黑龙江哈尔滨黑龙江实验中学2023~2024学年高一下册期末考试数学试卷[附解析]

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一、单选题
1.设复数，则（ ）
A.B.的共轭复数为
C.的虚部为2D.在复平面内对应的点位于第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出，然后逐一核对四个选项得答案．
【详解】解：因为
所以，，复数的虚部为2，实部为，在复平面内的点的坐标为位于第二象限，故正确的为C；
故选：C
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题．
2.已知一个圆台的轴截面面积为6，轴截面的一个底角为30°，则这个圆台的侧面积是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，得到，即得解.
【详解】
设圆台上底面的半径为，下底面的半径为，圆台的高为，
所以，
由题得，
所以这个圆台的侧面积是.
故选：B
3.已知，，表示三条不同的直线，，表示不同的平面，则（ ）
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，，则
【答案】C
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.
【详解】A：若，则或，故A错误；
B：若，则或，故B错误；
C：若，则，故C正确；
D：若，且，则，故D错误.
故选：C
4.某单位共有，两部门，1月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条形图如下．设，两部门的服务满意度得分的中位数分别为，，方差分别为，，则（ ）
A.，B.，
C.，D.，
【答案】C
【解析】
【分析】利用频率分布条形图可读出，，且部门数据更为集中，即可得出结论.
【详解】根据频率分布条形图可知，，，
所以，
显然部门得分数据较部门更为集中，其方差更小，即.
故选：.
5.正方体的棱长为2，G为的中点，则直线BD与平面的距离为( )
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
【分析】由图可知，∥，利用平行的性质将BD与平面的距离转化为D与平面的距离，进一步利用等体积法求出D与平面的距离即可.
【详解】
由图易证∥平面，所以BD与平面的距离等于D与平面的距离.设D与平面的距离为h，则.又因为为正方体，所以平面，所以，所以，所以.又正方体的棱长为2，G为的中点，所以，，，所以中边上的高为.所以.
故选：B.
6.如图，在四棱锥中，四边形是正方形，平面，E是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别取棱的中点F，H，可得是异面直线与所成的角或补角，在中，由余弦定理即可求解.
【详解】如图，分别取棱的中点F，H，连接，
设，则．
因为E，F分别是棱的中点，所以，
则是异面直线与所成的角或补角．
因为H，E分别是棱的中点，所以.
因为平面，所以平面.
因为平面,所以，则．
在中，由余弦定理可得．
故选:D.
7.如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（，）（ ）
A.7350B.2650C.3650D.4650
【答案】B
【解析】
【分析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，在中，利用正弦定理求得，在中，解直角三角形即可的解.
【详解】解：如图，设飞机初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，
则，所以，
在中，，
由正弦定理得，
则，
因为，
所以，
所以山顶的海拔高度大约为.
故选：B.
8.在正方体中，为棱的一个三等分点（靠近点），分别为棱，的中点，过三点作正方体的截面，则下列说法正确的是（ ）
A.所得截面是六边形
B.截面过棱的中点
C.截面不经过点
D.截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，作出过三点的正方体的截面，再逐项推理判断作答.
【详解】在正方体中，依题意，直线FG与直线交于点P，显然，
直线FE交DA延长线于点Q，则有，如图，
连接，则有，而平面平面，平面平面，
平面与平面有公共点，则平面与平面必有一条交线，此交线平行于，也平行于，
连，因，则四边形是平行四边形，于是得，即平面平面，
因此点是平面截正方体的截面的一个顶点，连交分别于点O，H，
连接，则五边形是平面截正方体所得的截面，A不正确，C不正确；
由知，，即，B不正确；
由得，即，则截面与线段相交，且交点是线段的一个五等分点，D正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，
或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
二、多选题
9.制造业指数反映制造业的整体增长或衰退，制造业指数的临界点为．我国年月至年月制造业指数如图所示，则（ ）
A.年月中国制造业指数为，比上月下降个百分点，低于临界点
B.年月至年月中国制造业指数的极差为
C.年月至年月中国制造业指数的众数为
D.年月至年月中国制造业指数的标准差小于年月至年月中国制造业指数的标准差
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据指数图结合极差、众数、标准差的概念逐项分析即可.
【详解】对于A，由图可知：年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数为，年月中国制造业指数比上月下降个百分点，且低于临界点，A正确；
对于B，年月至年月中国制造业指数的极差为，B正确；
对于C，由图中数据知：众数为，C错误；
对于D，由图中数据波动幅度知：
年月至年月中国制造业指数比年月至年月更稳定，
年月至年月中国制造业指数的标准差更小，D正确.
故选：ABD.
10.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为平面内一点，下列说法正确的有（ ）
A.若O为外心，且，则
B.若O为的内心，，则
C.若O为的重心，，则角A=60°
D.若O为的外心，且O到a，b，c三边距离分别为则
【答案】AB
【解析】
【分析】根据三角形四心相关性质和正弦定理、余弦定理等相关知识逐项检验即可求解.
【详解】对于A，设外接圆半径为，因为，
所以，则，
也即，所以，则，故选项A正确；
对于B，取的中点，连接，作，垂足分别为，
因为，所以为的角平分线，所以，
又，，所以，则；
因为的周长，面积，
所以内切圆半径，所以，
又，所以，因为，
所以，
则，，所以，故选项B正确；
对于C，因为点为的重心，所以，
又因为，令，
则，在中，由余弦定理可得，
，因为，则，故选项C错误；
对于D，设外接圆半径为，因为，
，
所以，从而得到，同理可得，
所以，故选项D错误，
故选：AB.
11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为1，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则（ ）
A.与能构成一组基底B.
C.在向量上的投影向量的模为D.的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，作出辅助线，证明出，从而建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到与平行，故A错误；
B选项，求出得到B正确；
C选项，求出，，利用投影向量的计算公式求出答案；
D选项，取的中点，得到，求出的最大值，从而得到的最大值.
【详解】连接AF，
因为，故，
因为，故，
故，
以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则
故，
故，
所以与平行，不能构成一组基底，A错误；
，，，
，
故，B正确；
，，，
故在向量上的投影向量的模长为，C正确；
取的中点，则，，
则，，
两式相减得：，
当点与点或重合时，最大，
最大值为，
则的最大值为，D正确.
故选：BCD
【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：
①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；
②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.
三、填空题
12.某地区为了解最近11天该地区的空气质量，调查了该地区过去11天小颗粒物的浓度（单位：），数据依次为．已知这组数据的极差为，则这组数据的第百分位数为________.
【答案】
【解析】
【分析】根据极差求得的值，计算，根据百分位数的含义即可确定答案即可.
【详解】由题意得，数据的极差为，因为数据中最小值为，
故应为最大值，为81，则 ，
将数据从小到大排列为：
，
故这组数据的第百分位数为第九个数据.
故答案为：79
13.已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，，根据正弦定理求得外接圆的半径，结合球的性质、球的表面积公式进行求解即可．
【详解】根据题意设底面的外心为G，O为球心，所以平面ABC，

