福建省晋江市五校联考2023−2024学年高二下学期期末联考 数学试题（含解析）

这是一份福建省晋江市五校联考2023−2024学年高二下学期期末联考 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．若复数满足，则复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
4．已知一个圆柱的高是底面半径的2倍，且其上､下底面的圆周均在球面上，若球的体积为，则圆柱的体积为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，一组数据的平均数为5，方差为，去除，这两个数据后，平均数为，方差为，则（ ）
A．，B．，C．，D．，
6．已知向量，且，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．学习涂色能锻炼手眼协调能力，更能提高审美能力.现有四种不同的颜色：湖蓝色，米白色，橄榄绿，薄荷绿，现在给小房子中的四个区域涂色，要求相邻区域不涂同一颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法.

A．108B．96C．84D．48
8．已知函数在上有且仅有一个零点，则实数的取值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的有（ ）
A．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于1
B．独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率
C．已知一组样本数据，根据这组数据的散点图分析与之间的具有线性相关关系，若求得其线性回归方程为，则在样本点处的残差为
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0. 3
10．甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以表示由甲箱中取出的是白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的球是黑球的事件，则下列结论正确的是（ ）
A．两两互斥B．
C．事件B与事件相互独立D．
11．如图，在正方体中，点在线段上运动，则（ ）

A．直线直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与所成角的取值范围是
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．展开式中含项的系数为 .
13．我校高二年级人参加了期中数学考试，若数学成绩，统计结果显示数学考试成绩在分以上的人数为总人数的，则此次期中考试中数学成绩在分到分之间的学生有 人.
14．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一个人.则4次传球的不同方法总数为 （用数字作答）；4次传球后球在甲手中的概率为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．在ΔABC中，角的对边分别为，且，．
（1）求的值；
（2）若求ΔABC的面积．
16．如图，底面是正三角形的直三棱柱中，是的中点，.
（I）求证：平面；
（II）求点到平面的距离.
17．已知函数，.
（Ⅰ）若，求的极值；
（Ⅱ）求函数的单调区间.
18．如图所示的高尔顿板，小球从通道口落下，第1次与第2层中间的小木块碰撞，以的概率向左或向右滚下，依次经过6次与小木块碰撞，最后掉入编号为1，2…，7的球槽内.

(1)若进行一次以上试验，求小球落入6号槽的概率；
(2)小明同学利用该图中的高尔顿板来到社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动，8元可以玩一次游戏，小球掉入号球槽得到的奖金为元，其中
（i）求的分布列；
（ii）很多同学参加了游戏，你觉得小明同学能盈利吗？
19．若函数满足且（），则称函数为“函数”．
(1)试判断是否为“函数”，并说明理由；
(2)函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间；
(3)在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求．
参考答案
1．【答案】C
【分析】解不等式得到，然后求交集即可.
【详解】因为，，所以.
故选C.
2．【答案】C
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可求出，再根据复数的几何意义判断即可.
【详解】因为，
则，
所以复平面内对应的点为，位于第三象限.
故选C.
3．【答案】D
【分析】利用三角函数的定义求得，结合诱导公式求得正确答案.
【详解】根据题意，所以.
故选D.
4．【答案】C
【分析】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，由题可得，进而可得，然后利用圆柱的体积公式即得.
【详解】设圆柱的底面圆半径为，高为，球O的半径为，
由题可知，解得，
则，可得，
所以.
故选C.
5．【答案】D
【分析】根据题中数据结合平均数的定义运算求解，并根据方差的意义理解判断.
【详解】由题意可得：，则，
故，
因为是波幅最大的两个点的值，则去除，这两个数据后，整体波动性减小，
所以.
故选D.
6．【答案】C
【分析】先根据条件求出，再根据投影向量的概念计算在上的投影向量.
【详解】由，得，
又，
所以在上的投影向量为：.
故选C.
7．【答案】A
【分析】分类考虑，选2种颜色，或选3种颜色，或选4种颜色涂色，计算出各种情况的涂色方法，根据分类加法计数原理，即可求得答案.
【详解】若选2种颜色，则①③同色，②④同色，共有种涂色方法；
若选3种颜色，则①③或者②④或者①④中必有两块区域同色，另两块区域不同色，共有种涂色方法；
若选4种颜色，共有种涂色方法；
故共有（种）涂色方法.
故选A.
【方法总结】解决排列组合问题的一般过程：
(1)认真审题，弄清楚要做什么事情；
(2)要做的事情是需要分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及分多少类；
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题，元素总数是多少及取出多少元素．
8．【答案】C
【分析】参变分离得到，构造，求导得到其单调性和极值情况，确定实数的取值.
【详解】因为，所以，
令，故，
令，则，
令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，且，
且趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于，
故要想函数在上有且仅有一个零点，则.
故选C.
9．【答案】BCD
【分析】对于A，根据相关系数的定义即可；对于B，根据独立性检验的定义即可；对于C，利用残差的计算公式即可；对于D，利用对数的公式，将进行转换即可.
【详解】对于A, 相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A错误；
对于B，独立性检验是在零假设之下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率，故B正确；
对于C，当时，，残差：，故C正确；
对于D，，，即，
即故D正确.
故选BCD.
10．【答案】ABD
【分析】根据条件概率、全概率公式、互斥事件的概念等知识，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A，因为每次取一球，所以是两两互斥的事件，故A项正确；
对于B，因为，，故B项正确；
对于C，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱中黑球变为5个，取出黑球概率发生变化，所以事件B与事件不相互独立，故C项错误.
对于D，又，所以，故D项正确.
故选ABD.
11．【答案】ABC
【分析】证明平面判断A；证明平面判断B；求出与所成角的范围判断C；求出点到平面的距离计算判断D作答.
【详解】在正方体中，点在线段上运动，如图，

