江苏省连云港市海州区2024~2025学年高一下册4月期中期中学业水平质量监测数学试题【附解析】

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（考试时间120分钟 满分150分）
一、单选题（每小题5分 满分40分）
1. 若复数的共轭复数对应的点在第一象限，则的值为（ ）
A B. 0C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】由共轭复数的定义求出，再根据复数的几何意义求解.
【详解】由题，，对应的点在第一象限，
则，可得，又为整数，所以．
故选：B．
2. ，若，则实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】因为，
由，可得，解得.
故选：B．
3. 已知单位向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据投影向量公式直接求解即可.
【详解】在上的投影向量为.
故选：C
4. 已知平行四边形的两条对角线交于点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量加法、减法及数乘的几何意义求解即可.
【详解】由图可得：，故选项A错误；
，故选项B错误；
，故选项C错误；
，故选项D正确.
故选：D.
5. 设的内角所对的边分别为,若,则的形状为
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等边三角形
【答案】B
【解析】
【分析】依题意，利用正弦定理可知，易知，从而可得答案.
【详解】中，因为，
所以由正弦定理得：，
即，
又，所以，所以，
所以的形状为直角三角形，
故选B.
【点睛】该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有正弦定理，正弦函数和角公式，诱导公式，属于简单题目.
6. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数关系求出，根据两角和正弦公式结合题意求出，继而求得，再利用二倍角公式即可求得答案.
【详解】由于为锐角，则
由，得，
即，结合，
可得，
故，
故，
故选：D
7. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则的面积为（ ）
A. B.
C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据余弦定理可得，然后利用三角恒等变换可得或，然后根据正弦定理及三角形面积公式即得.
【详解】因为，，
所以，，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以或，
当时，则，又，
所以，
所以的面积为；
当时，则，又，
所以，即，
所以的面积为.
8. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．的面积为，且，的中点为D，则的最小值为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，进而得，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理和基本不等式计算即可求解.
【详解】由题意知，，
由正弦定理，得，
即，
，
，
得或，
解得或(舍去)，
所以；
又，所以.
由余弦定理，
得，
当且仅当即时等号成立，
由，解得，
所以AD的最小值为.
故选：A.
二、多选题（每小题6分 满分18分）
9. 已知复数，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 是的充分不必要条件
D. ，，，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解；
【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误；
对于B，令，满足，显然不成立，错误；
对于C，令，满足，此时不成立，错误；
对于D，由，，可得，
可得：，
所以,
所以，则，正确；
故选：ABC
10. 的内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（ ）
A. 若为钝角三角形，则
B. 若，则
C. 若，，，则有两解
D. ，则为等腰三角形或直角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用余弦定理来计算判断A；利用大角对大边以及正弦定理边化角判断B；将条件转化为角的直接关系判断C；利用正弦定理及二倍角公式得，进而转化为角的关系判断D.
【详解】对于A，当为钝角时，为钝角三角形，由余弦定理得，
所以，A错误；
对于B，若，则，由正弦定理得，B正确；
对于C，若，，，由正弦定理得，
而，则可能是锐角也可能是钝角，因此有两解，C正确；
对于D，因为，所以，所以，
即，则或，即或，
为等腰三角形或直角三角形，D正确.
故选：BCD
11. 已知点是的外心，，，，则下列正确的是（ ）
A. 若，则的外接圆面积为
B. 若，则
C. 若，则
D. 当，时，
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角形外心的性质结合向量的运算逐项求解即可.
【详解】因为点O是的外心，所以，，
对A，若，则，
由余弦定理可得：，所以，
所以的外接圆的半径为，
所以该外接圆的面积为，故A错误；
对B，因为，，
由，
所以，
即，
所以或，
当时，则，点是的外心，所以是斜边，但是矛盾；
所以，
根据余弦定理可得，，故B正确；
对C，当时，根据余弦定理可得，
，
由，
所以，
即，
解得，，则，故C错误；
对D，当，时，由选项B的分析知，
，
所以，故D正确.
故选：BD.
三、填空题（每小题5分满分15分）
12. 已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位，则_______．
【答案】1
【解析】
【分析】确定方程的另外一根，根据韦达定理即可求得答案.
【详解】由题意知是关于的方程的一个根，
则是该方程的另一个根，则，
即，则，
故答案为：1
13. 在中，已知，，的面积是，则边上的中线长是______.
