2025年四川省遂宁市中考数学试卷附答案

这是一份2025年四川省遂宁市中考数学试卷附答案，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为（ ）
A．+20米B．﹣20米C．+40米D．﹣40米
2．（4分）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展过程中演变出多种字体，给人以美的享受．下面是“遂宁之美”四个字的篆书，能看作是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）统计数据显示，截止2025年3月15日电影《哪吒2》全球票房（含预售及海外）超150亿元，位列全球影史票房榜第五位．将数据150亿用科学记数法表示为（ ）
A．150×108B．15×109C．1.5×1010D．1.5×1011
4．（4分）如图，圆柱的底面直径为AB，高为AC，一只蚂蚁在点C处，沿圆柱的侧面爬到点B处，现将圆柱侧面沿AC剪开，在侧面展开图上画出蚂蚁爬行的最短路线，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．（4分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．2x2﹣3x2＝x2B．（﹣2x）3＝﹣6x3
C．x2•x3＝x5D．（x+1）2＝x2+1
6．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m＜54B．m≥54C．m＞54D．m≤54
7．（4分）已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为（ ）
A．10B．11C．12D．13
8．（4分）若关于x的分式方程3−ax2−x=ax−2−1无解，则a的值为（ ）
A．2B．3C．0或2D．﹣1或3
9．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段AQ的长为（ ）
A．213B．215C．6D．12013
10．（4分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的对称轴是直线x＝1，且抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），与y轴交点坐标是（0，m）且2＜m＜3．有下列结论：
①abc＜0；②9a﹣3b+c＞0；③94＜y最大值＜278；④关于x的一元二次方程ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0必有两个不相等实根；⑤若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，当y1＜y3＜y2时，则n的取值范围为−32＜n＜0．
其中正确的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，则m+1 0．（填“＞”“＝”或“＜”）
12．（4分）已知x＝2是方程3a﹣2x＝2的解，则a＝ ．
13．（4分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙、丙三名应聘者进行了测试．测试成绩如表：
公司将学历、经验、能力和态度得分按2：1：3：2的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，则 将被择优录用．（请选择填写甲、乙或丙）
14．（4分）综合与实践﹣硬币滚动中的数学
将两枚半径为r的硬币放在桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；将三枚半径均为r的硬币连贯的放在桌面上，固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为r的硬币按图3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为 ．
15．（4分）如图，在边长为1的正方形ABCD的对角线BD上取一点E，使∠BAE＝15°，连结CE并延长至点F，连结BF，使BF＝BC，CF与AB相交于点H．有下列结论：
①AE＝CE；②BE+AE＝EF；③AHHB=23−1；④点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，连结BP交HM于点Q，连结DQ，则DO的最小值为7+3−22．
其中正确的结论有 ．（填序号）
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（7分）计算：(−12)−2−9+|2−3|+2sin60°．
17．（7分）先化简，再求值：(a+1+1a−1)÷a3−2a2a2−4a+4，其中a满足a2﹣4＝0．
18．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD．
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．
