甘肃民乐县第一中学2024~2025学年高一下册5月质量检测数学试卷[附解析]

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.
【详解】因为，所以，
所以即，故，
故选：D.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
3. 已知平面平面，直线，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质分析判断.
【详解】设，在平面内作，
因为平面平面，所以，
因为，所以∥，
因为，，
所以，

而当平面平面，直线，时，与平面可能垂直，可能平行，可能相交不垂直，
所以“”是“”的充分而不必要条件，
故选：A
4. 如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由平面向量的线性运算可得，即可求出，进而求出的值.
【详解】
，
所以，所以，
所以，
.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解.
【详解】因，
所以，，
所以，
故选：B.
6. 在中，内角对边分别是，若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形内角和定理可得的值.
【详解】由题意结合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
据此可得，
则.
故选：C.
7. 已知，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
8. 在中，若，且，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】由两角和的正弦公式并结合正弦定理可得，即，又由化简可得，得，从而可求解.
【详解】，则，
因为，所以，则，
又因为，，则，
则，即，
即，又因为，则，
所以，即.
即一定是等边三角形，故D正确.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，若同一组中数据用该组区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（ ）
A. 考生参赛成绩的平均分约为72.8分
B. 考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分
C. 分数在区间内的频率为0.2
D. 用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间应抽取30人
【答案】BC
【解析】
【分析】利用频率分布直方图估计平均数判断A；求出第75百分位数判断B；求出分数在区间内的频率判断C；用分层随机抽样求出区间内应抽人数判断D.
【详解】对于A，平均成绩为，A错误；
对于B，由频率分布直方图知，分数在内的频率为0.7，在内的频率为0.9，
因此第75百分位数位于内，第75百分位数为，B正确；
对于C，分数在区间内的频率为，C正确；
对于D，区间应抽取人，D错误.
故选：BC
10. 如图所示，正方体中，给出以下判断，其中正确的有（ ）

A. 面B.
C. 与是异面直线D. 与平面夹角余弦为
【答案】ABCD
【解析】
【分析】由正方体的性质，应用线面垂直判定、异面直线定义、线面角的定义判断各项正误.
【详解】由面，故面，A对；
由，即为平行四边形，则，B对；
由面，面，且面面，与不平行，与是异面直线，C对；
由正方体易知：面，故为与平面夹角，

若正方体的棱长为1，则，D正确.
故选：ABCD
11. 已知函数，则下列说法正确的是
A.
B. 函数的最小正周期为
C. 函数的图象的对称轴方程为
D. 函数的图象可由的图象向右平移单位长度得到
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据三角恒等变换判断A，根据正弦型函数周期判断B，根据正弦型函数对称轴判断C，由图象平移判断D.
【详解】对于AB，因为函数
，故A错误；
所以，故B正确；
对于C，令，解得，故C正确；
对于D，的图象向右平移单位长度可得，
故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知数据，，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，，…，的平均数与方差的差为________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据原数据与新数据的数量关系，可求得新数据的平均数和方差即得.
【详解】依题意，因的平均数为，方差为，
则数据，，，…，的平均数为，
方差为，
故两者的差为.
故答案为：1.
13. i是虚数单位，若复数为纯虚数，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算与概念即可得的值.
【详解】,
所以，所以.
故答案为：.
14. 如图，在三棱锥中，，且，，分别是棱，的中点，则和所成的角等于__________.
【答案】##
【解析】
【分析】取BC的中点G，连接FG、EG，则为EF与AC所成的角．解．
【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．
，F分别是CD，AB的中点，
，，且，．
为EF与AC所成的角（或其补角）．
又，．
又，，，
为直角三角形，，又为锐角，
，即EF与AC所成的角为．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，中，，是正方形，平面平面，若、分别是、的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行；
（2）由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直，结合勾股定理逆定理得到线面垂直.
【小问1详解】
证明：如图，取的中点，连接，．

，分别是和的中点，
，．
又四边形为正方形，
，从而．
平面，平面，
平面，
同理平面，又，
平面平面，
∵平面，
则平面；
【小问2详解】
为正方形，
．
又平面平面，且平面平面，面，
平面，平面，则，
，，
，则，得．
又，平面，
平面；
16. 已知向量与的夹角，且，.
（1）求；
（2）在上的投影向量；
（3）求向量与夹角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出，可求得.
（2）根据投影向量计算公式计算即可.
（3）利用向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
由向量与的夹角，且，，得，
， 所以.
【小问2详解】
在上的投影向量为.
【小问3详解】
，则，
所以向量与夹角余弦值为.
17. 在中，角、、所对的边分别为、、，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）利用共线向量的坐标表示结合两角和的余弦公式求出的值，再由角的取值范围可求出角的值；
（2）利用正弦定理得出，，于是得出，利用两角和的正弦公式以及辅助角公式将其转化为角的三角函数，可求出的最大值.
【详解】（1），，且，
，即，
即，化简得，
，，则，得.
，；
（2）由正弦定理得，则，，
所以，，为锐角，且，，
，，则，
当时，取得最大值.
【点睛】本题考查共线向量的坐标表示、三角形化简与求值以及三角形中的最值问题，在求解三角形中的最值与取值范围问题时，一般利用正弦定理将代数式转化为以某角为自变量的三角函数，借助三角函数恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.
18. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求该函数的单调递增区间；
（3）求函数在区间上的最小值和最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）最小值为0，最大值为3
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换公式求出函数的解析式，即可求最小正周期；
（2）利用三角函数的单调区间的求法求解；
（3）根据三角函数的图象性质求区间上的最值.
【小问1详解】
，
所以函数的最小正周期.
【小问2详解】
令，则，
故该函数的单调递增区间.
【小问3详解】
因为，所以，
当，即时，；
当，即时，，
故函数在区间上的最小值为0，最大值为3.
19. 如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，平面.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可证四边形为平行四边形，则，结合线面平行的判定定理即可证明；
（2）如图，易证，根据线面垂直的性质与判定定理可得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；
（3）根据线面垂直的性质与判定定理可得为二面角的平面角，即，作，由面面垂直的性质确定为直线与平面所成的角，即可求解.
【小问1详解】
因为且，所以四边形为平行四边形，
则，又平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由平面，平面，得，
连接，由且，
所以四边形为平行四边形，又，
所以平行四边形为正方形，所以，
又，所以，又平面，
所以平面，由平面，
所以平面平面；
【小问3详解】
由平面，平面，所以，
又，平面，
所以平面，又平面，所以，
故为二面角的平面角，即，
在中，，作，垂足为M，
由（2）知，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，则为直线在平面上的投影，
所以为直线与平面所成的角，
在中，，所以，
在中，，
即直线与平面所成角的正弦值为.