广东湛江2023~2024学年高一下册期末调研测试数学试卷[附解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（ ）
A.B.C.D.
2.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是
A.B.
C.D.
3.下列各组数的方差从小到大排序是（ ）
（1）（2）；
（3）；（4）．
A.（1）（2）（3）（4）B.（4）（3）（2）（1）
C （3）（1）（2）（4）D.（2）（1）（3）（4）
4.圆台一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，其侧面积为，则较小底面的半径为（ ）
A.3B.5C.7D.9
5.已知O，N，P在所在平面内，且，且，则点O，N，P依次是的( )
（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心）
A.重心外心垂心B.重心外心内心
C.外心重心垂心D.外心重心内心
6.在等腰中，，AD平分且与BC相交于点D，则向量在上的投影向量为（ ）
A.B.C.D.
7.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则与的关系为（ ）
A.互斥B.包含C.互为对立D.相互独立
8.已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9.中，角所对的边分别为，且，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.若，则面积的最大值为
C.不可能为锐角三角形
D.若为的外心，则
10.已知，方程有一个虚根为为虚数单位，另一个虚根为，则（ ）
A.该方程存在实数根B.C.D.
11.已知一个不透明袋子中装有大小、质地完全一样的1个白球、1个红球、2个黑球，现从中依次不放回地随机抽取2个小球，事件“取到红球和黑球”，事件“第一次取到黑球”，事件“第二次取到黑球”，则下列结论正确的是（ ）
A.B.
C.D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知复数，若，则的取值范围是_________．
13.已知和是两个不共线向量，，，且与是共线向量，则实数的值是______．
14.如图，透明塑料制成的长方体内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分始终为四棱柱形；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形的面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图（3）所示时，是定值．其中所有正确命题序号是_________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.如图，平面，底面为矩形，于点于点．

（1）求证：平面；
（2）设平面交于点，求证：．
16.已知三个角的对边分别为，
（1）已知，求边上中线长.
（2）请用表示边中线长，并写出推导过程.
17.为检测同学体能，学校从高一年级随机抽取了100名同学参加体能测试，并将成绩分数分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
（1）估计这100名同学体能成绩分数的平均分和第66百分位数；
（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人进行成绩分析，第二组同学成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组同学成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有同学成绩的方差．
18.Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为．
（1）求乙答对题的概率；
（2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率．
19.如下左图，矩形中，，，.过顶点作对角线的垂线，交对角线于点，交边于点，现将沿翻折，形成四面体，如下右图.

（1）求四面体外接球的体积；
（2）求证：平面平面；
（3）若点为棱的中点，请判断在将沿翻折过程中，直线能否平行于面.若能请求出此时的二面角的大小；若不能，请说明理由.