河北省唐山市百师联盟2023−2024学年高二下学期期末联考 数学试卷（含解析）

这是一份河北省唐山市百师联盟2023−2024学年高二下学期期末联考 数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．以下数据为某学校参加学科节数学竞赛决赛的10人的成绩：（单位：分）72，78，79，80，81，83，84，86，88，90．这10人成绩的第百分位数是85，则（ ）
A．65B．70C．75D．80
2．集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．如图，中，为边的中点，为的中点，则（ ）

A．B．
C．D．
4．下列函数中，是奇函数且是增函数的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列，前项和为，则（ ）
A．20B．25C．30D．35
6．在三棱锥中，已知底面，，，则三棱锥外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆的弦的中点为，点为圆上的动点，则的最大值为（ ）
A．2B．C．8D．
8．已知（其中为自然对数的底数），则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知抛物线过点，则（ ）
A．拋物线的标准方程可能为
B．抛物线的标准方程可能为
C．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有一条
D．过点A与抛物线只有一个公共点的直线有两条
10．已知是虚数单位，若，则（ ）
A．复数的虚部为
B．复数对应的点在第二象限
C．
D．复数是关于的方程的一个根
11．已知点是正方体表面上的一个动点，则以下说法正确的是（ ）
A．当在平面上运动时，四棱锥的体积不变
B．当在线段上运动时，与所成角的取值范围是
C．若点在底面上运动，则使直线与平面所成的角为的点的轨迹为椭圆
D．若是的中点，点在底面上运动时，不存在点满足平面
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知函数在点处的切线的斜率为1，则 .
13．楷书也叫正楷，真书，正书，是从隶书演变而来的一种汉字字体，其书写特点是笔画严整规范，线条平直自然，结构匀称方正，运笔流畅有度，《辞海》解释楷书“形体方正，笔画平直，可作楷模”，故名楷书.楷书中笔画“竖”的写法主要有垂露竖､悬针竖和短竖三种.小君同学在练习用楷书书写“十”字时，竖的写法可能随机选用其中任意一种，现在小君在一行内写了5个“十”字，若只比较5处竖的写法，不比较其它笔画，且短竖不超过3处，则这5个“十”字的不同写法共有 种.（用数字作答）
14．如图，长方体中，，点为线段上一点，则的最大值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知为数列的前项和，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
16．某校体育锻炼时间准备提供三项体育活动供学生选择．为了解该校学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度（态度分为同意和不同意），随机调查了200名学生，数据如下：
单位：人
(1)能否有的把握认为学生对“三项体育活动中要有篮球”这种观点的态度与性别有关？
(2)现有足球、篮球、跳绳供学生选择．
①若甲、乙两名学生从这三项运动中随机选一种，且他们的选择情况相互独立互不影响．已知在甲学生选择足球的前提下，两人的选择不同的概率为．记事件A为“甲学生选择足球”，事件B为“甲、乙两名学生的选择不同”，判断事件A、是否独立，并说明理由；
②若该校所有学生每分钟跳绳个数．根据往年经验，该校学生经过训练后，跳绳个数都有明显进步．假设经过训练后每人每分钟跳绳个数比开始时个数增加10，该校有1000名学生，预估经过训练后该校每分钟跳182个以上人数（结果四舍五入到整数）．
参考公式和数据：，其中；
若，则，，．
17．在锐角中，内角所对的边分别为，且.
(1)求角A的大小；
(2)当时，求面积的最大值.
18．已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值.
19．已知函数.
(1)若方程有两解，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【分析】由样本数据第百分位的定义求解即可得出答案.
【详解】因为10人成绩的第百分位数是，
而，即第位与第位的平均值，
所以是这10人成绩的第百分为数.
故选B.
2．【答案】A
【分析】根据交集运算即可求解．
【详解】，，故.
故选A.
3．【答案】A
【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.
【详解】在中，为边的中点，为的中点，
则.
故选A.
4．【答案】B
【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义即可求解．
【详解】选项A，因为且定义域为R，函数为偶函数，故A不合题意；
选项B，由且定义域为R，函数为奇函数，
由指数函数单调性及解析式，知函数在定义域上单调递增，符合题意；
选项C，函数为奇函数且，可知函数在定义域上单调递减，故C不合题意；
选项D，函数定义域为，不关于原点对称，不具有奇偶性，故D不合题意.
故选B.
5．【答案】C
【分析】由已知结合等差数列的求和公式即可求解.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，
化简得，.
故选C.
6．【答案】C
【分析】将三棱锥补形成正方体，利用正方体的外接球的性质即可得解.
【详解】依题意，将三棱锥补形成正方体，如图，
则该正方体的外接球就是三棱锥的外接球，
因为，则该正方体的体对角线长为，
所以外接球的直径，，
则外接球的体积.
故选C.
7．【答案】D
【分析】由题意，圆心，半径为3，且和，再由，即可求解.
【详解】圆，圆心，半径为3，如图，
为弦的中点，，
共线时等号成立，
.
故选D.
8．【答案】C
【分析】根据式子特点，构建函数，利用导数判断函数的单调性，利用函数单调性比较大小，则可得结果.
【详解】根据的形式转化可得，
从而构造函数，
则，
，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在,上单调递增，
，即，
又，
∴，即.
故选C.
【方法总结】构造函数比较大小的方法：
分析给出的数值之间的关系，找出相应数值的共性，进而把某个数值看作自变量的取值，然后找出该数值与其他数值之间的关系，把给出的数值转化为相应的函数值，最后构造函数利用函数的单调性比较大小.一般通过作差或作商构造函数，作差法构造函数的关键点是研究函数的单调性与函数的零点，作商法构造函数的关键点是函数值的正负、函数的单调性及函数的最值与1的大小关系.
9．【答案】ABD
【分析】根据题意设出抛物线的方程，利用点在抛物线上及直线与抛物线的位置关系即可求解.
【详解】对于选项A，当抛物线开口向右时，设抛物线的方程为，将代入抛物线中得，则拋物线的方程为，故A正确；
对于选项B，当抛物线开口向下时，设抛物线的方程为，将代入拋物线中得，则抛物线为，故B正确；
对于C、D选项，过点A与对称轴平行的直线，以及抛物线在点A处的切线都与抛物线只有一个公共点，故C错误，D正确.
故选ABD.
【规律方法】抛物线的标准方程：
①y2=2px，当p>0时，为开口向右的抛物线；当p0时，为开口向上的抛物线；当p