19．（8分）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度CF，在A处用高为1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°．求摩天轮CF的高度．（结果精确到0.1米）
（参考数据：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.19）
20．（8分）我们知道，如果一个四边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内接四边形．我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形”．
（1）请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸板拼出如图所示的4个四边形．其中是邻等内接四边形的有 （填序号）．
（2）如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，AB＝AD．求四边形ABCD的面积．
21．（10分）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A、B两种型号的新型垃圾桶．现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元．
材料二：据统计该社区需购买A、B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的23．
请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A、B两种型号的新型垃圾桶的单价？
任务二：有哪几种购买方案？
任务三：哪种方案更省钱，最低购买费用是多少元？
22．（10分）DeepSeek横空出世，犹如一声惊雷劈开垄断，跻身世界最强大模型行列，开启中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
模型设计水平调查报告
23．（10分）如图，一次函数y＝mx+n（m，n为常数，m≠0）的图象与反比例函数y=kx（k≠0）的图象交于A（﹣2，﹣2）、B（a，1）两点．
（1）求一次函数和反比例函数的关系式；
（2）结合图形，请直接写出不等式kx−x＜0；
（3）点P（0，b）是y轴上的一点，若△ABP是以AB为直角边的直角三角形，求b的值．
24．（10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连结AC、BC，延长AB至点D，连结CD，使∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线．
（2）点E是AC的中点，连结BE，交AC于点F，过点E作EH⊥AB交⊙O于点H，交AB于点G，连结BH，若BD＝2，CD＝4，求BF•BH的值．
25．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，交y轴于点C，对称轴为直线x＝1．
（1）求二次函数关系式．
（2）连结AC、BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由．
（3）在x轴上方的抛物线上找一点Q，作射线AQ，使∠BAQ＝2∠ACO，点M是线段AQ上的一动点，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N，连结BM，求BM+MN的最小值．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果向东跑20米记为“+20米”，那么向西跑20米记为﹣20米．
故选：B．
2．【解答】解：A，B，C选项文字均无法找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，不是轴对称图形；
D选项的文字能找到一条直线，使图形沿直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，为轴对称图形；
故选：D．
3．【解答】解：150亿＝15000000000＝1.5×1010．
故选：C．
4．【解答】解：将圆柱侧面沿AC“剪开”，侧面展开图为矩形，
∵圆柱的底面直径为AB，
∴点B是展开图的一边的中点，
∵蚂蚁爬行的最近路线为线段，
∴B选项符合题意，
故选：B．
5．【解答】解：2x2﹣3x2＝﹣x2，则A不符合题意，
（﹣2x）3＝﹣8x3，则B不符合题意，
x2•x3＝x5，则C符合题意，
（x+1）2＝x2+2x+1，则D不符合题意，
故选：C．
6．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m+1＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（m+1）＝5﹣4m≥0，
解得：m≤54，
∴实数m的取值范围是m≤54．
故选：D．
7．【解答】解：设多边形的边数为n，
根据题意，得（n﹣2）•180＝4×360，
解得n＝10，
则该多边形的边数为10．
故选：A．
8．【解答】解：3−ax2−x=ax−2−1，
3−ax2−x=a−x+2x−2，
