2024-2025学年江苏省南京、镇江、徐州联盟校高二下学期5月学情调研数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省南京、镇江、徐州联盟校高二下学期5月学情调研数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一个盒子里装有大小相同的4个黑球和3个白球，从中不放回地取出3个球，则白球个数的数学期望是( )
A. 47B. 97C. 127D. 167
2.已知ξ的分布列如下表所示，设η=2ξ−2，则E(η)=( )
A. 173B. 56C. 176D. 113
3.为了研究某种商品的广告投入x和收益y之间的相关关系，某研究小组收集了5组样本数据如表所示，得到线性回归方程为y=bx+0.28，则当广告投入为10万元时，收益的预测值为( )万元．
A. 2.48B. 2.58C. 2.68D. 2.88
4.将5本不同的书分给3个同学，每人至少一本，则不同的分法共有( )种．
A. 54B. 60C. 120D. 150
5.已知x2−2x+13=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+a3(x+1)3+a4(x+1)4+a5(x+1)5+a6(x+1)6，则a1+a2+a3+a4+a5+a6的值为( )
A. 64B. −64C. 63D. −63
6.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，也叫赵爽弦图，现用5种不同颜色给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有多少种( )
A. 180B. 240C. 360D. 420
7.不透明口袋中有n个相同的黑色小球和红色､白色､蓝色的小球各1个，从中任取4个小球，ξ表示当n=2时取出黑球的数目，η表示当n=3时取出黑球的数目，则下列结论中成立的是( )
A. E(ξ)D(η)
8.如图所示，函数y=f(x)及其导函数y=f′(x)的图象有且仅有一个公共点A(1,1)，则下列说法正确的是( )
A. 函数y=f(x)⋅ex的最大值为1eB. 函数y=f(x)⋅ex的最小值为1e
C. 函数y=f(x)ex的最大值为1eD. 函数y=f(x)ex的最小值为1e
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图所示，在样本数据xi,yi(i=1,2,⋯,5)中，根据最小二乘法求得线性回归方程为y=bx+a，去掉点E(9,6)后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数r变大B. 残差平方和变大C. 回归系数b变大D. 回归截距a变大
10.已知随机事件A，B的概率分别为P(A)，P(B)，且P(A)=13，P(B)=12，P(A|B)=P(A|B)，则( )
A. 事件A与事件B相互对立B. 事件A与事件B相互独立
C. P(A+B)=23D. P(AB|B)=13
11.已知函数f(x)=lnx，若x11B. fx1−fx2x1−x2>1x1x2
C. 若x1≥1，则x1fx1x2fx1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若5Cn+1n−1=3Cn3+Cn2n∈N，则二项式2 x−1x展开式中常数项为 .(结果用数字作答)
13.已知某同学做抛硬币实验，若他连续抛掷一枚质地均匀的硬币n次，要使正面至少出现一次的概率超过0.99，则至少需要抛掷硬币 次.
14.已知函数f(x)=(x+1)(x−b)(x−c)满足f(x)+f(2−x)=4，m，n分别是函数f(x)极大、极小值点，则n−m= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)=lnx−ax，a为实数．
(1)若函数f(x)在x=1处的切线经过点(0,1)，求a的值；
(2)若f(x)有极小值，且极小值大于2，求a的取值范围．
16.(本小题15分)
2025年5月6日凌晨，我国斯诺克球员赵心童以业余选手身份参赛，连过九轮，最终取得25年斯诺克世界锦标赛的冠军，成为了我国乃至亚洲在这一赛事上的第一人，这必将在青少年中掀起一股新的台球热.某调研机构为了解青少年对台球的喜爱程度进行问卷调查(评价结果仅有“喜爱”、“不喜爱”)，从所有参与评价的对象中抽取100人进行调查，部分数据如表所示(单位：人)：
(1)请将2×2列联表补充完整，试根据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为“对台球运动的喜爱与性别有关”？
(2)若将频率视为概率，从所有“喜欢”的青少年中随机选取30人，记被选中的人中恰有n个男生的概率为P(n)，当n取何值时，P(n)取得最大值．
附：Pχ2≥10.828=0.001，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d．
17.(本小题15分)
为庆祝五一国际劳动节，某科技企业开展人工智能知识竞赛活动，竞赛试题有甲、乙、丙三类，每类题有若干道，各类试题的每题分值及选手小李答题情况如下：甲类题答对一题得10分，小李能答对甲类题的概率为23，乙类题答对一题得20分，小李能答对乙类题的概率为12、丙类题答对一题得30分，小李能答对丙类题的概率为13，各小题回答正确得到相应分值，否则得0分.竞赛分三轮答题依次进行，竞赛结束各轮得分之和即为选手最终得分。竞赛规则为：第一轮先回答一道甲类题，若正确进入第二轮答题，若错误继续回答另一道甲类题，该题回答正确，同样进入第二轮答题，否则退出比赛。第二轮在乙类题中选择一道作答，若正确进入第三轮答题，否则退出比赛，第三轮在丙类题中选择一道作答．