对于A，平面，平面，则，又，
且平面，于是平面，而平面，
因此，同理，又平面，则平面，
因为平面，所以，A正确；
对于B，正方体的对角面是矩形，，平面，
平面，则平面，因此上的点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，B正确；
对于C，由选项B知，，因此异面直线与所成的角等于与所成的角，
显然是正三角形，当点与或重合时，与所成的角最小，为，
当点为线段中点时，，与所成的角最大，为，所以与所成角的范围是，C正确；
对于D，令正方体的棱长为2，则正的面积，
连接，显然点是线段的中点，则点到平面的距离
等于点到平面的距离，在三棱锥中，由，
得，即，解得，由选项B知，点到平面的距离为，
在中，点与斜边上的点的距离，
所以直线与平面所成角的正弦值，D错误.
故选ABC.
【思路导引】求空间角的最值问题，根据给定条件，选定变量，将该角的某个三角函数建立起变量的函数，求出函数最值即可.
12．【答案】
【分析】先写出的展开式通式，然后根据的次数选择对应的系数计算即可.
【详解】对于，其展开式的通式为，
则展开式中含项的系数为
故答案为：.
【思路导引】公式(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b＋Cn2an－2b2＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)中，Cnkan－kbk是展开式的第k＋1项，可记作Tk＋1＝Cnkan－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
13．【答案】
【分析】根据正态分布的对称性即可求解概率，进而可求人数.
【详解】由于正态分布曲线的对称轴为105，故，
由题意可知，
根据对称性可得，
所以数学成绩在分到分之间的学生有，
故答案为：.
14．【答案】 81 ;
【分析】先求出4次传球的方法总数，再求出4次传球后球在甲手中的方法总数，设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，依题意利用全概率公式得到，即可得到Pn−14是以为首项，为公比的等比数列，从而求出，再将代入计算可得.
【详解】由题意可知，4次传球总的传球路线种数为种，
设表示经过第次传球后球在甲手中，设次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，
所以
，
即，所以，
又，所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即，
当时.
故答案为：81 ; .
15．【答案】（1）3（2）78
【分析】（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.
【详解】（1）在中，由，得为锐角，所以，
所以，
所以.

（2）在三角形中,由，
所以， 由，
由正弦定理,得，
所以的面积.
16．【答案】（I）证明见解析；（II）.
【分析】（I）连接，交于点，利用三角形中位线性质可得，由线面平行的判定可得结论；
（II）由线面平行关系可知所求距离即为点到平面的距离，利用体积桥可构造方程求得结果.
【详解】（I）连接，交于点，连接，
四边形为平行四边形，为中点，又为中点，，
平面，平面，平面.
（II）由（I）知：平面，
点到平面的距离即为点到平面的距离；
三棱柱为直三棱柱，为等边三角形，，
，，，，，
；
，，
；
设点到平面的距离为，
则，解得：，
点到平面的距离为.
17．【答案】（Ⅰ）极大值，极小值；（Ⅱ）见解析.
【分析】（Ⅰ）将代入函数的解析式，求出该函数的定义域与导数，求出极值点，然后列表分析函数的单调性，可得出函数的极大值和极小值；
（Ⅱ）求出函数的导数为，对分、、和四种情况讨论，分析导数在区间上的符号，可得出函数的单调区间.
【详解】（Ⅰ）当时，，函数的定义域为，
，令，或.
列表如下：
所以，函数的极大值，极小值；
（Ⅱ）由题意得，
（1）当时，令，解得；，解得.
（2）当时，
①当时，即时，
令，解得或；令，解得；
②当时，恒成立，函数在上为单调递增函数；
③当时，即当时，
令，解得或；令，解得.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时，函数的单调递增区间为；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
【思路导引】本题考查利用导数求函数的极值，以及利用导数求函数的单调区间，在处理含参数的函数问题时，要弄清楚分类讨论的基本依据，结合导数分析导数符号进行求解，考查分类讨论思想的应用.
18．【答案】(1)
(2)（i）的分布列见解析，（ii）小明同学能盈利
【分析】（1）由题意，要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，代入概率公式中即可求解，
（2）（i）先求出的所有取值，得到相应的概率，进而可列出分布列；
（ii）先求出的所有取值，求出相应的概率，代入期望公式中可求出的期望，将其与8比较即可得答案.
【详解】（1）根据题意可知要使小球落入6号槽，此时小球需要在6次碰撞中向左1次，向右5次，
所以小球落入6号槽的概率为，
（2）（i）由题意得的所有取值为1，2，3，4，5，6，7，则
，，
，，
所以的分布列为
（ii）因为小球掉入号球槽得到的奖金为金为元，其中，所以有所有取值为0，5，10，15，则
，，
，，
所以，
因为，所以小明同学能盈利.
19．【答案】(1)不是“函数”，理由见解析
(2)，单调递增区间为，；
(3)
【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”；
（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；
（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分三种情况进行求解，得到.
【详解】（1）不是“函数”，理由如下：
，
，，
则，
故不是“函数”；
（2）函数满足，故的周期为，
因为，
所以，
当时，，，
当时，，，
综上：，
中，
当时，，，此时单调递增区间为，
，中，
当时，，，
则，
当，即时，函数单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调递增区间为，；
（3）由（2）知：函数在上图象为：
当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为，
当时，有6个解，由对称性可知：其和为，
当时，有8个解，其和为，
所以.
【思路导引】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.极大值
极小值
1
2
3
4
5
6
7