3−ax2−x×(2−x)=a−x+2x−2×(2−x)，
3﹣ax＝﹣a+x﹣2，
ax+x＝a+5，
x（a+1）＝a+5，
x=a+5a+1，
因为关于x的分式方程无解，
所以有a+5a+1=2或a+1＝0，
解得：a＝3或a＝﹣1．
故选：D．
9．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC=132−52=12，
由题意可得：BG平分∠ABC，即∠CBG＝∠ABG，
设BG，AC交于点M，作MN⊥AB于点N，如图，
则CM＝MN，
设CM＝MN＝x，
∵S△ABC＝S△MBC+S△ABM，
∴12BC⋅AC=12BC⋅CM+12AB⋅MN，
即5×12＝5x+13x，
解得：x=103，即CM=103，
则BM=52+(103)2=5313，
由作图痕迹可知：AQ⊥BH，
∴∠AQB＝∠C＝90°，
∵∠CBG＝∠ABG，
∴△ABQ∽△MBC，
∴AQCM=ABBM，即AQ103=135313，
解得：AQ=213．
故选：A．
10．【解答】解：根据函数图象可得抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝1，则−b2a=1，
∴b＝﹣2a＞0，
又∵抛物线与y轴交点坐标是（0，m），即c＝m，
∵2＜m＜3，即c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标是（4，0），对称轴为直线x＝1，
∴另一个交点坐标为（﹣2，0），
∴当x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，故②错误；
∵（﹣2，0），（4，0）在抛物线y＝ax2+bx+c的图象上，
∴4a﹣2b+c＝0，
又∵b＝﹣2a，
∴4a+4a+c＝0，
∴8a+c＝0即c＝﹣8a，
∵2＜m＜3，即2＜c＜3，
∴2＜﹣8a＜3，
∴2×98＜−8a×98＜3×98即94＜−9a＜278，
当x＝1时，y取得最大值，最大值为a+b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，
∴y最大值＝﹣9a，
∴94＜y最大值＜278，故③正确；
∵ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0，b＝﹣2a，c＝﹣8a，
即ax2+（﹣2a﹣1）x﹣8a﹣2＝0，
∵Δ＝（﹣2a﹣1）2+4（8a+2）＝4a2+36a+9，
对称轴为直线a=−362×4=−92，当a＞−92时，Δ的值随a的增大而增大，
又∵2＜﹣8a＜3，
∴−38＜a＜−14，
∴当a=−38时，Δ=4×(−83)2+36×(−38)+9=43118＞0，
∴当−38＜a＜−14时，Δ＞0恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c﹣2＝0有两个不相等实根，故④正确；
若点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝ax2+bx+c上，且n＜x1＜n+1＜x2＜n+2＜x3＜n+3，
∴2n+1＜x1+x2＜2n+3，2n+3＜x2+x3＜2n+5，2n+2＜x1+x3＜2n+4，
∵y1＜y3＜y2，
∴x1+x22＜1，x2+x32＞1，x1+x32＜1，
即2n+32＞1，n+1＜1，
解得：n＞−12且n＜0，
∴−12＜n＜0，故⑤错误；
故正确的有①③④，共3个．
故选：B．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．【解答】解：观察数轴可知，m＜0且|m|＞1，
∴m＜﹣1，
∴m+1＜0．
故答案为：＜．
12．【解答】解：把x＝2代入方程3a﹣2x＝2，得3a﹣2×2＝2，即3a﹣4＝2，
移项、合并同类项，得3a＝6，
将系数化为1，得a＝2．
故答案为：2．
13．【解答】解：甲最终得分为9×2+8×1+7×3+5×22+1+3+2=7.125，
乙最终得分为8×2+6×1+8×3+7×22+1+3+2=7.5，
丙最终得分为8×2+9×1+8×3+5×22+1+3+2=7.375，
∵7.5＞7.375＞7.125，
∴乙将被择优录用．
故答案为：乙．
14．【解答】解：依题意，AE＝EF＝AF＝2r，
则△AEF是等边三角形；
则∠AEF＝∠AFE＝60°，
同理得△CEF、△BFG、△DFG是等边三角形，
则∠BFG＝∠BGF＝∠FGD＝∠GFD＝∠CEF＝∠EFC＝60°，
∴∠AFB＝180°﹣60°﹣60°＝∠CFD，
∴AC=(360°−60°−60°)×π×2r180°=8πr3，BD=(360°−60°−60°)×π×2r180°=8πr3，
∴AB=(180°−60°−60°)×π×2r180°=2πr3，CD=(180°−60°−60°)×π×2r180°=2πr3，
∴2πr3×2+8πr3×2=4πr3+16πr3=20πr3；
依题意，AE＝EF＝AF＝2r，
∴△AEF是等边三角形；
则∠AEF＝∠AFE＝∠FAE＝60°，
同理得△CAB、△AEB、△DEB是等边三角形，
则FD=(360°−60°−60°−60°)×π×2r180°=2πr，
CD=(360°−60°−60°−60°)×π×2r180°=2πr，
