山东烟台中英文学校2023~2024学年高一下册期末检测数学试卷[附解析]

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一、单选题
1. 某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了 40 名初中生和
20 名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为 8 小时，方差为 2，高中生每天的平均睡眠时间为 7
小时，方差为 1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得
结果.
【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为： （小时），
该地区中学生每天睡眠时间的方差为： .
故选：D.
2. 甲中学的女排和乙中学的女排两队进行比赛，在一局比赛中甲中学女排获胜的概率是 ，没有平局．若
采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则甲中学的女排获胜的概率等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用互斥事件以及独立事件的概率公式求解，即可求得答案.
【详解】甲中学的女排要获胜，必须赢得其中两局，可以是第一、二局，
也可以是第一、三局，也可以是第二、三局．
故甲中学的女排获胜的概率 ,
故选：D
3. 设 是三个不同平面，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
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【解析】
【分析】利用面面平行的性质定理，及它们之间的推出关系，即可以作出判断.
【详解】若 ， ，则由平面平行的性质定理：得 ；
但当 ， 时，可能有 ，也可能有 相交，
如 是三棱柱的两条侧棱所在直线， 是 确定的平面，
另两个侧面所在平面分别为 ，此时符合条件，而 相交，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B
4. 已知母线长为 a 的圆锥的侧面展开图为半圆，在该圆锥内放置一个圆柱，则当圆柱的侧面积最大时，圆
柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由题意求得圆锥的底面半径与高，从而利用比例关系得到圆柱底面半径与高的关系，再利用基
本不等式求得圆柱的侧面积最大时圆柱底面半径与高的取值，从而得解.
【详解】依题意，设圆锥底面半径为 ，高为 ，圆柱底面半径为 ，高为 ，
则 ，则 ，故 ，
所以由 ，得 ，
所以圆柱的侧面积 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
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此时 ，圆柱的体积为 .
故选：B.
5. 2016 年至 2023 年我国原油进口数量如图所示：
下列结论正确的是（ ）
A. 2016 年至 2023 年我国原油进口数量逐年增加
B. 2016 年至 2023 年我国原油进口数量的极差为 16138 万吨
C. 2016 年至 2023 年我国原油进口数是的 分位数为 54239 万吨
D. 2015 年我国原油进口数量少于 30000 万吨
【答案】C
【解析】
【分析】根据统计图的数据，依次分析选项即可得答案.
【详解】2021 年和 2022 年我国原油进口数量都比上一年少，A 错误；
2016 年至 2023 年我国原油进口数量的极差为 18298 万吨，B 错误；
将数据从小到大排序： ， ， ， ， ， ， ， ，
由于 ，则 年至 2023 年我国原油进口数量的 分位数为为第 7 个数，即 54239 万吨，
C 正确；
设 2015 年我国原油进口数量为 万吨， ， ，
所以 2015 年我国原油进口数量超过 30000 万吨，D 错误．
故选：C
6. 如图，四棱锥 中， 面 ，四边形 为正方形， ， 与平面
所成角的大小为 ，且 ，则四棱锥 的外接球表面积为（ ）
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A. 26π B. 28π
C. 34π D. 14π
【答案】C
【解析】
【分析】依题意可将四棱锥 补成长方体 ，则四棱锥 的外接球也是
长方体 的外接球，由 可求出 的长，进而可求 ，即为外接球的直径，
从而可得外接球的表面积.
【详解】如图，因为 面 ，四边形 为正方形，
所以可将四棱锥 补成长方体 ，
则四棱锥 的外接球也是长方体 的外接球.
由 面 ，所以 就是 与平面 所成的角 ，
则 ，所以 ，
设四棱锥 的外接球的半径为 ，
因为长方体 的对角线 的长即为其外接球的直径，
所以 ，所以 ，
所以四棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：C
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7. 抛掷一枚骰子两次，将得到的点数分别记为 ，则 能构成三角形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】按照分类讨论的方法求出 能够构成三角形的基本事件数，然后利用古典概型的概率公式求解
即可.
【详解】因为三角形两边之和大于第三边，所以 ，
又因为 最大为 ，所以
当 时，有 共六种情况，
当 时，有 共五种情况，
当 时，有 共四种情况，
当 时，有 共三种情况，
当 时，有 共两种情况，
当 时，有 一种情况，所以共有 种情况，
而总的可能数有 种，
所以概率为 ，
故选：A.
