福建省三明市2023−2024学年高二下学期期末质量检测 数学试题（含解析）

这是一份福建省三明市2023−2024学年高二下学期期末质量检测 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，则（ ）
A．B．
C．D．
2．下列函数既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，，使成立的一个充分而不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．2023年入冬以来流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数与第天的数据如表所示.
根据表中数据可知具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则以下说法错误的是（ ）
A．该样本相关系数在内
B．当时，残差为
C．点在经验回归直线上
D．第6天到该医院的流感就诊人数预测值为130
5．现实世界中的很多随机变量服从正态分布，例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做次测量，测量结果的误差，要控制的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为（ ）
（参考数据：）
A．288B．188C．72D．12
6．某中学新开设文学社､街舞社､话剧社､天文社和棋社等五个社团，甲同学准备和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团，则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知实数，，且满足恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知是方程的实根，则下列各数为正数的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知，则（ ）
A．的值为2
B．的值为
C．的值为
D．当时，除以11的余数为10
11．已知，则下列选项一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．一项活动有7个名额需要分配给3个单位，每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同的分配方法种数是 .（用数字表示）
13．已知是定义域为的函数，的图象关于点对称，且，当时，，则 .
14．根据超几何分布概念及分布列性质计算 .（用组合数表示）
四、解答题（本大题共5小题）
15．假设有两箱零件，第一箱内装有件，其中有件次品；第二箱内装有件，其中有件次品.现从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.
(1)求取出的零件是次品的概率；
(2)已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率.
16．某新能源汽车企业开展市场前景调研，对即将换车的男､女性燃油车主购买新能源车意愿进行问卷调查，随机抽取了100份有效问卷，统计数据如下表：
(1)试依据小概率值的独立性检验，能否认为购买意愿与性别有关联？
(2)企业随机致电8位无意愿购买新能源车的车主（其中3名男性，5名女性），邀请其参加新能源车免费试驾，已知有一半的车主同意受邀参加试驾活动，设试驾活动中女性人数为，求的分布列及数学期望.
下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的图象在点处的切线方程；
(2)若函数的最小值是1，求的值.
18．若对定义域内任意，都有，则称函数为“距”增函数.
(1)已知，判断是否为“1距”增函数，并说明理由；
(2)已知是“距”增函数，求的最小值；
(3)已知是“2距”增函数，求的最小值.
19．已知函数在定义域上不单调.
(1)求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且极大值点为，最大的零点为，求证：.
参考答案
1．【答案】C
【分析】由交集运算求解即可.
【详解】因为，所以.
故选C.
2．【答案】D
【分析】根据基本初等函数的性质，并结合奇函数的定义，即可判断选项.
【详解】根据二次函数和指数函数的性质可知，和不是奇函数，故AB错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
当时，，所以函数在先增后减，故C错误；
的定义域为，且满足，所以函数是奇函数，
并且是增函数，也是增函数，所以在单调递增，故D正确.
故选D.
3．【答案】A
【分析】根据不等性质直接判断各选项.
【详解】A选项：若，可得，即是的充分条件，若，当时，，所以不是的必要条件，即是的充分不必要条件，A选项正确；
B选项：若，则，无法判断与的大小关系，即不是的充分条件，B选项错误；
C选项：当同号时，若，可得，所以不是的充分条件，C选项错误；
D选项：若，则，若，则，即是充要条件，D选项错误；
故选A.
4．【答案】B
【分析】由题意，x，y具有较强的正相关关系，可判断相关系数的范围，即可判断A；计算x，y的平均值，代入回归直线方程求出a的值，即可求出时的预测值，求得残差，即可判断B；看是否满足回归直线方程，即可判断C；将代入回归直线方程，求出预测值，即可判断D.
【详解】由题意可知x，y具有较强的正相关关系，故样本相关系数在内，故A正确；
根据题意得，
故，解得，
故当时，，残差为，故B错误；
点即点，当时，，
即点在经验回归直线上，故C正确；
当时，，即第6天到该医院就诊人数的预测值为130，故D正确,
故选B.
5．【答案】C
【分析】根据题意得，可得，然后根据正态分布的概率求法可求得结果.
【详解】因为，所以，
根据题意得，则，
即，
因为，所以，
所以，所以，解得，
所以至少要测量的次数为72次.
故选C.
6．【答案】D
【分析】求出甲同学和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团所有情况，再求出只有甲同学参加文学社、甲同学和另外1位参加文学社情况，根据古典概型概率公式计算可得答案.
【详解】甲同学和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团共有种情况，
若只有甲同学参加文学社，则另外3人中有2人参加同一社团的情况有种，
若甲同学和另外1位参加文学社，
则另外2人参加其他社团中的2个的情况有种，
所以甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的情况有种，
则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为.
故选D.
7．【答案】A
【分析】构造函数，根据函数的单调性与奇偶性可得，即，再根据基本不等式可得最值.
【详解】由，
则，
设，易知函数在上单调递增，且，
则函数为奇函数，
则原不等式即为，即，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选A.
8．【答案】A
【分析】函数有两个零点，等价于有两个根，即有两个根，转化为两个函数图象有两个交点，结合导数画出图象草图，即可得解.
【详解】函数有两个零点,等价于有两个根，即有两个根，
令，，
令，，所以在R上单调递增；
又，
所以当时，，即，当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值为，
当时，当时，
要想有两个根，只需要，即
故选A.
9．【答案】BC
【分析】根据是方程的实根可得，计算判断各个选项.