CF=(360°−60°−60°−60°)×π×2r180°=2πr，
则2πr×3＝6πr，
则20πr3÷6πr=20πr36πr=109，
故答案为：109．
15．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD的对角线BD上的点，
∴∠ADE＝∠CDE，AD＝CD，DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，故①正确；
如图，在FC上取一点G，使得BG＝BE，
∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，
∴∠ADE＝45°，∠BAD＝90°，AD＝CD，
∵∠BAE＝15°，
∴∠DAE＝90°﹣15°＝75°，
∴∠AED＝180°﹣45°﹣75°＝60°，
∵△ADE≌△CDE，
∴∠AED＝∠CED＝60°，∠DAE＝∠DCE＝75°，
∴∠HEB＝∠CED＝60°，∠BCE＝∠BAE＝15°，
∴△GEB是等边三角形，
∴∠EBG＝60°，EG＝BE，
又∵BF＝BC，
∴∠F＝∠BCF＝15°，
∴∠FBC＝180°﹣15°﹣15°＝150°，
∴∠DBC＝45°，
∴∠FBG＝∠FBC﹣∠GBE﹣∠CBE＝150°﹣60°﹣45°＝45°＝∠CBE，
∴△FBG≌△CBE（SAS），
∴FG＝CE，
∴EF＝EG+FG＝EC+BE＝AE+BE，即BE+AE＝EF，故②正确；
如图，连接AC交BD于点O，则∠DAO＝45°，过点A，B分别作FC的垂线，垂足分别为K，N，
∵AB＝1，
∴AO=BO=22AB=22，AC=2AB=2，
∵∠DAE＝75°，∠DAO＝45°，
∴∠EAO＝30°，
∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∴EO=AOtan∠EAO=33×22=66，
∴BE=OB−OE=22−66，
∵∠BCE＝15°，∠ACB＝45°，
∴∠ACK＝30°，
∴AK=12AC=22，
在Rt△BEN中，BN=sin∠NEB×BE=sin60°×BE=32(22−66)=6−24，
∵AK⊥FC，BN⊥FC，
∴KA∥BN，
∴△AHK∽△BHN，
∴AHHB=AKBN=226−24=3+1，故③错误；
如图，
∵AB＝AH+HB＝1，AH=(3+1)HB，
∴(3+1)HB+HB=1，
即HB=13+2=2−3，
∵点M是BC边上一动点，连结HM，将△BHM沿HM翻折，点B落在点P处，
∴PQ⊥HM，
∴∠HQB＝90°，
∴Q在以HB为直径的圆上运动，
取HB的中点T，连接TD，
∴当Q在TD上时，DQ取得最小值，最小值为DT的长，
∴BT=12HB=12(2−3)=1−32，
∴AT=AB−BT=32，
∴TD=AD2+AT2=1+(32)2=72，
∴DT−12HB=72−12(2−3)=7+3−22，故④正确．
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共10个小题，共90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．【解答】解：原式＝4﹣3+2−3+2×32
＝4﹣3+2−3+3
＝3．
17．【解答】解：原式＝（a2−1a−1+1a−1）•(a−2)2a2(a−2)
=a2a−1•(a−2)2a2(a−2)
=a−2a−1；
∵a2﹣4＝0，a﹣2≠0，
∴a＝﹣2，
原式=−2−2−2−1=43．
18．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CDE，
∵AF⊥AB，CE⊥CD
∴∠BAF＝∠DCE＝90°，
∵BE＝EF＝FD，
∴BE+EF＝FD+EF，
即BF＝DE，
在△ABF和△CDE中，
∠ABF=∠CDE∠BAF=∠DCE=90°BF=DE，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：四边形AECF是菱形，理由如下：
如图所示：

∵∠ABD＝30°，AB∥CD，
∴∠CDB＝∠ABD＝30°，
∵BE＝EF，∠BAF＝90°，
∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线，
∴AE=12BF，
在Rt△ABF中，∠ABD＝30°，
∴AF=12BF，
∴AE＝AF=12BF，
同理：CE＝CF=12DE，
∵BF＝DE，
∴AE＝AF＝CE＝CF，
又∵∠EAF≠90°，
∴四边形AECF是菱形．
19．【解答】解：连接DE，延长线交CF于点G，
∴DG⊥CF，
∵DA⊥AF，BE⊥AF，CF⊥AF，
∴四边形DEBA和四边形EGFB是矩形，
∴DE＝AB＝30m，BE＝GF＝1.6m，
设CG＝x m，在Rt△CEG中，tan∠CEG＝tanβ=CGEG，
∴EG=CGtan50°≈x1.19，
∴DG＝DE+EG＝30+x1.19，
在Rt△CDG中，tan∠CDG＝tanα=CGDG，
∴x30+x1.19≈0.75，
解得x≈60.85，
经检验x是方程的解，
∴CF＝CG+GF＝60.85+1.6＝62.45≈62.5（m），
答：摩天轮CF的高度约为62.5米．
20．【解答】解：（1）依题意，图①、图②和图④没有对角互补，不是邻等对补四边形，
