广东省领航高中联盟2024−2025学年高二下学期第一次联合考试（5月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省领航高中联盟2024−2025学年高二下学期第一次联合考试（5月） 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．二项式展开式中的第3项为（ ）
A．B．15C．D．20
2．已知函数，则（ ）
A．B．C．D．
3．若数列满足，，则（ ）
A．4B．2C．0D．
4．若，且，则（ ）
A．0.3B．0.4C．0.45D．0.5
5．某智能机器人需执行包含5个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行（顺序可以互换），指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为（ ）
A．18B．36C．48D．144
6．为庆祝六一儿童节，某幼儿园进行趣味游戏，游戏规则是箱子中有大小相同的4个白色乒乓球和2个橙色乒乓球，小朋友每次从箱子随机取出1个乒乓球，确定颜色后再放回箱子，然后再取球，直到连续3次取出白色乒乓球后停止取球，且最多取球6次，每取球1次给取球的小朋友发放1个节日礼品，则小朋友获得5个节日礼品的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．记为首项为1的数列的前项和，且，则（ ）
A．B．C．D．
8．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知是定义在上的可导函数，则（ ）
A．若，则是增函数
B．若，则0是的极值点
C．若，则
D．若，则是减函数
10．已知随机变量满足，则（附：）（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．当取得最小值时，
11．若数列中存在使得，则称为平衡数列，记满足条件的最小的为，称为的“平衡数”，则（ ）
A．若，则是“平衡数”为5的平衡数列
B．若，，则不是平衡数列
C．若，则是平衡数列
D．若，且，则是“平衡数”为3的平衡数列
三、填空题
12．若，且，则 .
13．的展开式中的系数为 .
14．如图为一个正八面体，用事件表示“从正八面体的所有顶点中任取4个点，这4个点恰好共面”，若事件满足，，，则 .
四、解答题
15．已知，且.
（1）求的值；
（2）从中任取2个数字，求这2个数字之积为正数的取法种数.
16．某市环保部门推行垃圾分类，对某社区进行督导检查.该社区由甲、乙两个小区组成，甲小区有居民600户，乙小区有居民400户.已知甲小区居民参加过培训，每户正确垃圾分类的概率为0.9，乙小区尚未开展培训，每户正确垃圾分类的概率为0.6.
（1）若从该社区中随机抽查一户，求抽到的一户能正确垃圾分类的概率；
（2）在重点检查中环保部门对甲小区产生的10袋垃圾进行核查，已知这10袋中有8袋正确分类，现从中随机抽取3袋，求抽取的3袋中正确分类与没有正确分类的至少各有1袋的概率.
17．已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，，，，…，，…成等比数列，求的前项和.
18．某电子零部件代加工工厂生产的零部件次品率为10%，现进行多批次抽检，假设各零部件是否为次品相互独立.
（1）从一批产品中随机抽取4件，求抽到的零部件中正品数多于次品数的概率；
（2）若从另一批产品中随机抽取3件，记抽到的零部件的正品数与次品数差的绝对值为，求的分布列与期望；
（3）若从某一批次的产品中随机抽取件，记抽到的零部件的次品数为，且为奇数的概率为，求使的的最大值.
注：.
19．已知函数.
（1）若，求在区间上的最大值；
（2）若，且图象上任意两点连线的斜率都小于，求的取值范围；
（3）若，求的最小值.
参考答案
1．【答案】A
【详解】因为展开式中的通项为，，
所以.
故选A.
2．【答案】C
【详解】，所以，
故选C
3．【答案】D
【详解】当时, ，
同理,
所以.
故选D.
4．【答案】C
【详解】由题意，正态曲线关于直线对称，
因为，
，
解得，
所以.
故选C.
5．【答案】B
【详解】把捆绑，相当于共有4个指令，内部排列有种排法，
不排在最后一个位置，先排有种排法，再排另外3个指令，
由分步乘法计数原理可得总的排列数为.
故选B.
6．【答案】C
【详解】获得5个节日礼品，则取球5次，记第次取到白色乒乓球为事件，
由题意得，记取球5次后停止取球为事件，则，所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】易得，故，
化简得，即，
由知，故，
累乘可得，
即，故，
当时，也符合上式，故，故.
故选C.
8．【答案】A
【详解】设，则，设切点为，则切线斜率，
即，整理得，
设，由题意可知有3个零点，，显然，
由，得或，
因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号，
所以，所以，或.
故选A.
9．【答案】AD
【详解】若，则是增函数，故A正确；
当时，0不一定是的极值点，如，，但没有极值，故B错误；
若，则，故C错误；
因为，所以，
所以在上是减函数，故D正确.
故选AD.
10．【答案】AC
【详解】若，由，得，，故A正确；
若，则，
所以，，故B错误；
由，得，当为偶数时，
当为奇数时，因为为奇数，
所以，
故C正确；
由C知，，
，
所以，
当且仅当时取等号，此时，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ABD
【详解】因为，令，得，，
所以是“平衡数”为5的平衡数列，故A正确；
的前6项依次为2，，，2，，，故是周期为3的周期数列，可验证不是平衡数列，故B正确；
若，则，故C错误；
对于D，由，得，因为，所以，
由，得，
当时，，
所以是“平衡数”为3的平衡数列，故D正确.
故选ABD.
12．【答案】
【详解】由，解得（舍去）或.
13．【答案】12
【详解】，
其的展开式中的系数为.
14．【答案】
【详解】由题意得，
因为，
所以
即，
所以，
，
所以.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，，
则
所以.
（2）由（1）知，，，，，为正数，，，，为负数，
所取2个数的积为正数，则所取的2个数全是正数，或全是负数，
故符合条件的取法种数为
16．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）用事件A表示“抽到甲小区的一户”，事件表示“抽到乙小区的一户”，
事件表示“能正确垃圾分类”，事件表示“抽到的一户能正确垃圾分类”.
则，，，，
所以.
（2）3袋中正确分类与没有正确分类的至少各有1袋，
则正确分类的有1袋或2袋，
所以所求概率为.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）中令，
得，所以，
因为，
整理得，
当时，，
所以时，是常数列，且，
所以，
又也满足上式，
所以.
（2）因为成等比数列，且，，
所以该数列的第项为，
因为是数列的第项，
所以，
所以，
所以.
18．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）
【详解】（1）由已知该批零部件次品率为10%，正品率为，
因为从该批零部件中随机抽取4件，抽到的零部件中正品数多于次品数，
所以次品数为0件或1件，
所以所求概率为.
（2）设抽取的零部件次品数为，则，
所以的取值依次为1，3，，
，
，
所以的分布列为
.
（3）由题意得，
为奇数的概率为，则为偶数的概率为，
设，
则，
，
以上两式相减得，
所以.
由得，
所以，，
所以，
所以的最大值为20.
19．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，，，
当时，，，
当时，，，，
当时，，，，
综上得，时，，单调递增，
所以在区间上的最大值为.
（2）当时，，
设，是图象上任意两点，
则，所以，
设，则在区间上单调递减，
所以，
因为，所以，.
即的取值范围是.
（3）由得，设，
则，
设，则，
设，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
因为，，，
所以存在，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
因为，，
所以时，，，单调递增，.
当时，设，
则，
所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以，的最小值为.
1
3
0.27
0.73