重庆市2024_2025学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (3)

这是一份重庆市2024_2025学年高一数学上学期10月月考试题含解析 (3)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知集合的交运算即可求它们的交集.
【详解】由题意，集合,
则，
所以.
故选：D.
2. 命题：“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】根据全称量词的否定是存在量词可得结果.
【详解】命题：“，”的否定是，.
故选：C
3. 如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图求出阴影部分表示的集合.
【详解】依题意，集合，而，则，
由韦恩图知，图中阴影部分表示的集合为.
故选：B
4. 已知，有四个推理：①；②；③；④，其中正确的序号是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. ④
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误；
对于②，当时，满足，不满足，故②错误；
对于③，由，则，即，故③正确；
对于④，由得同号，故当时，等价于，
故，故④错误.
故选：C
5. 已知的集合M的个数是（ ）
A 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】依题意且且至少有一个属于集合，再一一列举出来即可.
【详解】因为，
所以且且至少有一个属于集合，
可能为，，，，，，共个，
故选：A.
6. 命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将问题转化为命题“，不等式”为真命题，求出的取值范围，根据必要不充分判定选项即可.
【详解】命题“，不等式”为假命题，
则命题“，不等式”为真命题，
所以，解得，
所以使得命题“，不等式”为假命题，则实数取值范围为，
则命题“，不等式”为假命题的一个必要不充分条件是，
故选：A
7. 已知，，，则最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．
【详解】已知，，，
则，
当且仅当 时，即当，且，等号成立，
故的最小值为，
故选：．
【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．
8. 在实数集R中定义一种运算“”，具有以下三条性质：
①对任意，；
②对任意，，；
③对任意，，，，
以下正确的选项是（ ）
A.
B.
C. 对任意的，，，有
D. 对任意，，，有
【答案】C
【解析】
【分析】根据②③可推得，进而结合①即可得出.然后根据新定义对每个选项进行运算化简可得．
【详解】由②③可得，
令， ，
即.
对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B错误；
对于C，
，
，
对任意的 ，有 ，故C正确；
对于D， ，
，
当时，有，故D错误．
故选：C.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个命题中正确的是（ ）
A. 由所确定的实数集合为
B. 同时满足的整数解的集合为
C. 集合可以化简为
D. 中含有三个元素
【答案】ABC
【解析】
【分析】对于A选项:对的符号分类讨论即可；对于B选项：解不等式组并结合整数解的概念即可；对于C选项：对讨论验证相应的是否是自然是即可；对于D选项：结合的因数并对讨论即可.
【详解】对于A选项: 讨论的符号并列出以下表格：
由上表可知，的所有可能的值组成集合，故A选项正确.
对于B选项:由，，所以解不等式组得，
其整数解所组成的集合为,故B选项正确.
对于C选项：若 满足且，所以，所有只需讨论时的情形，由此列出以下表格：
由表可知集合可以化简为，故C选项正确.
对于D选项：若满足，则是6的正因数，又6的正因数有1，2，3，6，由此可列出以下表格：
因此满足上述条件的的可能取值的个数为4个，即中含有4个元素，故D选项错误.
故选：ABC.
10. 某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（ ）
A. 同时参加跑步和篮球比赛的人数为24
B. 只参加跑步比赛的人数为26
C. 只参加拔河比赛的人数为16
D. 只参加篮球比赛的人数为22
【答案】BCD
【解析】
【分析】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得集合的元素个数关系．
【详解】设同时参加跑步和篮球比赛的人数为，由Venn图可得，，得，则只参加跑步比赛的人数为，只参加拔河比赛的人数为，只参加篮球比赛的人数为.
故选：BCD．
11. 已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为8D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数关系以及基本不等式的应用对各个选项逐个判断既可.
【详解】由题意得，由不等式的解集为，
可得，且方程的两根为-1和，
所以 解得，
所以，所以A正确；
因为，所以，
可得，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故B正确；
由，
当且仅当时，即时取等号，
所以的最小值为9，所以C错误；
，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，所以D正确．
故选：ABD．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知集合A＝{x|x＋1>0，x∈R}，B＝{x|2x－30，x∈R}＝{x|x＞－1，x∈R}，B＝，
所以A∩B＝.
故答案为：
【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.
13. 若关于的不等式组有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出不等式、的解，根据不等式组中有且仅有两个整数，列不等式求实数a的取值范围.
【详解】由可得，
由可得，
又不等式组有且仅有两个整数解，
∴ ，
∴ ，
∴ 实数的取值范围是.
