浙江宁波2024_2025学年高一下册期中考试数学试卷(1班使用)

这是一份浙江宁波2024_2025学年高一下册期中考试数学试卷(1班使用)，共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．直线与圆相交于M、N两点，则
A．1B．C．D．
2．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量为
A．B．C．D．
3．已知直线经过点，与两坐标轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，则的
面积的最小值为
A．B．C．D．
4．点到直线（为任意实数）距离的最大值为
A．B．1C．D．2
5．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，
共移动4次，则质点位于原点左侧的概率为
A．B．C．D．
6．直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为
A．B．C．5D．10
7．已知圆与圆恰有条公切线，则的最大值是
A．B．C．D．
8．在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．直线的倾斜角可以为
A．B．C．D．
10．已知圆，，则
A．当时，的面积是
B．实数的取值范围是
C．点在内
D．当的周长最大时，圆心坐标是
11．如图，在正三棱柱中，底面是边长为2的正三角形，，点在上，且，则
A．直线平面
B．点到平面的距离为
C．异面直线与所成角的余弦值为
D．设，分别在线段和上，且，则的最小值为
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知直线与直线互相垂直，则实数的值为 ．
13．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手完成以上三次射击，则该射手得3分的概率为 ．
14．点是直线上的动点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．(13分) 某校为了提高学生对“校史”的了解，举办了“知史爱校守初心”的知识竞赛活动，现从所有竞答试卷的卷面成绩中随机抽取100份作为样本数据，将样本答卷中分数x（）的数据分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图.
(1) 求频率分布直方图中a的值；
(2) 求样本数据的第59百分位数；
(3) 已知样本数据落在的平均数是52，方差是6；落在的平均数是64，方差是3. 求这两组数据的总平均数和总方差.
16．(15分) 在平面直角坐标系中，已知的顶点.
(1) 若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程；
(2) 若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，
求边所在的直线方程.
17．(15分) 如图，在直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.
(1) 若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；
(2) 若圆上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围.
18．(17分) 如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将
沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点.
(1) 证明：；
(2) 当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小；
(3) 当直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值.
19．(17分) 在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为.
对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”.
如图1，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，则 .
在点，，，中，矩形的“关联点”是 ；(直接在答题卷上写出答案即可，不需要书写过程)
(2) 如图2，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为. 若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；
(3) 已知点，. 图形是以为圆心，为半径的⊙. 若线段上存在点，使点为⊙的“关联点”，求出的取值范围.
答案
12．或13．14．和
15．（1）由题意，解得；
（2）由直方图知，前3组数的频率为
前4组数的频率为，因此第59百分位数在第4组即区间上，设第59百分位数为x，则，解得；
（3）样本数据在区间的个数为，在区间上的个数为，所以，
总方差为.
16．（1）因，且，则，因，
则直线的方程为，即.
（2）设点，则线段的中点为，
将其代入所在直线方程中，得，
将点代入所在的直线方程中，得，解得，即，
设点关于直线对称得点，则，得，即，
因三点共线，则,
直线所在的直线方程为，即.
17．（1）联立方程组，解得，所以圆的圆心，
因为圆的半径为1，所以圆的方程为：，
显然切线的斜率一定存在，设过点的切线方程为，即．
则，解得或，
则所求圆的切线方程为或．
（2）因为圆的圆心在直线上，则圆心为，
则圆的方程为，
由，设的坐标为，则有，
整理得，不妨设为圆，则圆圆心为，半径为，
因为点既在圆上，又在圆上，所以圆和圆有公共点，
则满足，整理得，解得，
综上所述，实数的取值范围为．
18．（1）取中点为，连接，因为，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以.
（2）因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，所以两两互相垂直，以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系， 则，，
则，
设平面的法向量为，则，
取，得，所以，
设直线PB与平面所成角为，则，
又，则，所以直线PB与平面所成角为，
（3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系，因为为等腰三角形，，所以，则，
设，则， 则，
故，所以或（舍去），
所以两两互相垂直，由（2）知平面的法向量为，
设平面的法向量为，，
则，取，得，
所以.
19．（1）矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以，
对，矩形中点到它的距离最小为1，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不是关联点，
对，中矩形中点到它的距离最小为，是关联点，
因此是关联点；
（2）由已知正方形的边长为2，对角线长为，因此正方形中，，
直线与对角线平行，由已知，，，设，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，因此有，即在圆的一段弧上（），
同理点还在下列三段圆弧上：，，，
直线与正方形的一条对角线平行，
直线与图中正方形外围的图形（四段线段与四段圆弧组成）的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，（舍去），
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，所以的取值范围是；
（3）圆半径为1，因此，
点到圆上点的距离的最小值为2，则，由题意以为圆心半径为3的圆与线段在公共点，数形结合可知，的取值范围是．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
A
C
A
D
ABD
AB
题号
11









答案
ACD