2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省济南市市中区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知，，是实数，若，，则
A．B．C．D．
2．若分式的值为0，则等于
A．B．C．D．
3．许多装饰图案中都蕴含着丰富的数学之美，下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
5．参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是
A．10米B．18米C．20米D．36米
6．若关于的分式方程无解，则的值是
A．3或2B．1C．1或3D．1或2
7．下列说法中，错误的是
A．平行四边形的两组对边分别相等
B．菱形的两条对角线相等
C．正方形的四条边都相等
D．矩形的四个角都相等
8．若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．且D．
9．如图，△中，，，，，，则的值为
A．7B．4C．2D．5
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数的图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上（点在点的左侧），且，连接，．有如下四个结论：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形可能是菱形；
③四边形可能是矩形；
④四边形可能是正方形．
所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案。
11．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，若，，则的长为 ．
12．如图，将△沿方向平移得到△（其中点，，分别与点，，对应）．若，则 ．
13．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ．
14．如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 ．
15．囍，是中国传统吉祥图案，婚礼中，剪出大红双喜字贴于洞房中堂，指婚姻中男女双方共同迎接喜庆的一天．如图囍的剪法图解③中，已经折过2次后的红纸左右宽，如果在最上层处扎一个小孔，则在取开展平的囍中会出现、、另外三个小孔，已知点距离左侧边缘为（即，则 ．
①向右对折红纸
②再向右对折
③剪去阴影部分
④逆向展平成品
三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。
16．将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
17．解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
19．如图，点在正方形的边上，点在边的延长线上，且．求证：．
20．先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到△，已知点的坐标为作出△并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到△，作出△；
（3）若将△绕某一点旋转可得到△，直接写出旋转中心的坐标．
22．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
23．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作．
（1）证明是菱形；
（2）若，连接、，求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点为轴负半轴上一点，且，直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点．点是直线上位于第四象限内的一点，点，分别在直线，上．若点在点左侧，且，连接，，，当时，求点的坐标以及的最小值；
（3）如图2，将△绕点逆时针旋转得到△，在旋转过程中，直线与轴于交点，与直线交于点，在平面内确定一点，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
25．【问题情景】如图1，在△中，为△的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明△△，由全等得到，从而在△中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．
（1）在上述过程中，证明△△的依据是 ，的范围为 ；
【思考探究】（2）如图3，在△中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角△和等腰直角△，为中点，连结，，．
①判断：△的形状，并说明理由；
②若将图4中的等腰△绕点转至图5的位置，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，直接写出：△和△的面积之差为 ．
参考答案
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一项符合题目要求。
1．已知，，是实数，若，，则
A．B．C．D．
解：，，
，，，．
故选：．
2．若分式的值为0，则等于
A．B．C．D．
解：若分式的值为0，
则且，
即，
故选：．
3．许多装饰图案中都蕴含着丰富的数学之美，下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项分析判断如下：
、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
4．下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A．B．
C．D．
解：是乘法运算，则不符合题意，
中，等号右边不是积的形式，则不符合题意，
符合因式分解的定义，则符合题意，
中不是整式，则不符合题意，
故选：．
5．参加创客兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进1米后左转，再沿直线前进1米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是