图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等对补四边形，
故答案为：③；
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴BC=AB2+AC2=5，
∵四边形ABCD是邻等内接四边形，∠BAC＝90°，
∴A，B，C，D四点共圆，且BC为直径，
把BC的中点记为点O，即A，B，C，D四点在⊙O上，
连接BD，AO，相交于点H，
∵BC＝5，
∴BO=OA=52，
设OH＝x，AH=52−x，
∵AB＝AD，
∴AO⊥BD，BH＝DH，
则在Rt△ABH中，BH2＝AB2﹣AH2，
在Rt△BOH 中，BH2＝BO2﹣OH2，
∴BO2﹣OH2＝AB2﹣AH2，
即(52)2−x2=32−(52−x)2，
解得x＝0.7，
∴AH＝2.5﹣0.7＝1.8，
则BH=32−1.82=2.4，
即BD＝2.4×2＝4.8，
∵BC是直径，
∴∠BDC＝90°，
∵BH＝DH，BO＝OC，
∴OH是△BDC的中位线，
∴DC＝2HO＝1.4，
则S△BDC=12×BD×DC=12×4.8×1.4=3.36，
S△BDA=12×BD×AH=12×4.8×1.8=4.32，
∴四边形ABCD的面积＝S△BDC+S△BDA＝3.36+4.32＝7.68．
21．【解答】解：（任务一）设A型号的新型垃圾桶的单价是x元，B型号的新型垃圾桶的单价是y元，
根据题意得：3x+2y=3805x+4y=700，
解得：x=60y=100．
答：A型号的新型垃圾桶的单价是60元，B型号的新型垃圾桶的单价是100元；
（任务二）设购买m个A型号的新型垃圾桶，则购买（200﹣m）个B型号的新型垃圾桶，
根据题意得：60m+100(200−m)≤15300200−m≥23m，
解得：2352≤m≤120，
又∵m为正整数，
∴m可以为118，119，120，
∴共3种购买方案，
方案1：购买118个A型号的新型垃圾桶，82个B型号的新型垃圾桶；
方案2：购买119个A型号的新型垃圾桶，81个B型号的新型垃圾桶；
方案3：购买120个A型号的新型垃圾桶，80个B型号的新型垃圾桶；
（任务三）选择方案1所需费用为60×118+100×82＝15280（元）；
选择方案2所需费用为60×119+100×81＝15240（元）；
选择方案3所需费用为60×120+100×80＝15200（元），
∵15280＞15240＞15200，
∴方案3更省钱，最低购买费用是15200元．
22．【解答】解：（1）本次共抽取了10÷20%＝50（名）学生的模具设计成绩．
将50名学生的模具设计成绩按照从小到大的顺序排列，排在第25和26名的成绩分别为83，84，
∴成绩的中位数是（83+84）÷2＝83.5（分）．
在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为360°×2050=144°．
故答案为：50；83.5；144°．
（2）B组的人数为50×30%＝15（人）．
补全频数分布直方图如图所示．
（3）1200×20+1050=720（人）．
∴估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数约720人．
（4）列表如下：
共有12种等可能的结果，其中所选的两位同学恰为甲和丙的结果有：（甲，丙），（丙，甲），共2种，
∴所选的两位同学恰为甲和丙的概率为212=16．
23．【解答】解：（1）∵A（﹣2，﹣2）在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
又∵B（a，1）在反比例函数y=4x的图象上，
∴a＝3，
∴B（4，1），
把A（﹣2，﹣2），B（4，1）代入y＝mx+n（m≠0）得：
−2m+n=−24m+n=1，
解得m=12n=−1，
∴一次函数解析式为y=12x﹣1；
（2）解方程组y=xy=4x得x=2y=2，x=−2y=−2，
∴不等式kx−x＜0的解集为﹣2＜x＜0或x＞2；
（3）∵P（0，b）是y轴上的一点，且满足△ABP是以AB为直角边的直角三角形，AB的解析式为y=12x﹣1，
∴设另一条直角边的解析式为y=−12x+b，
当直角顶点是A时，则有﹣2=−12×（﹣2）+b，
解得b＝﹣3，
当直角顶点是B时，则有1=−12×4+b，
解得b＝3，
∴点P的坐标是（0，﹣3）或（0，3）．
24．【解答】（1）证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠1+∠2＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠1，
∵∠BCD＝∠A，
∴∠BCD＝∠1，
∴∠BCD+∠2＝90°，即∠OCD＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接EC，
∵∠BCD＝A，∠D＝∠D，
∴△BCD∽△CAD，
∴CDAD=BCAC=BDCD，
∵BD＝2，CD＝4，
∴4AD=BCAC=24，
∴AD＝8，BCAC=12，
∴AB＝AD﹣BD＝8﹣2＝6，
设BC＝a，则AC＝2a，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴（2a）2+a2＝62，
