天津第二南开学校2024~2025学年高一下册5月月考数学学科试卷[附解析]

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考试时间:100分钟
一、单选题：本题共9 小题，共36分。
1. 已知 z=1+2i2−i(i为虚数单位)，则 ∣z∣=
A. 1 B. 2 C. 2 D. 4
2. 已知向量a，b满足 ∣a∣=2∣b∣=2,∣a+b∣=2, 则 a−b 在a上的投影向量为( )
A.98a B.−98a C.32a D.−32a
3. 一组数据由小到大排列为2,4,5,x,11,14,15,39,41,50, 已知该组数据的40%分位数是9.5,则x的值是( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
4.已知a，b是空间两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，下列正确的为( )
A. 若α∥β, a⊂α, b⊂β, 则a∥b B. 若a∥α, a⊥β, 则α⊥β
C. 若α∩β=a, γ∩β=b, a∥b, 则α∥γ D. 若α⊥β, a⊂α, 则a⊥β
5.某人工智能公司为优化新开发的语言模型，在其模型试用人群中开展满意度问卷调查，满意度采用计分制(满分100分)，统计满意度并绘制成如下频率分布直方图，图中m=2n，则下列结论不正确的是( )
A. n=0.015
B.满意度计分的众数约为75分
C.满意度计分的平均分约为79分
D.满意度计分的下四分位数约为70分
6. 在△ABC中, 角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若 2acs2B2=a+c,则该三角形一定是( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形
7. 在△ABC中, ∠ACB=90°, AB=8, ∠BAC=60°, PC⊥平面ABC, PC=4, M是AB边上的一动点，则PM 的最小值为 ( )
A.27 B.7 C.19 D.5
8. 已知 AB=a,AC=b,BN=13BC,GA+GN+GC=0, 则 AG=
A.23a+13b B.23a+43b
C.29a+49b D.49a+89b
9.如图所示，图中多面体是由两个底面相同的正四棱锥所拼接而成，且这六个顶点在同一个球面上.若二面角M-AB-C的正切值为 1，则二面角N-AB-C的正切值为( )
A. 1 B. 2
C. 2 D.22
二、填空题：本题共6小题，共24分。
10. 在△ABC中, a=2,A=π6,b=23, 则∠C= .
11. 已知一组数据4，2a， 3−a，5， 6的平均数为4，则a的值是 ，该组数据的方差是 .
12.已知四棱锥的底面是边长为 2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 .
13.已知直三棱柱 ABC−A1B1C1的各棱长均相等，体积为 23,M为A₁B中点，则点M到平面A₁B₁C的距离为 .
14.从分别写有1，2，3，4，5，6，7的7张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字大于第二卡片上的数字的概率为 .
15. 如图, 在△ABC中, 点 D, E在边BC上, 且 BD=DE=EC,点 F, M分别在线段AB, AD上, 且 AF=2FB,2AM=MD, 直线FM交AE于点G,且 AG=λAE,则λ= . 若直线MC交AE于点N且△MNG是边长为1的等边三角形，则 MA⋅MC= .
三、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.已知单位向量e1, e2,夹角为 π2,a=−e1,b=me1+e2,且a与b的夹角为 π4.
(1)若 a+λb与 2a+b所成的角为锐角，求实数λ的取值范围；
(2)若向量c为a在b上的投影向量, 求|a+c|.
17.设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27，9，18，先采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员参加比赛.
(I)求应从这三个协会中分别抽取的运动员人数；
(Ⅱ)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛.
(i)用所给编号列出所有可能的结果；
(ii)设A为事件“编号为A₅，A₆的两名运动员至少有一人被抽到”，求事件A发生的概率.
18. 在△ABC中, 角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 已知 csB=916,b=5,ac=23.
(1)求a的值; (2)求sinA的值; (3)求 cs(B−2A)的值.
19.(此题应用空间向量求解不给分)如图，已知四棱锥 P−ABCD的底面是正方形， PA⟂底面ABCD, AP=AB=AD=2,E是侧棱PB的中点.
(1)证明: AE⟂平面PBC;
(2)求异面直线AE与PD所成的角；
(3)求直线AB 到平面PCD的距离.
20.(此题应用空间向量求解不给分)如图，梯形ABCD中， AB⟂AD,CD‖AB, CD=2AB,四边形ADEF中, EF‖AD,AE=AF=EF=12AD=2,且平面ABCD⊥平面ADEF.
(1) 求证: BF‖平面ACE;
(2) 求证: 平面ACE⊥平面DCE;
(3) 若BE与CD所成角为 45∘, 求：
(i) AD与面DCE所成角
(ii) 二面角B−ED−A的平面角大小