【详解】因为是方程的实根，令，当时，，当时，，可得
对于A，因为，所以，则，A错误；
对于B，因为，所以，则，B正确；
对于C，因为，所以，C正确；
对于D，因为，所以，则，D错误；
故选BC.
10．【答案】ACD
【分析】对于AC：利用赋值法分析求解；对于B：根据二项展开式的通项公式分析求解；对于D：整理可得，结合二项展开式分析求解.
【详解】因为，
对于选项A：令，则；
对于选项B：因为的通项为，
可知含项为，
所以的值为，故B错误；
对于选项C：令，则；
令，则；
所以，故C正确；
对于选项D：令，则，
因为，
可知除以11的余数为，
则除以11的余数为，且除以11的余数为，
所以当时，除以11的余数为10，故D正确；
故选ACD.
11．【答案】BCD
【分析】由基本不等式判断A；由结合二次函数的单调性、指数函数的单调性判断B；构造函数，利用导数判断CD.
【详解】对于A：（当且仅当时，取等号），
即，故A错误；
对于B：，
则，故B正确；
对于C：，构造函数，
，
当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
则，即，故C正确；
对于D： ，构造函数，
，
，即函数在上单调递增；
，即函数在上单调递减；
即，则，故D正确；
故选BCD.
12．【答案】6
【分析】先确定分配方式为1，2，4，再排列即可.
【详解】因为每个单位至少一个名额且各单位名额个数互不相同，
所以7个名额需要分配给3个单位的分配方式为：1，2，4，
所以7个名额需要分配给3个单位的分配方法种数是种，
故答案为：6
13．【答案】
【分析】由平移变换确定函数为奇函数，进而结合周期求出.
【详解】因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称，
即函数为奇函数，，即，
所以函数的周期为4，
.
故答案为：
14．【答案】
【分析】举实例，利用超几何分布概率公式以及概率之和等于1、组合数的性质求解即可.
【详解】可将问题转化为：从个黄球，个白球中随机抽取个球，表示抽到黄球的个数，
，则，
则，
即，
由组合数的性质可得，.
故答案为：
15．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)根据全概率公式即可得解；
(2)根据条件概率公式可得解.
【详解】(1)设事件“从第箱中取一个零件”，
事件“取出的零件是次品”，
则，且互斥，
则，，
所以，，
所以
，
所以取出的零件是次品的概率为；
(2)取出的是次品是从第一箱取出的概率
，
所以已知取出的是次品，则它是从第一箱取出的概率为.
16．【答案】(1)购买意愿与性别有关联；
(2)分布列见解析，.
【分析】(1)根据公式和列联表求出并与表格的值对比即可判断；
(2)根据服从超几何分布求出其分布列，根据超几何分布的数学期望公式或数学期望的定义即可计算数学期望.
【详解】(1)零假设为：购买意愿与性别无关联，
根据列联表的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
认为购买意愿与性别有关联，此推断犯错的概率不大于0.01.
(2)的可能取值为，
所以的分布列为：
所以.
或根据超几何分布的数学期望有.
17．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)利用导数求出切线斜率，再求切点坐标，利用直线点斜式方程即可求解；
(2)利用导数求出函数的极值，根据题意，极小值即为最小值，建立方程得解.
【详解】(1)当时，.
，
，即切线斜率.
所以切线方程为，即
(2)函数的定义域为.
当时， .所以在上单调递减，无最小值.
当时，令，得；令，得.
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值为.
所以，即.
综上所述.
18．【答案】(1)是“1距”增函数，理由见解析；
(2)；
(3)答案见解析.
【分析】(1)由，因为，所以，可得函数是“1距”增函数.
(2)由恒成立，可得恒成立，则由，得或，又，所以.
(3)由已知，讨论当时，时，恒成立的条件，得到，所以，讨论得当时，；当时，.
【详解】(1)函数是“1距”增函数.
理由如下：
因为，所以，
由
因为，
所以，
即恒成立，所以是“1距”增函数.
(2)因为是“距”增函数，
所以恒成立，
所以
恒成立，
即恒成立，
由，解得或，
因为，所以.
(3)由，
因为函数是“2距”增函数，所以当时，恒成立，
又因为为增函数，所以，
当时，，即恒成立，
所以，解得；
当时，，即恒成立，
所以，解得，
综上可得，，
所以，
令，则，
①当时，即时，当时，；
②当时，即时，当时，，
综上可得，当时，；当时，.
19．【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】(1)求出函数的导数，结合韦达定理分类讨论进行求解；
(2)根据题意结合(1)中结论，利用零点存在定理得出最大零点的大致区域，构建，利用单调性分析可得，即可得结果.
【详解】(1)由题意可知：的定义域为，且，
当或，即时，恒成立，
此时在单调递减，不合题意；
当时，在有两个不等实根，
由韦达定理知，两根之积为1
较大根为，则较小根为，
此时在，单调递减，在单调递增，
此时函数不单调，有两个极值点；
故所求实数的取值范围是.
(2)令，则，
可知在内单调递增，则，可得，
令，则，
可知在内单调递增，则，可得，
由(1)可知，当时，在，单调递减，在单调递增，
且，
又因为，且，
令，则，
所以函数在单调递减，故，
从而在有唯一零点，
即函数的最大的零点为，所以，
由(1)可知，，
所以
.
令，
则，
所以在单调递减，
当时，，即，
由(1)可知，在上单调递减，且，
因此，故.
1
2
3
4
5
21
95
109
性别
购买意愿
合计
有意愿
无意愿
男性
22
18
40
女性
48
12
60
合计
70
30
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
1
2
3
4