广西壮族自治区防城港市高级中学2024~2025学年高一下册4月期中阶段性教学质量检测数学试题【附解析】

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若点A与直线l能够确定一个平面，则点A与直线l的位置关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线和直线外的一点确定一个平面直接判断即可.
【详解】由题意知，直线和直线外的一点确定一个平面.
故选：C
2. 已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据垂直的坐标关系即可求解.
【详解】向量，由得，所以．
故选：A
3. 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（ ）

A. 5B. 10C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】法一：先将直观图还原为原图，再求面积；法二：根据原图的面积等于直观图面积的倍直接求解.
【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，

原图形为，其中，且，
则的面积为．
法二：直观图面积为，
原图形的面积等于直观图面积的倍，
所以原图形的面积为．
故选：B
4. 如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则对应的点位于（ ）

A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】利用复数的向量表示求出，再利用复数除法求解判断.
【详解】依题意，，则，
所以对应的点的坐标为位于第三象限.
故选：C
5. 设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. 若，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.
【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；

B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；

C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；

D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D
6. 已知与为非零向量，，若A，B，C三点共线，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件结合向量加减法求出、，进而根据即可得解.
【详解】由题意知，当A，B，C三点共线时，
，，
且共线，故不妨设，
则，所以，解得.
故选：D
7. 三棱锥中，，，，，，已知三棱锥外接球体积为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出三棱锥的外接球半径，将三棱锥补成长方体，根据长方体的外接球直径等于其体对角线长，即可求出线段的长.
【详解】设三棱锥的外接球半径为，则，解得，
因为，，，则，可得，
又因为，，所以，、、两辆相互垂直，
将三棱锥补成长方体，
则该长方体的外接球直径为，解得，
故选：B.
8. 科技是一个国家强盛之根，创新是一个民族进步之魂，科技创新铸就国之重器，极目一号（如图1）是中国科学院空天信息研究院自主研发的系留浮空器.2022年5月，“极目一号”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大气科学观测，最高升空至9050米，超过珠穆朗玛峰，创造了浮空艇大气科学观测海拔最高的世界纪录，彰显了中国的实力．“极目一号”Ⅲ型浮空艇长55米，高18米，若将它近似看作一个半球、一个圆柱和一个圆台的组合体，正视图如图2所示，则“极目一号”Ⅲ型浮空艇的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据球、圆柱、圆台的体积公式可求出结果.
【详解】该组合体的直观图如图：
半球的半径为米，圆柱的底面半径为米，母线长为米，圆台的两底面半径分别为米和米，高为米，
所以半球的体积为（立方米），
圆柱的体积为（立方米），
圆台的体积为（立方米），
故该组合体的体积为（立方米）.
故选：C
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有错选的不得分．
9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角为D. 若在上的投影向量为
【答案】AD
【解析】
【分析】先利用向量减法运算的坐标运算可判断A；求得向量的模判断B；利用向量夹角坐标表示求得向量的夹角判断C；利用投影向量的运算公式求解可判断D.
【详解】因为，所以，故A正确；
由已知可得，，故B错误；
因为，又，所以，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确.
故选：AD.
10. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即（S为三角形的面积，a，b､c为三角形的三边）.现有△ABC满足，且△ABC的面积，则下列结论正确的是（ ）
A. △ABC的最短边长为4B. △ABC的三个内角满足
C. △ABC的外接圆半径为D. △ABC的中线CD的长为
【答案】AB
【解析】
【分析】结合题意利用正余弦定理处理运算，常用向量处理△ABC的中线：．
【详解】因为，所以由正弦定理可得，设，，，因为，所以，解得，则，，，A正确；
因为，所以，，故B正确；
因为，所以，由正弦定理得，，C错误；
，所以，故，D错误.
故选：AB.
11. 正方体的棱长为2，E，F，G分别为的中点．则（ ）
A. 正方体体积是三棱锥体积的24倍
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 三棱锥与在棱锥的体积相等
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据正方体和棱锥的体积公式，可判定A正确；连接和，证得面面，结合面面平行的性质，可判定B正确；根据三角形的面积公式，可判定C正确；根据棱锥的体积公式，求得两三棱锥的体积，可判定D不正确．
【详解】由正方体的棱长为2，可得其体积为，
又由三棱锥的体积，可得，
