广西壮族自治南宁第二十一中学2024~2025学年高二下册4月期中数学试卷[附解析]

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 高二某班4名同学分别从3处不同风景点中选择一处进行旅游观光，则共有多少种选择方案（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
2. 下列求导正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 学校要求学生从物理、历史、化学、生物、政治、地理这6科中选3科参加考试，规定先从物理和历史中任选1科，然后从其他4科中任选2科，不同的选法种数为（ ）
A. 12B. 20C. 24D. 120
4 若函数，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
5. 已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A. 120B. 160C. 200D. 260
6. 若等比数列满足，，则数列的公比等于（ ）
A. 或B. 或C. D.
7 当时，函数取得最小值，则（ ）
A. B. C. D.
8. 函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A 随机变量X服从二项分布，若方差，则
B. 若样本数据的平均数为28，则数据的平均数为9
C. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70
D. 一组数据的第60百分位数为15
10. 关于的展开式，下列说法错误的是（ ）
A. 各项二项式系数之和为32B. 各项系数之和为1
C. 存在常数项D. 的项的系数为80
11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 当时，曲线C表示双曲线
B. 当时，曲线C表示椭圆
C. 曲线C不可能表示两条直线
D. 曲线C可能表示抛物线
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 计算________．（用数字作答）
13. 的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
14. 一支足球队每场比赛获胜（得3分）概率为a，与对手踢平（得1分）的概率为b，负于对手（得0分）的概率为c，其中，已知该足球队进行一场比赛得分的均值是1，则的最小值为________．
四、解答题（本题共5小题，共77分）
15. 一位教授去参加学术会议，他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.
（1）求这位教授迟到的概率；
（2）现在已经知道他迟到了，求他乘坐的是飞机的概率.
16. 记等差数列的前项和为，已知，且．
（1）求和；
（2）设，求数列前项和．
17. 为促进全民阅读，建设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出“读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅读活动．开学后，学校统计了高一年级共1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分钟），得到了如下所示的频率分布直方图，若前两个小矩形的高度分别为0.0075，0.0125，后三个小矩形的高度比为3：2：1．
（1）根据频率分布直方图，估计高一年级1000名学生假期日均阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）开学后，学校从高一日均阅读时间不低于60分钟的学生中，按照分层抽样的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日均阅读时间处于[80，100）的人数记为，求随机变量的分布列与数学期望．
18. 如图，正方体的棱长为1，分别为的中点．
（1）求证：;
（2）求与所成角的余弦值
19 已知函数．
（1）设，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性；
（3）若有唯一零点，求实数的取值范围．