天津宁河区2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]

这是一份天津宁河区2024_2025学年高二下册3月月考数学试卷[附解析]，共12页。试卷主要包含了 下列求导运算中正确的是， 设函数，则， 若函数满足，则的值为．， 曲线在点处的切线的倾斜角为， 函数在上， 已知函数， 函数的导数为______等内容，欢迎下载使用。
1. 解1道数学题，有三种方法，有3个人只会用第一种方法，有4个人只会用第二种方法，有3个人只会用第三种方法，从这10个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（ ）
A. 10种B. 21种C. 24种D. 36种
【正确答案】A
【分析】利用分类加法计数原理计算即可.
【详解】根据分类加法计数原理得：
不同的选法共有（种）．
故选：A．
2. 下列求导运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】根据导数的计算逐一判断即可.
【详解】，，，，
故选：C
3. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【正确答案】A
【分析】由导函数的图象可知在开区间内有个零点，，分析导函数再零点左右的导数值（正、负），即可判断函数的极值点，从而得解.
【详解】从图形中可以看出，在开区间内有个零点，，
在处的两边左正、右负，取得极大值；
在处的两边左负、右正，取值极小值；
在处的两边都为正，没有极值；
在处的两边左正、右负，取值极大值．
因此函数在开区间内的极小值点只有一个．
故选：A．
4. 设函数，则（ ）
A. 1B. 5C. D. 0
【正确答案】B
【分析】由题意结合导数的运算可得，再由导数的概念即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以原式等于.
故选：B.
5. 若函数满足，则的值为（ ）．
A. 1B. 2C. 0D.
【正确答案】C
【分析】
求导得到，取带入计算得到答案.
【详解】，则，
则，故.
故选：C.
本题考查了求导数值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
6. 曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 135°
【正确答案】D
【分析】首先求出导函数，再求出导数值，即可得到切线的斜率，从而得到切线的倾斜角.
【详解】因为，所以，
所以，所以曲线在点处切线的斜率，
所以切线的倾斜角为.
故选：D.
7. 函数在上（ ）
A. 是增函数B. 是减函数
C. 在上增，在上减D. 在上减，在上增
【正确答案】A
【分析】对函数求导，利用导数判断其单调性
【详解】解：由，得，
所以在上为增函数，
故选：A
8. 已知函数（）有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】分析可知与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果.
【详解】令，可得，
构建，
若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点，
因为，
令，解得；令，解得或；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，极大值，
且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0，
可得图象，如图所示：

由函数图象可得.
故选：A.
9. 如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是（ ）
①在区间上是增函数；
②是的极小值点；
③在区间上是增函数，在区间上是减函数；
④是的极大值点.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【正确答案】C
【分析】由导函数的图象，可判断在对应区间上的单调性与极值，对四个选项逐一判断可得答案．
详解】解：由导函数的图象可知，当时，
当时，当时，当时，
所以在区间上单调递减，故①错误；
在区间上单调递增，在区间上单调递减，上单调递增，
在和处取得极小值，处取得极大值，故②③正确，④错误；
故选：C．
二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分）
10. 函数的导数为______
【正确答案】##
【分析】利用导数公式计算即可.
【详解】
故
11. 如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．
【正确答案】14
【分析】根据分类加法原理以及分步乘法原理得出结果即可.
【详解】分两类，第一类，从甲到乙再到丁，共有2×3=6种，
第二类，从甲到丙再到丁，共有4×2=8种，
根据分类计数原理可得，共有6+8=14种，
故从甲地到丁地共有14条不同的路线．
故答案：14
12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则_______．
【正确答案】2
【分析】根据切点在切线上以及导数的几何意义求解即可.
【详解】由已知得，，
.
故答案为.
13. 的单调递减区间为______.
【正确答案】
【分析】先求导，再求的区间即可.
【详解】函数定义域为，
，
令，
即，解得：
的单调递减区间为.
故
14. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是________.
【正确答案】
【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可.
【详解】由题意得的定义域为.
上恒成立，即在上恒成立.
设，则，.
当时，，
所以在上单调递增，所以，所以，
即实数a的取值范围是.
故
15. 已知函数的定义域为R，，则的解集为_______．
【正确答案】
【分析】构造函数并求导得出函数单调性，即可解得不等式的解集.
【详解】由可构造函数，
则可得，所以为单调递增函数，
又，所以等价于，
即，可得,
即的解集为.
故
三、解答题（共5个题，每题12，总计60分）
16. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）求函数的极值；
【正确答案】（1）单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）极大值，极小值为．
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间；
（2）结合（1）的单调性求出函数的极值.
【小问1详解】
函数的定义域为，
又，
当或时，，当时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
【小问2详解】
由（1）可知当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
17. 已知函数，且当时，取得极值
（1）求的解析式；
（2）求在上的最值.
【正确答案】（1）；
（2）最大值为，最小值为.
【分析】（1）根据，，列出方程组，求解即可；
（2）根据（1）中所求解析式，利用导数判断函数单调性，结合极值和区间端点值，即可求得结果.
【小问1详解】
，故可得，
由题可知：，，
即：，，解得；
经检验，当时，满足题意，故.
【小问2详解】
由（1）可知：，，又，
故当，，单调递增；当，，单调递减；
当，，单调递增；
故的极大值为，的极小值为，，
故在上的最大值为，最小值为.
18. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求的最大值.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用导数的几何意义，求函数在切点处的切线方程；
（2）利用导数研究函数单调性，求最大值.
【小问1详解】
因为，故， 即切点坐标为，
，
故曲线在点处的切线斜率为2，切线方程为.
【小问2详解】
易得
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以时，，
又时恒成立，
所以的最大值为.
19. 已知函数
（1）若在点处取得极值.求a的值；
（2）求的单调区间.
【正确答案】（1）
（2）当时，函数单调递增区间为，
当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为
【分析】(1)由题意有即可求解，最后验证一下为极值点即可；
(2)求导得f′x=x−ax2x>0，根据的情况分类讨论即可.
【小问1详解】
由题意有函数的定义域为，
所以，因为在点处取得极值，
所以有，
所以，当时，，当时，，
所以在单调递减，在单调递增，
所以为的极小值点，有.
【小问2详解】
由已知有：f′x=x−ax2x>0，
当时，，所以函数在为增函数，
当时，由有，有，
所以函数在单调递减，在单调递增，
所以当时，函数单调递增区间为，
当时，函数单调递增区间为，函数单调递减区间为.
20. 已知函数
（1）当时，证明不等式：
（2）当时，不等式对在任意恒成立，求实数b的取值范围.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）由导数与函数单调性的关系，求得最值，可得答案；
（2）利用参变分离整理不等式，构造函数，根据导数求最值，可得答案.
【小问1详解】
由，则，求导可得，
令，解得，
当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即.
【小问2详解】
由，则，由，则，
要证在上恒成立，
只需证在上恒成立，
令，求导可得，
令，解得，
当时，，函数在上单调递减，
则，所以.