所以正方体体积是三棱锥体积的24倍，所以A正确；
连接和，则，可得面面，
因为平面，所以面，所以B正确；
由为等腰三角形，底边，故三角形的高为，
可得的面积为，所以C正确；
由，所以D不正确．
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，且与共线，则y=_________
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为与共线，所以，解得.
考点：平面向量共线的坐标运算
13. 相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），为了测量该楼的高度AB，一研究小组选取了与该楼底部在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，在点处测得该楼顶端的仰角为，则该楼的高度AB为____________m.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理及直角三角形边角关系计算即得.
【详解】在中，由正弦定理，得，
中，（）.
故答案为：
14. 现有甲、乙两个形状完全相同正四棱台容器如图所示，其中，，，现按一定的速度匀速往甲容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时19分钟，如果按照相同的速度匀速往乙容器里注水，当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时________分钟．
【答案】37
【解析】
【分析】利用台体的体积公式，结合题意求得水流速度，再求出乙容器中水的容积，由此得解.
【详解】设正四棱台的高为，所以，
即，解得．
因为，，所以截面（图中阴影部分）是边长为6的正方形，
当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，
甲容器内水的体积为，
设注水的速度为，则，解得．
当乙容器中水的高度恰好是正四棱台高度的一半时，
水的体积为，
当水的高度恰好是正四棱台高度的一半时用时为分钟．
故答案为：37.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 已知，其中．
（1）若为纯虚数，求的共轭复数；
（2）若在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据复数类型得到方程组，再利用共轭复数概念即可；
（2）根据复数的几何意义得到不等式组，解出即可.
【小问1详解】
由题意可得，
解得，则，
所以的共轭复数为．
【小问2详解】
由题意可得，
即，
解得，即的取值范围是．
16. 如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
（1）求圆柱的底面半径；
（2）求三棱柱的体积．
【答案】（1）2； （2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用圆柱的体积公式列出方程求解.
（2）由（1）的结论，求出圆的内接正三角形的边长，再利用柱体体积公式求解.
【小问1详解】
设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，
所以圆柱的底面半径为2.
【小问2详解】
由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，
所以三棱柱的体积.
17. 如图，在中，，，分别在边上，且满足，为中点．
（1）若，求实数值；
（2）若，求边的长．
【答案】（1）（2）6
【解析】
【分析】(1)先由，确定向量与，与之间的关系，用与表示出，由对应系数相等，即可求出结果；
（2）用向量，表示出向量和，再由向量数量积运算求解即可
【详解】解：（1）因为，所以，
所以，所以，
（2）因为，
，
所以，
设，因为，
所以，又因为，
所以，
化简得，
解得(负值舍去)，所以的长为6．
【点睛】本题主要考查向量的基本定理以及向量的数量积运算，只需熟记定理和公式即可求解，难度不大.
18. 如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．求证：
（1）直线平面；
（2）平面平面；
（3）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）画图见解析，截面的面积为．
【解析】
【分析】（1）连接SB，由三角形的中位线定理、线面平行的判定定理，可得证明；
（2）由线面平行和面面平行的判定定理，即可得证；
（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，取A1D1的中点M，连接MC1，AM，由平行四边形的判定和性质，推得截面为菱形，由对角线互相垂直，可得所求面积．
【详解】（1）证明：连接SB，由EG为△CSB的中位线，可得EG∥SB，
由EG⊄平面BDD1B1，SB⊂平面BDD1B1，可得EG∥平面BDD1B1；
（2）由EF∥DB，EF⊄平面BDD1B1，DB⊂∥平面BDD1B1，
可得EF∥∥平面BDD1B1，
又由（1）可得EG∥平面BDD1B1，
EF∩EG＝E，可得平面EFG∥平面BDD1B1；
（3）取B1C1的中点N，连接A1N，NE，
可得AE∥A1N，AE＝A1N，
取A1D1中点M，连接MC1，AM，
可得MC1＝A1N，MC1∥A1N，
可得截面AEC1M为平行四边形，且AE＝EC1＝AM＝MC1＝＝，
所以截面的面积为×A1C1×ME＝××＝．
19. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且，
（1）求A的值；
（2）若，求周长的最大值；
（3）设内角A的平分线交BC于点D，，求面积的最小值.
【答案】（1）；
（2）6； （3）.
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解.
（2）由（1）的信息，利用基本不等式求出最大值.
（3）利用三角形面积公式，结合基本不等式求出最小值.
【小问1详解】
在中，由及正弦定理得，
即，由余弦定理得，而，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，而，
则，解得，当且仅当时取等号，
所以周长的最大值为6.
【小问3详解】
由内角A的平分线交BC于点D，，得，
即，
因此，即，当且仅当时取等号，
则，所以面积的最小值为.