浙江省杭州市S9联盟2024~2025学年高二下册期中联考数学试题【附解析】

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考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知，，，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4. 设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
5. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
6. 椭圆（）的两个焦点分别为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7. 正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A B. C. D.
8. 定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题：
已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知等差数列的前项和为，公差，，是与的等比中项，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. 有最大值D. 当时，最大值为21
10. 已知函数.则下列结论正确的有（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的最大值
C. 把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象
D. 将函数的图象向右平移（）个单位长度，所得图象关于原点对称，则的最小值为
11. 如图所示，在棱长为1的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是（ ）
A. 棱上存在一点，使得平面
B. 点到平面的距离为
C. 过且与面平行平面截正方体所得截面面积为
D. 过的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 甲射手击中靶心概率为，乙射手击中靶心的概率为，甲、乙两人各射击一次，那么甲、乙不全击中靶心的概率为__________．
13. 已知向量的夹角为，，，则________．
14. 已知斜率为1的直线与抛物线交于两点，若的外心为为坐标原点）,则当最大时，=____.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角、、的对边分别为、、，，.
（1）若，求；
（2）若面积，求，.
16. 已知数列的前项和，数列是正项等比数列，满足，.
（1）求，的通项公式；
（2）设，记数列的前项和为，求.
17. 已知函数，.
（1）若存在极小值，且极小值为，求；
（2）若，求的取值范围.
18. 如图，在三棱锥中，，为的中点，平面平面．
（1）证明：；
（2）若，，，求平面与平面的夹角的余弦值．
19. 已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点．
（1）求C的标准方程；
（2）P是x轴上的定点，且．
（i）求P的坐标：
（ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积．