河北省石家庄十五中2023−2024学年高二下学期期末 数学试题（含解析）

这是一份河北省石家庄十五中2023−2024学年高二下学期期末 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题：，，那么命题的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．函数在处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的解集为空集，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析x与y之间的线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为（ ）
A．B．2.45C．3.45D．54.55
7．正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践之中.在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.假设随机变量，可以证明，对给定的是一个只与k有关的定值，部分结果如图所示：

通过对某次数学考试成绩进行统计分析，发现考生的成绩基本服从正态分布.若共有1000名考生参加这次考试，则考试成绩在的考生人数大约为（ ）
A．341B．477C．498D．683
8．某货车为某书店运送书籍，共箱，其中箱语文书、箱数学书、箱英语书.到达目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱.现从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，则丢失的一箱是英语书的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知实数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C．D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品、4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
11．已知函数，给出下列结论正确的是（ ）
A．函数存在4个极值点
B．
C．若点为函数图象上的两点，则
D．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知x＜，则f(x)＝4x－2＋的最大值为 .
13．二项展开式，则 ， .
14．一个装子里面有装有大小相同的白球和黑球共10个，其中黑球有4个，现从中不放回的取球，每次取1球，在第一次取出黑球的条件下，求第二次取出白球的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某企业产品利润依据产品等级来确定：其中一等品、二等品、三等品的每一件产品的利润分别为100元、50元、50元．为了解产品各等级的比例，检测员从流水线上随机抽取了100件产品进行等级检测，检测结果如下表：
(1)若从流水线上随机抽取2件产品，估计2件产品中恰有1件一等品、1件二等品的概率；
(2)若从流水线上随机抽取3件产品，记X为这3件产品中一等品的件数，为这3件产品的利润总额.
①求X的分布列；
②直接写出Y的数学期望.
16．如图是我国2014年至2022年65岁及以上老人人口数（单位：亿）的折线图.