(1)求小李答题次数恰好为2次的概率；
(2)求小李最终得分的数学期望．
18.(本小题17分)
某学校有A，B两家餐厅，王同学每天中午会在两家餐厅中选择一家用餐，如果前一天选择了A餐厅则后一天继续选择A餐厅的概率为14，前一天选择B餐厅则后一天选择A餐厅的概率为p，如此往复．已知他第1天选择A餐厅的概率为23，第2天选择A餐厅的概率为13．
(1)求王同学第1～3天恰好有两天在A餐厅用餐的概率；
(2)求王同学第n(n∈N∗)天选择A餐厅用餐的概率Pn．
19.(本小题17分)
若存在一个实数m，使得对于函数f(x)定义域内的任意x，都有f(x)≥m，则称f(x)有下界，且m是f(x)的一个下界．
(1)求函数f(x)=ex+x2−x的下界m的取值范围：
(2)若1是函数f(x)=alnx+1x的一个下界，求a的取值集合；
(3)若m是函数f(x)=e−x+x2+xlnx−x的一个下界，求证：m的最大值为0．
参考答案
1.B
2.D
3.C
4.D
5.D
6.D
7.A
8.C
9.AC
10.BCD
11.ABD
12.240
13.7
14.2
15.解：(1)因为f(x)=lnx−ax，所以f′(x)=1x+ax2，所以f′(1)=1+a，
又f(1)=−a，
所以函数f(x)在x=1处的切线方程为y+a=(1+a)(x−1)，
因为切线经过点(0,1)，所以1+a=(1+a)(0−1)，解得a=−1；
(2)由(1)知f′(x)=1x+ax2=x+ax2，函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，无极值，
当a2，所以a< −e，所以a的取值范围为a∈−∞,−e．

16.解：(1)提出假设H0：青少年对台球的喜爱与性别无关
填表得：b=10，c=20，s=60，t=40，m=50，
所以χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100(40×30−20×10)250×50×60×40=503≈16.667>10.828．
因为当H0成立时，
χ2>10.828的概率约为0.001，所以我们有99.9%的把握认为对台球运动的喜爱与性别有关．
(2)记从喜爱打台球的青少年中选中男生为事件A，由频率可知，
P(A)=23，
则P(A)=23，所以P(n)=C30n23n1330−n，
则P(n)≥P(n−1)P(n)≥P(n+1)，即C30n23n1330−n≥C30n−123n−11330−(n−1)C30n23n1330−n≥C30n+123n+11330−(n+1)
解得593≤n≤623，
因为n∈N∗，所以n=20．
故当n=20时，P(n)取得最大值．
17.解：(1)记事件A=“小李先答对一道甲类试题”，事件B=“小李继续答对另一道甲类试题”，
事件C=“小李答对乙类试题”，事件D=“小李答对丙类试题”，
则P(A)=P(B)=23，P(C)=12，P(D)=13，
记事件E=“小李答题次数恰好为两次”，则E=AB+AC，
所以P(E)=PAB+PAC=PAPB+P(A)PC=13×13+23×12=49．
(2)设小李最终得分为X，则X的可能取值为0，10，30，60，
则P(X=0)=PAB=13×13=19，
P(X=10)=PAC+PABC=23×12+13×23×12=49，
P(X=30)=PACD+PABCD=23×12×23+13×23×12×23=827
P(X=60)=1−P(X=0)+P(X=10)+P(X=30)=427，
分布表如下：
所以E(X)=0×19+10×49+30×827+60×427=2009．
18.解：(1)设Ai=“王同学第i天选择A餐厅”(i=1,2,3)．
则P(A1)=23，P(A1)=13;P(A2)=13，P(A2)=23;
P(A2|A1)=14，P(A2|A1)=p．
由全概率公式，得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1)P(A2|A1)
=23×14+13×p=13，解得p=12．
设B=“王同学第1∼3天恰好有两天在A餐厅用餐”，
则B=A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3，
因此P(B)=P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)
=23×14×34+13×12×14+23×34×12=512．
(2)设An=“王同学第n天选择A餐厅”(n∈N∗)，则Pn=P(An)，P(An)=1−Pn，
由题与(1)可得P(An+1|An)=14，P(An+1|An)=12，
由全概率公式，得Pn+1=P(An+1)=P(An)P(An+1|An)+P(An)P(An+1|An)
=14Pn+12(1−Pn)=−14Pn+12．
则Pn+1−25=−14(Pn−25)，又因为P1−25=415≠0，
所以{Pn−25}是以首项为415，公比为−14的等比数列．
因此Pn−25=415×(−14)n−1，即Pn=25+415×(−14)n−1
19.(1)由函数f(x)=ex+x2−x，得f′(x)=ex+2x−1，
令ℎ(x)=ex+2x−1，得ℎ′(x)=ex+2>0，
所以ℎ(x)=ex+2x−1为增函数；
又ℎ(0)=0，
所以当x>0时，f′(x)>0，当x