因为平面ABC，所以，
设是PA中点，因为，所以，
因为平面平面ABC，所以，因此，
因此四边形ODAG是平行四边形，故，
∵，∴，
又外接圆的半径，由正弦定理得，
所以该外接球的半径满足，
所以外接球的表面积为.
故答案为：．
14.已知．在中，
设，
定义：．
设或．给出下列四个结论：
①
②；
③若，则；
④，都有，则最多有个元素．
其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②④
【解析】
【分析】利用给定定义判定①，依据定义展开计算判定②，举反例判定③，分析给定定义判定④即可.
【详解】对于①，其实就是每个分量的乘法分配律，
则，必定成立，故①正确；
对于②，则其等价于，
右边展开以后是包含左边的，但还多出了一些非负的项，所以②也正确.
对于③，如果时，那么任意取均可成立，故③错误，
对于④，它的含义是，中任意两个元素，不能在同一个位置取1，
这就意味着第位取1的向量至多有一个，
这表明中的全部向量的全部分量总共至多有个1，
从而的非零元素个数不超过个，从而的元素不超过个，
则显然能取到，即满足，
即的第位为1，别的均为0，故④正确.
故答案为：①②④
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义问题，解题关键是合理分析题意，然后结合反例法，逐个判断即可．
四、解答题
15.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数和分位数（精确到0.1）；
（3）在第四､五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组的概率.
【答案】（1），
（2）平均数为69.5，分位数为69.4；
（3）
【解析】
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，所有频率之和为1，可得，；
（2）根据直方图中各个数字特征的求法运算即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【小问1详解】
因为第三､四､五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，解得；
【小问2详解】
由（1）知，
平均数为；
前两组频率之和为0.3，前三组频率之和为0.75，所以中位数位于组内，
且，即分位数为69.4；
【小问3详解】
第四､五两组志愿者分别有20人，人，
故按照分层抽样抽得第四组志愿者人数为4，分别设为
第五组志愿者人数为1，设为，
这5人选出2人，所有情况有，共10种，
其中选出的2人来自同一组的有，共6种，
所以选出的2人来自同一组的概率为.
16.已知面积为，角，，的对边分别为，，，请从以下条件中任选一个，解答下列问题：
①；
②；
③
（1）求角；
（2）若，是上的点，平分，的面积为，求角平分线的长.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）若选①，由三角形的面积公式及余弦定理可得的值，再由角的范围，可得角的大小；如选②，由正弦定理及二倍角公式可得的值，再由角的范围，可得角的大小；若选③，由正弦定理及诱导公式可得角的大小；
（2）由等面积法及余弦定理可得角平分线的值．
【小问1详解】
若选①，
由三角形的面积公式及余弦定理可得，
可得，又因为，所以；
若选②，由正弦定理可得，
因为，则，所以，所以，
又，则，所以，
所以，所以，则；
若选③，由正弦定理可得，
因为，则，所以，
即，所以，
即，
又，则，所以，则；
小问2详解】
因为，是上的点，平分，的面积为，
所以，
可得，，
由余弦定理可得，
即，解得（负值已舍去），
即角平分线长为.
17.如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）若，二面角的大小为，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知.求的长.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）证明见解析
（2）12
【解析】
【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意可建立以为坐标原点的空间直角坐标系，设分别求出平面和平面的法向量，由二面角公式代入解方程即可求出，进而求出的长.
【小问1详解】
取中点，连接.

