黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023−2024高二下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第二十四中学校2023−2024高二下学期期末 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．技术在我国已经进入调整发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
若与线性相关，且线性回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．由题中数据可知，变量与负相关
B．当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加个单位
C．线性回归方程中
D．可以预测时，该商场手机销量约为1.72（千只）
2．下列命题正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．若随机变量满足，则
C．已知随机变量，若，则
D．已知随机变量，则
3．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
4．在一个口袋中装有大小和质地均相同的5个白球和3个黄球，第一次从中随机摸出一个球，观察其颜色后放回，同时在袋中加入两个与所取球完全相同的球，第二次再从中随机摸出一个球，则此次摸出的是黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．的展开式中的系数为（ ）
A．180B．210C．240D．250
6．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）
A．8B．10C．12D．14
7．在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，在区间内任取两个实数，且，若不等式恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的是（ ）
A．B．C．中最大D．
10．已知8只小白鼠中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患这种病的小白鼠，血液化验结果呈阳性的为患病小白鼠，下面是两种化验方案：方案甲：将8只小白鼠的血液逐个化验，直到查出患病小白鼠为止.方案乙：先取4只小白鼠的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这4只小白鼠的血液再逐个化验，直到查出患病小白鼠；若不呈阳性，则对剩下的4只小白鼠再逐个化验，直到查出患病小白鼠.则下列结论正确的是（ ）
A．若用方案甲，化验次数为2次的概率为
B．若用方案乙，化验次数为3次的概率为
C．若用方案甲，平均化验次数为4
D．若平均化验次数少的方案好，则方案乙比方案甲好
11．投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某不透明纸箱中共有8个小球，其中2个白球，6个红球，它们除颜色外均相同．一次性从纸箱中摸出4个小球，摸出红球个数为，则 ．
13．已知随机变量的分布列如下，则 .
14．已知，且，记随机变量X为x，y，z中的最小值，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．近年来，为了提升青少年的体质，教育部出台了各类相关文件，各地区学校也采取了相应的措施，适当增加在校学生的体育运动时间；现调查某地区中学生（包含初中生与高中生）对增加体育运动时间的态度，所得数据统计如下表所示：
(1)在犯错误的概率不超过0.01（小概率值）的前提下，能否认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
(2)以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记“喜欢增加体育运动时间”的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
16．已知首项为1的等差数列满足：成等比数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足：，求数列的前项和.
17．在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车发展的方向.为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部将在2018年上半年，将在全国所有城市全面启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划》（2021—2035年）要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展.随着国家对新能源汽车产业的支持，很多国产新能源汽车迅速崛起，又因其颜值高､空间大､提速快､用车成本低等特点深得民众的追捧，目前充电难问题已成为影响新能源汽车销量的关键因素，国家为了加快新能源汽车的普及，在全国范围内逐步增建充电桩.某地区2019—2023年的充电桩数量及新能源汽车的年销量如表所示：
(1)由上表中新能源汽车年销售量和充电桩数量的样本数据所画出的散点图知，它们的关系可用线性回归模型拟合，请用所学统计知识进行定量分析；（结果精确到0.001）；
(2)求关于的线性回归方程，且预测当该地区充电桩数量为24万台时，新能源汽车的年销量是多少万辆？
参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.参考数据：.
18．已知函数
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求实数a的取值范围.
19．某校数学兴趣小组由水平相当的位同学组成，他们的学号依次为．辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的.挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战：
④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功，挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第轮，则不管第号同学答对多少题，下轮不再安排同学.
(1)令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列；
(2)若把挑战规则①换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答．
令随机变量表示名挑战者在第轮结束，求随机变量的分布列．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据已知数据，分析变量增大时，变量的变化趋势，判断A选项；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断C选项；根据回归方程判断BD选项.
【详解】对于选项A：从数据看，随的增加而增加，故变量与正相关，故A错误；
对于选项B：根据线性回归方程，可得每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故B错误；
对于选项C：由已知数据得，
代入中得到，故C错误；
对于选项D：将代入中得到，故D正确.
故选D.
2．【答案】D
【分析】根据题意，结合二项分布的期望与方差，以及期望与方差的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由随机变量，因为，
可得，可得，所以A错误；
对于B中，由变量满足，可得，所以B错误；
对于C中，由随机变量，可得，
则，解得，所以C错误；
对于D中，由随机变量，可得，所以D正确.
故选D.
3．【答案】A
【分析】由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案.
【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是，
则，又，
所以，
所以.
故选A.
4．【答案】B
【分析】借助全概率公式计算即可得.
【详解】设事件为第一次从中随机摸出一个球的颜色为白色，
事件为第二次再从中随机摸出一个球是黄球，
则
.
故选B.
5．【答案】B
【分析】首先把公式展开，利用二项式定理得到的系数为，再利用组合数公式，即可把公式转成即可得到答案.
【详解】
所以系数为
故选B.
6．【答案】C
【分析】根据题意，先安排小明跟小李，然后剩余3人分两组，再分配，即可得到结果.
【详解】小明和小李必须安装不同的吉祥物，则有种情况，
剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有种情况，
然后分配到两个吉祥物的安装又种情况，
则共有种情况.
故选C.