A．10米B．18米C．20米D．36米
解：解：由题意，得
每一个外角是，
，
二十边形米，
故选：．
6．若关于的分式方程无解，则的值是
A．3或2B．1C．1或3D．1或2
解：原方程去分母可得：
，
，
，
根据题意，原分式方程无解，
①当时，即时，整式方程无解，所以原分式方程无解，符合题意；
②当原分式方程最简公分母时，即，是原分式方程的增根，也符合题意，
此时，，
解得；
的值是1或2，
故选：．
7．下列说法中，错误的是
A．平行四边形的两组对边分别相等
B．菱形的两条对角线相等
C．正方形的四条边都相等
D．矩形的四个角都相等
解：平行四边形的两组对边分别相等，
选项正确，不符合题意；
菱形的两条对角线互相垂直平分，不相等，
选项错误，符合题意；
正方形的四条边都相等，
选项正确，不符合题意；
矩形的四个角都是直角，
矩形的四个角都相等，
选项正确，不符合题意，
故选：．
8．若关于的方程有实数根，则的取值范围是
A．B．C．且D．
解：当，方程变形为，方程的解为；
当，△，解得；
综上所知当时，方程有实数根．
故选：．
9．如图，△中，，，，，，则的值为
A．7B．4C．2D．5
解：延长交于点，
，
，
，
，
，
△△，
，，
，
，
是△的中位线，
，
故选：．
10．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数的图象上的一个动点，过点作轴交函数的图象于点，点在轴上（点在点的左侧），且，连接，．有如下四个结论：
①四边形一定是平行四边形；
②四边形可能是菱形；
③四边形可能是矩形；
④四边形可能是正方形．
所有正确结论的序号是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
解：①如图1，轴，
，
又，
四边形是平行四边形，
故①正确；
②设，则，，
，
当时，四边形是菱形，
，
，
解得：（不符合题意），，
存在的情况，
即四边形可能是菱形，
故②正确；
③如图2，点是函数的图象上的一个动点，
存在点的横坐标为3，此时四边形是矩形，
故③正确；
④当时，，
此时，如图2所示，
四边形不为正方形，
故④错误，不符合题意；
本题正确的结论有：①②③．
故选：．
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分，填空题请直接填写答案。
11．如图，四边形为平行四边形，的角平分线交于点，若，，则的长为 3 ．
解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
．
故答案为：3．
12．如图，将△沿方向平移得到△（其中点，，分别与点，，对应）．若，则 12 ．
解：由题知，
因为洒基由△沿方向平移得到，
所以．
又因为，
所以．
故答案为：12．
13．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为 ．
解：将点代入得，
，
由函数图象可知，
当时，一次函数的图象不在一次函数图象的上方，即，
所以关于的不等式的解集为：．
故答案为：．
14．如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为 48 ．
解：设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
该纸盒的体积为；
故答案为：48．
15．囍，是中国传统吉祥图案，婚礼中，剪出大红双喜字贴于洞房中堂，指婚姻中男女双方共同迎接喜庆的一天．如图囍的剪法图解③中，已经折过2次后的红纸左右宽，如果在最上层处扎一个小孔，则在取开展平的囍中会出现、、另外三个小孔，已知点距离左侧边缘为（即，则 ．
①向右对折红纸
②再向右对折
③剪去阴影部分
④逆向展平成品
解：已经折过2次后的红纸左右宽，
经过两次对折后，纸张被平均分成了4层，且这4层是完全重合的，
与关于第二次对折的折痕对称，
与关于第二次对折的折痕对称，
的长度刚好是折后红纸宽度的2倍（从对称关系角度理解，到折痕的距离与到折痕的距离相等，二者距离之和就是纸张宽度的2倍）．
则．
故答案为：．
三、解答题：本题共10小题，共90分，解答时应写出文字说明，证明或演算步骤。
16．将下列各式因式分解：
（1）；
（2）．
解：（1）
；
（2）
．
17．解方程：
（1）；
（2）3x2+2x﹣2＝0．
解：（1），
，
2x+1＝x﹣2，
2x﹣x＝﹣1﹣2，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x﹣2≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣3；
（2）3x2+2x﹣2＝0，
a＝3，b＝2，c＝﹣2，
Δ＝22﹣4×3×（﹣2）
＝4+24
＝28＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
．
18．解不等式组，并写出它的所有非负整数解．
解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的非负整数解是0．
19．如图，点在正方形的边上，点在边的延长线上，且．求证：．
【解答】证明：四边形是正方形，
，，
又，
，
，
在与中，
，
，
．
20．先化简，再求值：，试从0，1，2，3四个数中选取一个你喜欢的数代入求值．
解：
，
当时，
原式．
或者，当时，
原式．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，请解答下列问题：
（1）若经过平移后得到△，已知点的坐标为作出△并写出其余两个顶点的坐标；
（2）将绕点按顺时针方向旋转得到△，作出△；
（3）若将△绕某一点旋转可得到△，直接写出旋转中心的坐标．
解：（1）△如图所示．
点，．
（2）△如图所示．
（3）如图，点即为所求的旋转中心，
旋转中心的坐标为．
22．“雨过园亭绿暗时，樱桃红颗压枝低”，樱桃富含维生素，崂山北宅素有“中国樱桃之乡”的美誉．在2023年樱桃节某水果商城为了了解两种樱桃市场销售情况，购进了一批数量相等的“樱珠”和“樱桃”供客户对比品尝，其中购买“樱桃”用了630元，购买“樱珠”用了1134元，已知每千克“樱珠”进价比每千克“樱桃”贵8元．
（1）求每千克“樱珠”和“樱桃”进价各是多少元？