14. 已知正实数，则的最大值为______，的最小值为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空直接利用基本不等式求解即可；第二空先提公因式，再利用，使得分式其次得，然后化简，利用基本不等式得，然后再构造，利用基本不等式求解即可；
【详解】由题可知，得，当且仅当时等号成立，故的最大值为；
因为，得
当且仅当时，即时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：；
【点睛】关键点点睛：对于分式型的双变量求最值问题，我们经常利用题中条件进行齐次化构造，然后再利用基本不等式求解；多次利用基本不等式求最值，我们一定要判断两个等号需要同时成立才可以取到最值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分、讨论，根据交集的运算和空集的定义结合不等式即可求解；
（2）根据充分不必要条件分、讨论，即可求解.
【小问1详解】
由题意可知，
又，当时，，解得，
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为；
【小问2详解】
∵命题是命题的必要不充分条件，∴集合是集合的真子集，
当时，，解得，
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数取值范围为.
16. 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件时，该产品需另投入流动成本万元．在年产量不足8万件时，，在年产量不小于8万件时，．每件产品的售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完，设年利润为（单位：万元）．
（1）若年利润（单位：万元）不小于6万元，求年产量x（单位：万件）的范围．
（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）；（2）年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，且最大利润是15万元．
【解析】
【分析】
（1）由题意得：，分别求得当时和时，的解析式，根据题意，即可求得答案.
（2）由（1）可知的解析式，利用二次函数的性质，可求得当时，的最大值，利用基本不等式，可求得当时，的最大值，比较即可得答案.
【详解】（1）由题意得：
当时，．
∴，整理得：，解得．
又∵，∴．
当时，，
∴，整理得，解得，
又∵，∴．
综上，x的取值范围为．
（2）由（1）可知当时，．
∴当时，．
当时，．
当且仅当即时，．
∵，
∴年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获得利润最大，
且最大利润15万元．
【点睛】利用基本不等式求最值要注意条件，“一正”、“二定”、“三相等”缺一不可.
17. （1）已知不等式，其中．
①若，解上述关于的不等式；
②若不等式对任意恒成立，求的最大值．
（2）求关于不等式：（）的解集.
【答案】（1）①或或}，②；（2）答案见解析
【解析】
【分析】（2）①将代入不等式化简可得， ，利用一元二次不等式的解法求解即可；
②利用换元法，令，将问题转化为对任意恒成立，利用基本不等式求解的最小值，即可得到的取值范围，从而得到答案．
（2）就的不同取值范围分类讨论后可得不等式的解集.
【详解】（1）①若，则不等式变形为
即，解得或，
所以 或或，
故不等式的解集为或或}；
②令，
则不等式对任意恒成立，
令，则有对任意恒成立，
因为，
当且仅当，即时取等号，
所以，故的最大值为．
（2）当时，不等式变为，解得，
当时，的根为
当时，
若，则，解得或
若，则，，解得
若，则，解得或
当时，不等式变为，解得
综上所述，时，不等式的解集为；
时，不等式的解集；
时，不等式的解集；
时，不等式的解集；
时，不等式的解集；
18. 对于二次函数，若，使得成立，则称为二次函数的不动点.
（1）求二次函数的不动点；
（2）若二次函数有两个不相等的不动点，且，求的最小值.
【答案】（1）不动点为和；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，解该一元二次方程即可得解；
（2）根据题意，转化为有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系，得到，且，化简，结合基本不等式，即可求解.
【小问1详解】
令，可得，
可得，解得，
所以二次函数的不动点为和.
【小问2详解】
二次函数有两个不相等的不动点，且，
则方程有两个不相等的正实数根，
即方程有两个不相等的正实数根，
所以，且，
因为，即，解得，可得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为.
19. 已知集合中的元素都是正整数，且．若对任意，且，都有成立，则称集合A具有性质．
（1）判断集合是否具有性质；
（2）已知集合A具有性质，求证：；
（3）证明：是无理数．
【答案】（1）具有 （2）证明见详解
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）根据所给性质及集合，全部元素验证所给即可得解；
（2）由所给性质变形可得，利用累加相消法即可得解；
（3）根据无理数和有理数的定义利用反证法分析说明.
【小问1详解】
由题意可得：，
所以集合具有性质.
【小问2详解】
因为，则有：
当时，，符合题意；
当时，因为，且，
所以，可得：，
所以，
即；
综上所述：.
【小问3详解】
反证：假设是有理数，则（为互质的正整数），
可得，即，
可知为3的倍数，设，
即，可得，可知为3的倍数，
这与为互质相矛盾，故是无理数.
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2
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4
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