8. 在三棱锥 中，顶点 P 在底面的射影为 的垂心 O（O 在 内部），且 PO 中点为 M，
过 AM 作平行于 BC 的截面 ，过 BM 作平行于 AC 的截面 ，记 ， 与底面 ABC 所成的锐二面角分别
为 ， ，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 可能值为
D. 当 取值最大时，
【答案】C
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【解析】
【分析】对选项 A，先找到二面角的平面角，再根据边角关系证明 与 全等，然后根据直线
垂直并平分线段 即可判断 ；对选项 B，找到角的关系 和
，然后分别运用正切的两角差公式解得 即可；对选项 C 和 D，均
是先根据 运用正切的两角差公式，然后通过换元得到一个一元二次方程，然后
根据判别式即可判断.
【详解】
如图所示，连接延长 交 与 ，连接延长 交 与 ，设平面 平面
顶点 P 在底面的射影为 的垂心 ， 平面 ，平面 平面
则有：直线 与 平行
又 ，则
平面 ，则
又
则 平面
从而
故 为 与平面 的二面角，即
同理可得：
对选项 A， ，又 ，则有：
可得： 与 全等，则
又根据 是 的垂心，则，
综上可得：直线 垂直并平分线段
可得： ，故选项 A 正确；
对选项 B，易知有如下角关系：
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又 ，则有：
可得：
解得：
则 ，故选项 B 正确；
对选项 C，若 ，则有：
则有：
化简后可得：
令 ，则有：
则有： ，此时方程无解，故选项 C 错误；
对选项 D，设 （ ），则有：
可化简为：
令 ，则有：
则有：
解得：
故 取得最大值时， ，此时
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同理可得：
故 ，且
则有： ，故选项 D 正确；
故选：C
【点睛】二面角的问题，常见的有两种方法：一是通过二面角的定义作二面角的平面角；二是通过空间向
量的方法，这两种方法需要灵活选择，如果选择不当，则很可能会大大增加计算量，本题不宜采用空间向
量法
二、多选题
9. 某不透明盒子中共有 5 个大小质地完全相同的小球，其中有 3 个白球 2 个黑球，现从中随机取两个球，
甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ）
A. 若不放回取球，则甲乙相互独立 B. 若有放回取球，则甲乙相互独立
C. 若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D. 若有放回取球，则甲乙为互斥事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求出放回和不放回的样本空间和相应事件甲和乙以及它们交事件的样本空间，进而可求出各事
件发生的概率，从而根据样本点和概率以及互斥事件和独立事件的定义即可求解.
【详解】由题记样本点为 ， 分别表示第一次和第二次取到的球，
将 3 个白球 2 个黑球分别标记为 和 ，
则放回抽样样本空间为
共 25 个样本点，
甲事件样本空间为 ，
共 10 个样本点，则 ；
乙事件样本空间为
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共 15 个样本点，则 ，
则 共 6 个样本点，
故甲乙不为互斥事件，且 即甲相互独立，故 B 对、D 错；
不放回抽样样本空间为
共 20 个样本点，
甲事件样本空间为 ，
共 8 个样本点，则 ；
乙事件样本空间为
共 12 个样本点，则 ，
则 共 6 个样本点，
故甲乙不为互斥事件，且 即甲不相互独立，故 A、C 错.
故选：ACD.
10. 盒子中有编号一次为 1,2,3,4,5,6 的 6 个小球（大小相同），从中不放回地抽取 4 个小球并记下编号，根
据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为 6 的小球的是（ ）
A. 极差为 5 B. 上四分位数为 5 C. 平均数为 3.5 D. 方差为 4.25
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据极差、四分位数、平均数及方差公式逐一判断即可.
【详解】假设抽出四张卡牌从小到大排列为
A． ，得 ， ，故 A 正确；
B．上四分位数为 ，得 ， ，故 B 正确；
C． ，存在 ， ， ， 使得不抽出卡牌 6，故 C 错误；
D．若未抽出卡牌 6，则方差最大为 ， ， ， 时，此时 ， ，故
D 正确.
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故选：ABD.
11. 如图，在棱长为 4 的正方体 中， 为棱 的中点，
，过点 的平面截该正方体所得的截面为 ，则（
）
A. 不存在 ，使得 平面
B. 当平面 平面 时，
C. 线段 长的最小值为
D. 当 时，
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用举反例可判断 A，利用面面平行的性质及向量的线性运算及数量积运算可判断 BC 选项，通过
画正方体的截面判断 D 选项的正确性，从而确定正确答案.
【详解】当 时， 与 重合， 与 重合，
易证 平面 ，即存在 ，使得 平面 ，故 A 错误；
若平面 平面 ，因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，设 ，因为 为 的中点，
所以 为 的中点，所以 ，延长 到 ，使得 ，
同理可得 ，又 ，所以 ，又 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以 ，故 B 正确；
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由题意知 ，且 ，
故
（当且仅当 时等号成立） ，当且仅当
时等号成立，
所以 ，故 C 正确；
当 时，易得 为正六边形（如图六边形 ），其边长为 ，
故 的面积为
. ，
所以 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题
12. 已知样本数据为 1，a，b，7，9，该样本数据的平均数为 5，则这组样本数据的方差的最小值为______．
【答案】
【解析】
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【分析】根据平均数和方差的计算公式计算，再结合基本不等式求最值.
