此，构造直角三角形，因为，，所以由勾股定理得，即原式的最小值为．
根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点B 的距离之和．（填写点B的坐标）
（2）代数式的值可以看成平面直角坐标系中点 与点A 、点B 的距离之和．（填写点A，B的坐标）
（3）求出代数式+的最小值．
【答案】（1）或；
（2）；
（3）最小值为10．
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，考查的是轴对称−最短路线问题，解答此题的关键是利用数形结合思想解决问题，学会用转化的思想解决问题．
（1）先把原式化为的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；
（2）先把原式化为的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和；
（3）在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．
【小问1详解】
∵原式化为的形式，
∴代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点，点或的距离之和，
故答案为或；
【小问2详解】
∵原式化为的形式，
∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点与点的距离之和，
故答案为：．
【小问3详解】
如图所示：设点A关于x轴的对称点为，则，

∴的最小值，只需求的最小值，而点、B间的直线段距离最短，
∴的最小值为线段的长度，
∵
∴，，
∴ ，
∴代数式的最小值为10．