【答案】##
【解析】
【分析】先利用正弦定理求出，再利用面积得出，再结合得出，再结合正弦定理得出，最后利用即可求得.
【详解】设，则，
在中利用正弦定理，，
因，则，
即，
因的面积为，则，
则，
则，则，
解得或，
因，则，得，
则，则，
故，则，
则，，
取线段的中点，设，则在和中分别利用余弦定理可得，
，
得，即边上的中线长是.
故答案为：
14. 在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】由余弦定理结合面积公式化简得，利用辅助角公式求出，由正弦定理得，根据正切函数的性质求得，，最后利用对勾函数的单调性求解即可.
【详解】在锐角，由余弦定理可知，
由面积公式可得，代入到已知条件可得，
因为，化简可得，所以，
根据恒等变换可得，因为锐角，
所以，则，所以可得，即，
所以，
则，
因为锐角，所以，，
则，又在单调递增，
则，令，所以，
所以，
由对勾函数的单调性知在单调递减，在单调递增，
当时，取到最小值，当或时，最大值，
则.
故答案为：
四、解答题（共5大题满分77分）
15. 设复数，.
（1）若是实数，求；
（2）若复数满足，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的概念求出参数，再计算两复数乘积即可；
（2）利用复数模运算得到参数表示，再计算含参的复数模的最小值即可.
【小问1详解】
由是实数，
所以，
则
【小问2详解】
设，
则由，
引入参数，可得，
所以
，其中，
此时
16. （1）已知，若与平行，求；
（2）已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）先求出，，再由平行向量的坐标表示求出，再由模长公式求解即可；
（2）由数量积的定义求出，再由数量积的运算律结合与垂直即可得出答案.
【详解】（1）因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
（2）已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
17. 已知函数．
（1）求的最小正周期和单调增区间；
（2）若，求的值．
【答案】（1），增区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）由诱导公式，二倍角的正弦和余弦公式和辅助角公式化简，由最小正周期公式求出的最小正周期；令，即可求出单调增区间；
（2）由题意可得，由，求出的范围，再由三角函数的平方关系求出，则，由两角和的正弦公式化简即可得出答案.
【小问1详解】
故周期为，
令，
，
所以的增区间为.
小问2详解】
，
故
.
18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，且边边上的中线长，求的面积；
（3）若是锐角三角形，求的范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理将已知化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，又，所以，即可求解角.
（2）结合利用余弦定理求得，然后三角形中线的向量形式得，平方化简求得，最后代入面积公式即可得解.
（3）先根据锐角三角形的性质求得，然后利用正弦定理化边为角，再利用两角差的正弦公式及二倍角公式化简得，利用正切函数的单调性求得，再利用不等式性质即可求解.
【小问1详解】
在中，因为，
所以根据正弦定理得，
又，得，
所以，
所以，
因为，所以，所以.
又，所以.
【小问2详解】
由，由余弦定理得，解得.
又是边边上的中线，所以由向量加法平行四边形法则知，
等式两边平方得，解得（负值舍），
所以的面积.
【小问3详解】
因为是锐角三角形，且由（1）知.
所以，即，解得.
由正弦定理得：
.
因为，所以，所以，
所以，
所以的范围为.
19. 为了便于市民运动，市政府准备对道路旁边部分区域进行改造.如图，在道路的一侧修建一条新步道，新步道的前一部分为曲线段，该曲线段是函数时的图象，且图象的最高点为，新步道的中部分为长1千米的直线跑道，且，新步道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧.
（1）求的值和的大小；
（2）若计划在圆弧步道所对应的扇形区域内建面积尽可能大的矩形区域建服务站，并要求矩形的一边紧靠道路上，一个顶点Q在半径上，另外一个顶点P在圆弧上，且，求矩形面积最大时应取何值，并求出最大面积？
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，，故，从而可得曲线段的解析式，令时，可得，根据几何知识求；
（2）根据题意可得，利用三角恒等变换可得，结合正弦函数的有界性分析求解.
【小问1详解】
由题意可得：，即，
且，则，
所以曲线段的解析式为.
当时，，
又因为，则，
可知锐角，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，，且,
则，
可得，
则矩形的面积为
，
又因，则，
可知当，即时，，
所以矩形取得最大值．