在中，分别为的中点，所以.
在菱形中，因为，
所以.
所以四边形为平行四边形，所以.
又因为平面平面，
所以平面.
【小问2详解】
选择条件①：
因为平面平面，
所以.
又因为平面，
所以平面，又平面，
所以，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

连接，因为，所以，又为中点，所以，
所以为正三角形.因为，所以.
设，
则，
根据条件，可得平面的法向量为.
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，所以，
由题意，二面角的大小为，
所以，解得（舍负）.
因为是的中点，所以的长为12.
经检验符合题意.
选择条件②：
因为平面平面，
所以.
连接，因为，且，
所以，在菱形中，，即为正三角形.
又因为为中点，所以，
以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

又因为.
因为为正三角形且，所以.
设，
则，
根据条件，可得平面的法向量为.
设平面的法向量为，
则，所以，
取，则，所以，
由题意，二面角的大小为，
所以，解得（舍负）.
因为是的中点，所以的长为12.
经检验符合题意.
18.已知四边形为正方形，为，的交点，现将三角形沿折起到位置，使得，得到三棱锥.

（1）求证：平面平面；
（2）棱上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）存在满足题意的点，且
【解析】
【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.
【小问1详解】
因为四边形为正方形，所以，，
所以折起后，，，
由于折起前有，且折起后，
所以折起后有，即，
又，，平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面.
【小问2详解】
由（1）知，，，
所以以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
则，，，
假设存在满足题意的点，设，则，
设平面的法向量为，则
，即，
令，得，，即，
易知平面的一个法向量为，
因为平面与平面夹角的余弦值为，
所以，
解得，
所以在棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，且为棱的中点，
所以.
19.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，已知S为的面积且满足．
（1）若为锐角三角形，求的取值范围；
（2）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．若P是内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立．求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先用三角形面积公式及余弦定理边化角，可以解出，然后结合正弦定理化简可得，借助二次函数性质可求得结果.
（2）将T构造出符合三维分式型柯西不等式左边的形式，然后用三维分式型柯西不等式结合余弦定理可解.
【小问1详解】
，，即，．
，
，，，，
为锐角三角形，，，，，
设，则，时，
【小问2详解】
．
又，，，，
．
由三维分式型柯西不等式有．
当且仅当即时等号成立．
由余弦定理得，
所以即，则．
令，则．
因为解得，当且仅当时等号成立．
所以．则．
令，则在上递减，
当即时，y有最大值，所以T的最小值为．