（2）若该水果商城决定再次购买同种“樱珠”和“樱桃”共60千克，且再次购买的费用不超过1000元，且每种樱桃进价保持不变．若“樱珠”的销售单价为30元，“樱桃”的销售单价为18元，则该水果商城应如何进货，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大？最大利润是多少？
解：（1）设每千克“樱珠”进价是元，则每千克“樱桃”进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：每千克“樱珠”进价是18元，每千克“樱桃”进价是10元；
（2）设购买千克“樱珠”，则购买千克“樱桃”，
根据题意得：，
解得：，
设总利润为元，
根据题意得：，
，
最的增大而增大，
当时，有最大值，，
此时，，
答：该该水果商城应购买50千克“樱珠”，10千克“樱桃”，使得第二批的“樱珠”和“樱桃”售完后获得利润最大，最大利润是680元．
23．如图，在中，的平分线交于点，交的延长线于，以、为邻边作．
（1）证明是菱形；
（2）若，连接、，求的度数；
（3）若，，，是的中点，求的长．
解：（1）证明：
平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
又四边形是平行四边形，
四边形为菱形；
（2）四边形是平行四边形，
，，，
，
，
由（1）知，四边形是菱形，
，，
，，
，
，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形，
；
（3）如图2中，连接，，
，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
，
，
为中点，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
是等腰直角三角形．
，，
，
．
方法二：，四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
又由（1）可知四边形为菱形，
，
四边形为正方形．
，
，
过作于，
则是等腰直角三角形，
是等腰直角三角形，
，
，
，
．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，点为轴负半轴上一点，且，直线经过，两点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，将直线向上平移个单位长度得到直线，与直线交于点，与轴，轴分别交于点，点．点是直线上位于第四象限内的一点，点，分别在直线，上．若点在点左侧，且，连接，，，当时，求点的坐标以及的最小值；
（3）如图2，将△绕点逆时针旋转得到△，在旋转过程中，直线与轴于交点，与直线交于点，在平面内确定一点，使得四边形为菱形，请直接写出所有符合条件的点的坐标．
解：（1）直线交轴于点，
当时，，
解得，即，
，
，
，
；
设直线的解析式为，
将，代入解析式，
得：，
解得：，
直线的解析式为；
（2）在中，
当时，，即，
，
，
由（1）可得，
，
点是直线上位于第四象限内的一点，
设，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即；
，，
，
，
将直线向上平移个单位长度得到直线，直线的解析式为，
直线的解析式为，，，
，
当时，，即，
当时，，
解得，即，
，，，
，
如图，作交于，
则四边形为平行四边形，，
，
，
，
△为等边三角形，，
作交于，则，
，
将点沿方向平移单位长度得到点（即向左平移3个单位长度，向上平移个单位长度），
，
则，，
四边形为平行四边形，
，
作点关于直线的对称点，连接交于，连接，
则，，
过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
由轴对称的性质可得，
，
的最小值为，
，
的最小值为，
的最小值；
（3）如图，四边形第一次为菱形时，过点作轴于点，过点作轴于点，
此时△为等腰三角形，且，
，
，
由旋转知，，
，
轴，
，，
，
，，
，
四边形为菱形，
，
，，
，
，
由菱形中，，，
是平移来的，
点到点的平移方式是水平向右平移个单位长度，
点为点水平向右平移个单位长度，
点的坐标为，
即；
如图，四边形第二次为菱形时，过点作轴于点，
此时△为等腰三角形，且，
，，
由旋转知，即，
点与点重合，
，
，
，
，，
，，
，
；
同上平移方法可得点为点水平向右平移个单位长度，
点的坐标为，
即；
综上所述，或．
25．【问题情景】如图1，在△中，为△的中线，若，，求的取值范围．中线倍长法：如图2，延长至点，使得，连结，可证明△△，由全等得到，从而在△中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围．
（1）在上述过程中，证明△△的依据是 ，的范围为 ；
【思考探究】（2）如图3，在△中，，为中点，、分别为、上的点，连结、、，，若，，求的长；
【拓展延伸】
（3）如图4，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角△和等腰直角△，为中点，连结，，．
①判断：△的形状，并说明理由；
②若将图4中的等腰△绕点转至图5的位置，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，直接写出：△和△的面积之差为 ．
解：（1）为△的中线，
，
在△和△中，
，
△△，
，
在△中，，即：，
，
，
，
故答案为：，；
（2）延长至点，使得，连结，，如图3，
为中点，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
，
在△中，由勾股定理得：，
，，
垂直平分，
；
（3）①△为等腰直角三角形，理由如下：
延长至点，使得，连结，，如图4，
等腰直角△和等腰直角△，
，，，，
，
为中点，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
，
，
在△和△中，
，
△△，
，，
又，
，
△为等腰直角三角形；
②△和△的面积之差为4；理由如下：如图5，延长至点，使得，连结，，，
为中点，同上“倍长中线”方法可得△△，
，，，
设，
，
，
，
△△，
，，
同理可得，
，
，，
分别过，作，，，为垂足，
，，
△△，
设，，，，
，，，
解得，
，
，
故答案为：4．