广东省佛山市华南师范大学附属中学南海实验高级中学2024~2025学年高一下册期中质量检测数学试题【附解析】

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数学试题
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分为150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上
2．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．若有选做题，请把答题卡上选做题
3．考试结束，将答题卡交回考务室
第Ⅰ卷 选择题·（共58分）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由复数的几何意义，即可得到结果.
【详解】因为，可知复数在复平面内对应的点为，所以z在复平面内对应的点位于第三象限.
故选：C
2. 角的终边过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的概念可得，再由二倍角公式得出的值.
【详解】因为角的终边过点,
所以，
由余弦的二倍角公式得.
故选：B.
3. 若一个扇形的弧长为4，面积为16，则这个扇形圆心角的弧度数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据弧长和扇形面积公式即可求解.
【详解】令该扇形圆心角的弧度为，半径为，
则，解得，
故选:D.
4. 已知，则（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据诱导公式求出，然后将所求式化弦为切代值计算即得.
【详解】，
则.
故选：A.
5. 在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
以为基底，利用线性运算表示即可.
【详解】如图，∵，M是AB的中点，N是CM的中点；
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题.
6. 已知，与夹角为，则与的夹角为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，再代向量的夹角公式求解即可.
【详解】由题得，
所以与的夹角为，
所以两向量的夹角为.
故选C
【点睛】本题主要考查向量的夹角的求法，考查平面向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
7. 已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由计算出的取值范围，根据正切函数的单调性可得出，由此可得出关于的不等式组，由此可得出实数的取值范围.
【详解】当时，由于，则，
因为在区间上单调递增，则，
所以，，解得，因此，的取值范围为.
故选：A.
8. 如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 若复数z满足，则（ ）
A. B. z的虚部为C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】利用已知条件进行化简求出复数即可.
【详解】得，
则z的虚部为，，，
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
10. 下列式子化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由诱导公式和逆用两角和的余弦公式可得结果；对于B，由诱导公式和逆用二倍角的正弦公式可得结果；
对于C，由辅助角公式可得结果；对于D，逆用两角和的正切公式可得结果.
【详解】对于A，由诱导公式可知，逆用两角和的余弦公式可得
，
故A错误；
对于B，由诱导公式可知，逆用二倍角的正弦公式可得
，故B正确；
对于C，由辅助角公式可知，
故C正确；
对于D，逆用两角和的正切公式可得，故D正确.
故选：BCD
11. 在中，，，向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A. 边上的高为B.
C. D. 边上的中线为
【答案】ABD
【解析】
【分析】过点C作于点D，由条件结合投影向量定义可得，解三角形求，再求边上的高，判断A，利用余弦定理求，结合同角关系求，判断B，根据数量积定义求判断C，设的中点为，由关系两边平方，结合数量积运算律求边上的中线，判断D.
详解】如图，过点C作于点D，
则向量在向量上的投影向量为，
由已知，所以，
设，则，又，所以，所以，
在中，，又，所以，
所以，，，所以，
在中，易得，
所以边BC的高为，故选项A正确；
在中，由余弦定理的推论得，
又因为，
所以，故选项B正确；
，故选项C错误；
设的中点为，则，
所以，
则，故选项D正确，
故选：ABD.
第Ⅱ卷 非选择题（共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知向量，不共线，若向量和共线，则实数___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量共线定理，可得，即可求得答案.
【详解】因为向量和共线，
所以，
所以，解得.
故答案为：
13. 已知，，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可.
【详解】解：由，，得，
所以．
故答案为：
14. 如图，动点C在以AB为直径的半圆O上（异于A，B），，，，______；的最大值为______．
【答案】 ①. 2 ②. 2
【解析】
【分析】根据向量的线性运算结合模长即可求得第一空答案；设，作，交的延长线于E，求出，继而求出，结合数量积的几何意义，即可求得答案.
【详解】由题意可知O为的中点，且，
则；
设，作，交的延长线于E，
在中，
故，则，
，又，故，
则，
故，
当时，取到最大值2，
故答案为：2；2
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若与的夹角是钝角，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）且
【解析】
【分析】（1）根据向量平行的坐标运算列式求解的值，从而得模长；
（2）根据向量的坐标的线性运算得的坐标，再根据向量垂直的坐标运算求解实数的值；
（3）根据向量夹角与数量积的关系求解即可.
【小问1详解】
因为向量，且，
所以，解得，
所以.
【小问2详解】
因为，且，
所以，解得.
【小问3详解】
因为与的夹角是钝角，
则且与不共线，
即且，
所以且.
16. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式；
（2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
【小问1详解】
由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
【小问2详解】
将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
17. 在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，．
（1）求角A的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知，由正弦定理可得，再由余弦定理即可求解；
（2）由（1）结合三角形面积公式、余弦定理即可求解；
【小问1详解】
在中， ，，
由正弦定理得，，
则，
由余弦定理，，
因为，所以.
小问2详解】
由（1）知，，
又，的面积为，
所以，
解得，所以，
又由余弦定理，，即，
所以周长为.
18. 北京时间2024年8月8日凌晨，中国花样游泳队以遥遥领先的得分优势，历史性地登上巴黎奥运会最高领奖台．赛后采访中，主教练透露自己在编排动作时，特别融入了中国元素，以甲骨文“山”字为造型（图1），体现了中国花游不畏艰难险阻，逐梦不止的精神．某公司也以此为创意，设计了本公司的LOGO，如图2．在中，，，点B，H，C在线段上，且，和都是等腰直角三角形，，交于点D，交于点E．

（1）求；
（2）求；
（3）求四边形的面积．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得；
（2）由余弦定理可求得，进而利用两角和的正弦公式可求得；
（3）利用正弦定理可求得，进而由三角形的面积公式可求结论.
【小问1详解】
在中，由余弦定理，
，所以．
【小问2详解】
在中，，在中，由余弦定理，
，
则，
．
【小问3详解】
在中，，，
由正弦定理，，
，
四边形的面积为．
19. 对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
（1）设函数，试求函数相伴特征向量；
（2）记向量的相伴函数为；
①当时，求相伴函数的值域；
②当时，不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）①；②.
【解析】
【分析】（1）直接根据两角差的正弦公式以及诱导公式化简即可得结果；
（2）根据定义求出相伴函数，①直接根据正弦函数的性质即可得结果；②分为和以及三种情形结合正切函数的性质即可得结果.
【小问1详解】
，
∴由题可知：函数的相伴特征向量的坐标.
【小问2详解】
向量的相伴函数.
①因为，所以，
所以在上单调递增，所以，
故相伴函数的值域为.
②当时，不等式
即可化为恒成立.
，.
，即时，，
恒成立，所以，
，，
则，，
当，即时，，
恒成立，即，
，
则，，
当时，，
对任意实数，不等式都成立，
综上可知的取值范围是.