∴a=655，
∴BC=655，
∵点E是AC的中点，
∴AE=EC，
∴∠3＝∠4，
∵∠CEB＝∠A，
∴△CEB∽△FAB，
∴BEAB=BCBF，
即BE•BF＝AB•BC，
∵EH⊥AB，
∴AB垂直平分EH，
∴BE＝BH，
∴BE•BF＝BH•BF＝AB•BC，
∴BF⋅BH=6×655=3655．
25．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝1，且二次函数y＝x2+bx+c（b、c为常数）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，
∴B（3，0），
∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣2x﹣3；
（2）由y＝x2﹣2x﹣3可知C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，即∠OCB＝∠OBC＝45°，
第一种情况：当点P在直线BC上方时，
如图，记BP与y轴交于点K，
则∠OPB+∠CBP＝∠OBC＝45°，
又∵∠CBP+∠ACO＝45°，
∴∠OBP＝∠ACO，
∴tan∠OBP＝tan∠ACO，
即OKOB=OAOC=13，
∴OK=13OB＝1，
由B（3，0），K（0，﹣1）可得直线BP解析式为y=13x﹣1，
联立y=13x−1y=x2−2x−3，
解得x=3y=0（与B点重合）或x=−23y=−119，
∴P（−23，−119）；
第二种情况：当点P在直线BC下方时，
方法一：如图，作点A关于y轴对称点K，连接CL，则∠ACO＝∠LCO，L（1，0），
∵∠CBP+∠ACO＝45°，∠LCO+∠BCL＝45°，
∴∠CBP＝∠BCL，
∴BP∥CL，
由C（0，﹣3），L（1，0）可得直线CL的解析式为y＝3x﹣3，
∴设直线BP：y＝3x+n，
将B（3，0）代入得n＝﹣9，
∴直线BP：y＝3x﹣9，
联立y=3x−9y=x2−2x−3，
解得x=3y=0（与B点重合）或x=2y=−3，
∴P（2，﹣3）；
方法二：作K关于直线BC对称点G，连接KG交BC于点H，
此时∠CBK＝∠CBP，满足∠CBP+∠ACO＝45°，
∵K（0，﹣1），C（0，﹣3），
∴CK＝2，
∵∠BCO＝45°，
∴△CHK为等腰直角三角形，
∴H（1，﹣2）
∴G（2，﹣3）
∵点G（2，﹣3）也在抛物线上，
∴点P与点G重合，即P（2，﹣3）；
（备注：此时如果没有发现点P和点G重合，也可以求出BG解析式，联立二次函数求交点P坐标）．
综上，点P的坐标为（−23，−119）或（2，﹣3）；
（3）如图，在OC上取点D，使AD＝CD，则∠ADO＝2∠ACO，
∵∠BAQ＝2∠ACO，
∴∠BAQ＝∠ADO，
设OD＝m，则CD＝AD＝3﹣m，
在Rt△AOD中，OA2+OD2＝AD2，
∴1+m2＝（3﹣m）2，
解得m=53，
∴OD=43，AD=53，
作点B关于直线AQ对称点E，连接BE交AQ于点F，过E作EG⊥x轴于点G，
则BM＝EM，BF＝EF，
∴BM+MN＝EM+MN≥EG，
当且仅当E、M、G三点共线时，（BM+MN）min＝EG；
∵∠BAQ＝∠ADO，
∴sin∠BAQ＝sin∠ADO，
即BFAB=OAAD=35，
∴BF=35AB=125，
∴BE＝2BF=245，
∵∠AGE＝∠AFE＝90°，
∴∠BEG＝∠BAF＝∠ADO，
∴cs∠BEG＝cs∠ADO，
即EGBE=ODAD=45，
∴EG=45BE=9625，
∴（BM+MN）min=9625．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期 项目
应聘者
甲
乙
丙
学历
9
8
8
经验
8
6
9
能力
7
8
8
态度
5
7
5
调查主题
“逐梦科技强国”活动中模具设计水平
调查目的
通过数据分析，获取信息，能在认识及应用统计图表和百分数的过程中，形成数据观念，发展应用意识．
调查对象
某校学生模具设计成绩
调查方式
抽样调查
数据收集与表示
随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并整理，将其分成如下四组：A：60≤x＜70，B：70≤x＜80，C：80≤x＜90，D：90≤x≤100．
下面给出了部分信息：
其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用
根据以上信息解决下列问题：
（1）本次共抽取了 名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是 分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为 ．
（2）请补全频数分布直方图；
（3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数；
（4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B．
D
C．
B
C
D
A
D
A
B
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）