2025年夏季世界少年奥林匹克数学竞赛（中国区）省级选拔赛七年级试题（中考模拟）

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参考答案：
一．填空题（每题 7 分，共 84 分）
1. 3 2. 2 3. 2 4. 5. 6. 12
7. -13 8. 9. 10. 11. 706 12. 4
二．解答题
13.（12 分）已知 求 的值 .
解：∵a﹣b＝ ①，b﹣c＝ ②，
由①+②得 a﹣c＝
分
∵a2+b2+c2＝1，
∴ab+bc+ca＝ ＝
分
14.（ 12 分 ） 若 为 实 数 ， 且 , 求
的值.
解：
分
分
15.（14 分）计算：
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∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝ + + ＝
分
∴2（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ac）＝
分
解：令
原式= 分
=
= 分
16.(14 分）已知关于 的方程 有两个正整数解，且 是质数
，求 的值 .
解： 关于 的方程 有两个正整数解
(n 为正整数） 分
分
又因为 , 奇偶性相同，故这两个数必为偶数,而 是质数，故有以下情况：
(i) 当 时,
,
此时原方程的解为 ; 分
(ii) 当 时，
,
此时原方程的解为 ; 分
故由(i)(ii)可知 . 分
17.(14 分）在△ABC 中，已知∠ACB＝45°，过 BC 上一点 D 作 AB 的垂线，垂足为点 H，
HD 交 AC 的延长线于点 E，若 AB＝HD，求证：AE2＝2DH2+2DE2．
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证明：过点 A 作 AF⊥AB，截取 AF＝BH，连接 DF、BF，
∵EH⊥AB，
∴∠FAB＝∠BHD＝90°，
在△DHB 和△BAF 中，
∵ ，
∴△DHB≌△BAF（SAS）， 分
∴∠ABF＝∠BDH，BD＝BF，
∵∠BDH+∠DBH＝90°，
∴∠DBH+∠ABF＝90°，
∴△DBF 是等腰直角三角形， 分
∴∠BDF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠BDF，
∴AC∥DF，
∵AF∥ED，
∴四边形 AFDE 是平行四边形， 分
∴AE＝DF，AF＝DE，
∴AE2＝DF2＝2DB2＝2DH2+2BH2＝2DH2+2AF2＝2DH2+2DE2． 分
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