7．【答案】A
【分析】根据二项式系数和求得n，利用二项式展开式的通项公式确定有理项的项数，根据插空法排列有理项，再根据古典概型的概率公式即可求得答案.
【详解】在二项式 展开式中，二项式系数的和为，
所以.
则即，通项公式为，
故展开式共有7项，当时，展开式为有理项，
把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，
即把其它的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种,
故有理项都互不相邻的概率为,
故选A.
8．【答案】A
【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可.
【详解】对任意的，且，，
则，令，则，
由单调性的定义知在上为增函数，.
则在上恒成立，即，
也即在上恒成立，
记，因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，即实数a的取值范围为.
故选A.
9．【答案】ABD
【分析】由等差数列的性质和前项和公式，计算可判断每个选项的正确性,
【详解】在等差数列中，，
所以，，所以，，
所以，，所以，故A，B正确；
，故C错误；
由，所以，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】AD
【分析】求出两种方案的化验次数的分布列即可判断.
【详解】若用方案甲，设化验次数为，则的可能取值为，
所以正确；
若用方案乙，设化验次数为，若，有两种情况：
①头4只均为阴性，则；
②头4只有阳性，则，
所以化验次数为3次的概率为，B错误；
若用方案甲，
则，
所以，C错误；
若用方案乙，可取2，3，4.
，
所以，因为，
所以方案乙比方案甲好，D正确.
故选.
11．【答案】ABD
【分析】求出第次投壶是甲的概率的一般形式后可判断AD的正误，利用条件概率可判断B的正误，利用分类计算可判断C的正误.
【详解】设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件．
因为；所以，
所以，而，故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
对于A，，故A正确.
对于B，，故，所以B正确.
对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为：
，所以C错误.
对于D，，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】3
【分析】根据给定条件，可得服从超几何分布，再利用超几何分布的期望公式计算即得.
【详解】依题意，摸出红球个数服从超几何分布，，
所以.
故答案为：3.
13．【答案】9
【分析】先根据期望和方差公式求出，再根据方差的性质即可得解.
【详解】，
，
所以.
故答案为：.
14．【答案】
【分析】求出X可能取值为1和2，分别求出事件总情况及与的情况，求出相应的概率，求出期望即可.
【详解】因为，所以随机变量X可能取值为1和2，
用隔板法可求得：事件总情况为种，
时，分两种情况：
①三个数中只有一个1，有种；
②三个数中有两个1，有种，
所以时，，
时，也分两种情况：
①三个数中只有一个2，有种；
②三个数中有两个2，有种，
所以时，，
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)不能
(2)分布列见解析，3
【分析】（1）先得出，对照临界值表可得结论；
（2）依题意，，得出对应概率，可得X的分布列以及数学期望.
【详解】（1）完善二联表如下：
零假设：不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联，
则，
故依据的独立性检验，没有充足证据推断不成立，
因此可以认为成立，即不能认为学段与对增加体育运动时间的态度有关联；
（2）喜欢增加体育运动时间的人数有300人，故喜欢增加体育运动时间的概率为
依题意，，
，
，
，
，
故X的分布列为：
则.
【方法总结】求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量X可能的取值xi(i＝1，2，3，…，n)；
(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，3，…，n)；
(3)列成表格形式.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设公差为d，又成等比数列，
所以，又，所以或，
而时，不满足成等比数列，所以
所以
（2）令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以
17．【答案】(1)答案见解析
(2)；157.25万辆
【分析】（1）先求出，，结合题意中的公式计算即可求解；
（2）根据最小二乘法计算，进而求出，写出线性回归方程．将代入方程即可下结论.
【详解】（1）由题知，，
又，，，
所以，
因为y与x的相关系数近似为0.999，非常接近1，
所以y与x的线性相关程度很高，可以用线性回归模型拟合y与x的关系；
（2），
，
所以y关于x的线性回归方程为．
当时，，
故当充电桩数量为24万台时，该地区新能源汽车的年销量为157.25万辆．
18．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由得到，再利用导数的几何意义求解；
（2）求导，根据在区间上单调递增，由恒成立求解.
【详解】（1）当时，，
，
则，，
所以当时，在点处的切线方程为
（2），
因为在区间上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
因为当时，，
所以，即a的取值范围是
19．【答案】(1)分布列见解析
(2)分布列见解析
【分析】（1）先算出位同学在轮挑战中成功的概率和失败的概率，得到，，即可求出随机变量的分布列；
（2）先考虑时，第k人必答对第二题，有，再考虑当时，故，于是得到的分布列.
【详解】（1）位同学在轮挑战中成功的概率为，失败的概率为，
，，
所以的分布列为：
（2）时，第k人必答对第二题，
若前面人都没有人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故；
当时，
若前面人都没有人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.
所以的分布列为：
时间
1
2
3
4
5
销售量（千只）
0.5
0.8
1.0
1.2
1.5
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
初中生
160
40
高中生
140
60
0.05
0.01
0.005
3.841
6.635
7.879
年份
2019
2020
2021
2022
2023
充电桩数量万台
1
3
5
7
9
新能源汽车年销量万辆
25
37
48
58
72
喜欢增加体育运动时间
不喜欢增加体育运动时间
总计
初中生
160
40
200
高中生
140
60
200
总计
300
100
400
X
0
1
2
3
4
P
1
2
3
4
P
1
2
3
…
P
…