【详解】因为平均数为 ，所以 ．
因为方差 ，
所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以方差的最小值为 ．
故答案为： .
13. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、 想等，其描述为：任一正整数 x，如果是奇数就乘以 3 再
加 1，如果是偶数就除以 2，反复计算，最终都将会得到数字 1 如给出正整数 5，则进行这种反复运算的过
程为 5→16→8→4→2→1，即按照这种运算规律进行 5 次运算后得到 1．若从正整数 6，7，8，9，10 中任
取 2 个数按照上述运算规律进行运算，则至少有 1 个数的运算次数为奇数的概率为___________.
【答案】 ##0.7
【解析】
【分析】根据题中定义，分别求出正整数 6，7，8，9，10 按照题中所给运算规律进行运算的次数，最后根
据古典概型计算公式进行求解即可.
【详解】按照题中运算规律，正整数 6 的运算过程为 ，运算次数
为 8；
正整数 7 的部分运算过程为 ，
当运算到 10 时，运算次数为 10，由正整数 的运算过程可知，
正整数 7 总的运算次数为 ；
正整数 8 的运算次数为 3；
正整数 9 的部分运算过程为 ，当运算到 7 时，运算次数为 3，
由正整数 7 的运算过程可知，正整数 9 总的运算次数为 ．
正整数 10 的运算次数为 6；
故正整数 6，7，8，9，10 的运算次数分别为偶数、偶数、奇数、奇数、偶数，
从正整数 6，7，8，9，10 中任取 2 个数的方法总数为：
，共 种，
其中 运算次数均为偶数的方法总数为： ，共 种，
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故运算次数均为偶数的的概率为 ，
故所求概率 ．
故答案为： ．
14. 如图，在三棱台 中，平面 平面 ABC， ， ，
.
（1）求 DC 与平面 ABC 所成线面角大小______.
（2）若 ，求三棱锥 外接球表面积______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）过 作作 ，可得出线面角，再过 作 于 ，连接 ，在三个直角
三角形中，分别计算 ， ， ，
进而得出 ，即可求解；
（2）通过已知，结合余弦定理得出 ，进而证出 ， ，结合线面垂直的判定定理
得出 平面 ，再结合勾股定理求出外接球半径即可求解；
【详解】
过点 作 于 ，连接 ，
因为平面 平面 ABC，且平面 平面 ABC ，
所以 平面 ABC，
为 DC 与平面 ABC 所成的线面角，
过 作 于 ，连接 ，则 ，
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在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以 ，即 ，
解得 ，
所以 ，即 DC 与平面 ABC 所成线面角大小为 ；
如图：
因为 ，
所以 ，即 ，且 ，
所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，
即 ，
所以 ，即 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ，
由（1）知， ，且 ，
由余弦定理可得 ，
所以 ，即 ，
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又 平面 ，
所以 平面 ，
设三棱锥 外接球半径为 ，底面 的外接圆半径为 ，
且 ，
所以 ，
所以 ，
所以三棱锥 外接球表面积为 ，
故答案为： ； .
【点睛】关键点点睛：本题第一空关键是能够在三个直角三角形中利用余弦值找到
；第二空是能通过线面垂直和余弦定理找到 .
四、解答题
15. 如图，在正四棱锥 中， 为底面 的中心．
（1）若 ， ，求正四棱锥的体积；
（2）若 ， 为 的中点， 求直线 与平面 所成角的大小．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正四棱锥的数据，先算出直角三角形 的边长，再利用体积公式计算即可得；
（2）连接 ，结合正四棱锥的性质与线面垂直的判定定理可先证 平面 ，根据线面角
的定义得出所求角为 ，然后结合题目数量关系求解.
【小问 1 详解】
正四棱锥满足 平面 ，由 平面 ，则 ，
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又正四棱锥底面 是正方形，由 可得， ，
故 ，则 ；
【小问 2 详解】
连接 ，由题意结合正四棱锥的性质可知，每个侧面都是等边三角形，
由 是 中点，则 ，又 平面 ，
故 平面 ，即 平面 ，又 平面 ，
于是 即为直线 与平面 所成角，
设 ，则 ， ，
又线面角的范围是 ，故 ，即直线 与平面 所成角的大小为 .
16. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得
到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 c，将该指标大于 c 的人判定为阳性，小于或等于 c 的人判
定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定为阳
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性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）当漏诊率 ％时，求临界值 c 和误诊率 ；
（2）设函数 ，当 时，求 的解析式，并求 在区间 的最
小值．
【答案】（1） ， ；
（2） ，最小值为 ．
【解析】
【分析】（1）根据题意由第一个图可先求出 ，再根据第二个图求出 的矩形面积即可解出；
（2）根据题意确定分段点 ，即可得出 的解析式，再根据分段函数的最值求法即可解出．
【小问 1 详解】
依题可知，左边图形第一个小矩形的面积为 ，所以 ，
所以 ，解得： ，
．
【小问 2 详解】
当 时，
；
当 时，
,
故 ，
所以 在区间 的最小值为 ．
17. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 在棱 上且 侧面 ，
，垂足为 ．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 与直线 交于点 ，证明： ；
（3）侧面 为等边三角形时，求二面角 的平面角 的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证 平面 ，得到 ，再根据 ，可证 平面 .
（2）先证 平面 ，再根据线面平行的性质定理证明线线平行.
（3）先确定二面角 的平面角，再解直角三角形，求出二面角的正切值.
【小问 1 详解】
如图：
因为 侧面 ， 平面 ，所以 ，
又因为四边形 为正方形，所以 ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 .
因为 侧面 ，所以 ，
因为 ，且 ， 平面 ，
所以 平面 .
【小问 2 详解】
因为底面 为正方形，所以 ,
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又因为 平面 ， 平面 ,
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面 ,
所以 .
【小问 3 详解】
如图：
由题 为等边三角形， ， 故 为 中点，
在线段 上取点 ，使得 ，
因为 是正方形，所以 ，
又 ， 所以 ，
又因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 平面角，
设 ，
不妨设等边 的边长为 2，
则 ， ，
所以在 中， .
18. 某电子公司新开发一款电子产品，该电子产品的一个系统 由 3 个电子元件组成，各个电子元件能正
常工作的概率为 ，且每个电子元件能否正常工作是相互独立，若系统 中有超过一半的电子元件正常工
作，则 可以正常工作，否则就需要维修．
（1）求系统需要维修的概率；
（2）为提高系统 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件
正常工作的概率为 ，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则 可以正常工作．问： 满足什
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么条件时可以提高整个系统 的正常工作概率？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）电路需要维修有以下两种情形：
情形一：电路中没有电子元件可以正常工作.
情形二：电路中有且仅有一个电子元件可以正常工作
由 次独立重复实验中事件 恰好发生 次的概率计算公式，再结合并事件的概率公式即可求出系统需要
维修的概率.
(2)把整个系统 的正常工作概率用含 的代数表示出来最终解不等式即可，至于去表示整个系统 的正常
工作概率的时候，具体可以分为以下三种情形：
情形一：电路中有且仅有 个电子元件正常工作.
情形二：电路中有且仅有 个电子元件正常工作.
情形三：电路中有且仅有 个电子元件正常工作.
【小问 1 详解】
记事件 ，
事件
事件 ，显然事件 与事件 互斥，则由题意可知
.
所以系统需要维修 概率为 .
【小问 2 详解】
记 ， ，
， ，
则由题意可知
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且显然事件 、事件 、事件 两两互斥，则 ,将
分别代入并整理得 .由（1）可知系统 原来的正常工作概率为
，若新增两个电子元件后整个系统 的正常工作概率提高了，则有不等式
成立，解得 ,考虑实际意义知 .综上当 时，可
以提高整个系统 的正常工作概率.
19. 如图，点 在以 为直径的圆 上 不同于 ， ， 垂直于圆 所在平面， 为 的重
心， ， 在线段 上，且 .
（1）证明： ∥平面 ；
（2）在圆 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ？若存在，指出点 的位置；若不存
在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在， 为弧 的中点
【解析】
【分析】（1）连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，由重心的性质和平行线的判定，结合线面平行
的判定定理可证得结论，
（2）在圆 上假设存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，根据题意作出二面角 的
平面角，解三角形即可判断.
【小问 1 详解】
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证明：连接 ，并延长交 于点 ，连接 ，
因为 为 的重心，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ∥平面 ；
【小问 2 详解】
解：在圆 上假设存在点 ，使得二面角 的余弦值为 ，设 ，
连接 ，并延长交 于 ，则 为 的中点，
因为 ，所以 ， ，
过 作 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
因 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ,
过 作 于 ，连接 ，
因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
在 中， ，
因为二面角 的余弦值为 ，所以 ，
所以 ，所以
所以 ，
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所以 ，解得 ，
所以在在圆 上存在点 ，且 ，即 为弧 的中点，使得二面角 的余弦值为 ，
【点睛】关键点点睛：此题考查线面平面的证明，考查二面角的求法，解题的关
键是根据已知条件结合二面角的定义利用线面垂直的判定定理作出二面角，考查空间想象能力和计算能力，
属于较难题.
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