注：年份代码1-9分别对应年份2014-2022.
(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数（结果精确到0.01）加以说明；
(2)建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），并预测2023年我国65岁及以上老人人口数（单位：亿）.
参考数据：.
参考公式：相关系数.
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.
17．为切实提升我省儿童青少年视力健康整体水平，各中小学积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查.某校为研究本校学生的近视情况与本校学生是否有长时间使用电子产品习惯的关系，在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据：
(1)能否有99%的把握认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关？
(2)据调查，某校患近视学生约为46%，而该校长时间使用电子产品的学生约为30%，这些人的近视率约为60%.现从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，求他患近视的概率.
附：，其中.
18．已知函数，（）.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；
(3)若对任意，存在，使得，求的取值范围.
19．已知函数，.
(1)若在区间上恰有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)求的零点个数；
(3)若，求证：对于任意，恒有.
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据集合的交集运算即可求解.
【详解】，
.
故选D.
2．【答案】A
【解析】由全称命题的否定是特称命题即可得解.
【详解】原命题是全称命题，
命题的否定是“，”.
故选A.
【思路导引】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案.
3．【答案】B
【分析】利用导数的几何意义可求得所求切线的斜率.
【详解】因为，则，所以，
因此函数在处的切线斜率为.
故选B.
4．【答案】A
【分析】由题意可得，解出的取值范围，即可得出答案.
【详解】因为不等式的解集为空集，
所以，解得：，
则的取值范围是.
故选A.
【思路导引】结合题目条件与根的判别式，可得，即可解得的取值范围.
5．【答案】B
【分析】根据排列数的定义即可求解.
【详解】根据排列数的定义，
可得从本不同的书中选本送给个人，每人本，不同方法的种数是.
故选B.
6．【答案】B
【分析】根据样本点的横坐标和回归直线方程得出y的估计值，根据残差定义计算.
【详解】把代入，得，
所以在样本点处的残差.
故选B.
【思路导引】根据题目条件可得=54.55，再根据残差的定义即可得到答案.
7．【答案】B
【分析】根据已知，利用正态分布的性质计算求解.
【详解】因为考生的成绩基本服从正态分布，
所以考试成绩在的考生人数即为考试成绩在的人数，
因为共有1000名考生参加这次考试，
所以考试成绩在的考生人数大约为，故A，C，D错误.
故选B.
8．【答案】B
【分析】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，利用全概率公式求出的值，再利用贝叶斯公式可求得所求事件的概率.
【详解】记事件从剩下的箱书中随机打开箱，结果是箱语文书、箱数学书，
记事件丢失的一箱是语文书，事件丢失的一箱是数学书，事件丢失的一箱是英语书，
则，
，
由贝叶斯公式可得.
故选B.
9．【答案】BC
【分析】根据已知等式可确定，结合不等式性质和作差法依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，，A错误；
对于B，，，，，，，
，即，B正确；
对于C，，，，即，C正确；
对于D，，D错误.
故选BC.
10．【答案】BC
【分析】对于A，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D，利用超几何分布的概率即可判断.
【详解】对于A：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故A错误；
对于B：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有（种），故两位女生不相邻的概率是，故B正确；
对于C：由，得，解得，故C正确；
对于D：设随机变量X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，
所以，故D错误.
故选.
11．【答案】ACD
【分析】求出函数的导数并判断其单调性，判断极值点个数判断A；比较导数值大小判断B；求出两段的函数值集合判断C；由方程根的情况，数形结合求出的范围判断D.
【详解】对于A，当时，，求导得，
当或时，f'x>0，当时，，
当时，，求导得，
当时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
函数的极大值点为，极小值点为，共4个，A正确；
对于B，因为，即，B错误；
对于C，函数在处取得极大值，而，
当时，恒有，则当时，，
函数在在处取得极小值，因此当时，，
于是，C正确；
对于D，由方程，得或，
由解得，因此方程有两个不相等的实数根，
当且仅当方程有一个非0实根，
即直线与函数的图象有唯一公共点，
在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图，
观察图象知，当或时，
直线与函数的图象有一个公共点，解得或，
于是所求实数的取值范围是，D正确.
故选ACD.
【思路导引】通过求导判断函数的单调性和极值点的个数，从而判断A；代入计算导数值，比较大小，从而判断B；分别计算两端函数值的集合，从而判断C；分离参数，将问题转化为直线与图象的交点个数，利用数形结合，从而判断D.
12．【答案】1
【分析】对目标函数进行配凑，利用基本不等式即可求得函数最大值.
【详解】因为x＜，所以5－4x＞0，
则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，取等号，
故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.
故答案为：.
13．【答案】80 122
【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的第项为，即可根据题意，求出和.
【详解】的通项为，令，则，
故；.
故答案为：80；122.
14．【答案】
【分析】使用条件概率公式即可求解.
【详解】设事件A：第一次取出黑球；事件B: 第二次取出白球；
，，
所以.
故答案为：.
15．【答案】(1)；
(2)①分布列略；②.
【分析】（1）利用乘法公式得出所求概率；
（2）①由得出X的分布列；②先得出Y的分布列，进而得出数学期望.
【详解】（1）记表示“第件产品是一等品”；
记表示“第件产品是二等品”；
记C表示“2件产品中恰有1件一等品、1件二等品”；
此时，易知，
则；
（2）①若从流水线上随机抽取3件产品，则的所有可能取值为，
此时；；
；；
所以的分布列如下：
②由①可得，的分布列如下：
则.
16．【答案】(1)与之间存在较强的正相关关系，见解析；
(2)；2.15.
【分析】（1）结合参考数据，求出相关系数，进而可以得出结论；
（2）根据参考公式求出回归直线方程，进而可以根据回归直线方程进行数据估计.
【详解】（1）由折线图看出，与之间存在较强的正相关关系，理由如下：
因为，，
所以，，
，
所以，
，
因为，所以与之间存在较强的正相关关系.
（2）由（1），结合题中数据可得，
，
，
，
所以关于的回归方程，
2023年对应的值为10，故，
预测2023年我国65岁及以上老人人口数2.15亿.
17．【答案】(1)有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关，理由见解析；
(2)0.4.
【分析】（1）计算出卡方，与6.635比较后得到结论；
（2）设出事件，利用全概率公式得到方程，求出答案.
【详解】（1）提出零假设学生患近视与长时间使用电子产品无关，
，
因为当成立时，，
所以我们有的把握认为学生患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；
（2）设事件A：“长时间使用电子产品的学生”，事件B：“任意调查一人，此人患近视”，
则，，
由全概率公式得，
解得，
即从每天非长时间使用电子产品的学生中任意调查一名学生，他患近视的概率为0.4.
18．【答案】(1)或；
(2)；
(3).
【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可；
（2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围；
（3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解.
【详解】（1）当时，由得，
即，解得或，
所以不等式的解集为或.
（2）由得，
即不等式的解集是，
所以，解得，
所以的取值范围是.
（3）当时，，
又，
①当，即时，
对任意，，
所以，此时不等式组无解，
②当，即时，
对任意，，
所以，解得，
③当，即时，
对任意，，
所以，此时不等式组无解，
④当，即时，
对任意，，
所以，此时不等式组无解，
综上，实数的取值范围是.
19．【答案】(1)；
(2)1；
(3)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出函数的极值点作答；
（2）利用导数探讨函数的单调性，结合零点存在性定理判断作答；
（3）把代入，对所证不等式作等价变形，再构造函数，利用导数推理作答.
【详解】（1）函数，求导得，当时，，当时，，
因此是的极小值点，依题意，，解得，
所以实数的取值范围是.
（2）函数的定义域为，求导得，
由得，由得，
于是函数在上单调递减，在上单调递增，
而当时，，即有，因此在上没有零点，
显然，即函数在上存在1个零点，
所以函数的零点个数为1.
（3）当时，，，
于是要证，即证，只需证，
令函数，求导得，
由，得，由，得，
即在上单调递减，在上单调递增，
因此，则，，即，
所以对于任意，恒有.产品等级
一等品
二等品
三等品
样本数量（件）
50
30
20
长时间使用电子产品
非长时间使用电子产品
近视
未近视
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
0
1
2
3