黑龙江省齐齐哈尔市2023−2024学年高一下学期7月期末 数学试题（含解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2023−2024学年高一下学期7月期末 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的共轭复数为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知角的终边经过点，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
3．若平行四边形的三个顶点的坐标分别为，则顶点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．一个球的体积和表面积的数值相等，则该球的半径为（ ）
A．B．C．3D．12
5．如图，若正八边形的边长为是的中点，则（ ）

A．B．C．D．
6．（ ）
A．B．1C．D．
7．如图，测量河对岸塔高时，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点和．现测得，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在三棱锥中，平面，是的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知向量，则下列说法正确的有（ ）
A．B．
C．D．共面
10．函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．在上单调递减
C．的表达式可以写成
D．若关于的方程在上有且只有4个实数根，则
11．如图，已知正方体的棱长为1，分别为棱,的中点，点在侧面内，则以下说法正确的有（ ）
A．平面
B．过点作正方体的截面，所得截面的面积是
C．点到平面的距离为
D．若平面，则点的轨迹长度为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知向量，若与垂直，则 ．
13．若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则的值可以为 ．（写出一个符合题意的值即可）
14．平行六面体中，，点为的中点，则点到直线的距离为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
16．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求角的大小；
(2)若边上的中线的长为3，求的面积．
17．如图，在平行四边形中，，与相交于点，设．

(1)用分别表示；
(2)求的余弦值．
18．已知向量，函数．
(1)求函数的周期及对称中心；
(2)若，且，求的值；
(3)将函数的图象向右平移个单位长度，然后再向下平移1个单位长度，最后使图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，横坐标不变，得到函数的图象．当时，恒成立，求实数的取值范围．
19．如图1，在直角梯形中，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点不重合），是上的动点（与点不重合）．
(1)证明：平面；
(2)若点在平面内，当最小时，求；
(3)是否存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据共轭复数的概念，即可得出答案.
【详解】根据共轭复数的概念，可知复数的共轭复数为.
故选C.
2．【答案】A
【分析】由三角函数的定义可求出的值.
【详解】由三角函数的定义可得.
故选A.
3．【答案】A
【分析】利用向量相等即可求解.
【详解】

令顶点的坐标为，又，
所以，，
如图易知，在平行四边形中，，
所以，解得，所以顶点的坐标为.
故选A.
4．【答案】C
【分析】根据球的体积及表面积公式计算即可.
【详解】设球的半径为,则,所以.
故选C.
5．【答案】A
【分析】以点A为坐标原点，分别以所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，求得相关向量的坐标，利用向量的坐标运算即可求解.
【详解】，以点A为坐标原点，分别以所在直线为x，y轴，
建立平面直角坐标系，如图所示．

正八边形内角和为，
则，所以，
所以，，，
所以，，
所以.
故选A．
6．【答案】B
【分析】根据正切的两角和差公式即可得解.
【详解】因为，
所以.
故选B.
7．【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得，由正弦定理可得，然后在中，由，即可得到结果.
【详解】在中，，
由正弦定理可得，则，
在中，.
故选C.
8．【答案】B
【分析】根据图形特征，取中点，连接，通过线面垂直的性质与判定得到平面，因而是与平面所成角，再通过相关计算，在直角三角形中计算其正弦值即可.
【详解】如图，取中点，连接，令.
因为平面，平面，
所以，
又因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又因为，所以，
因为平面，，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为平面，，
所以平面，
所以是与平面所成角，
因为，，
所以,
因为，
所以，
因为平面，平面，
所以，
所以，
所以，
由已证知，平面，
又因为平面，所以，
所以，
即与平面所成角的正弦值是.

故选B．
9．【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用空间向量运算逐项计算判断即可.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：，，故B正确；
对于C：，
，故C正确；
对于D：由选项BC知，向量两两垂直，则不共面，故D错误.
故选BC.
10．【答案】ABD
【分析】根据函数图象过，，建立方程组求出的解析式，再根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可.
【详解】由函数图象可知，，
因为在，附近单调递增，
所以，，，
又因为，所以，，
所以，故A正确；
当时，，
所以由在单调递减可知在上单调递减，故B正确；
因为，故C错误；
令得，解得或，
方程在上有且只有4个实数根，从小到大依次为，
而第5个实数根为，所以，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】AD
【分析】对于A，建立空间直角坐标系，坐标法证明即可得证；对于B，通过平行画出截面为正六边形，计算面积即可；对于C，利用向量法即可计算得到点到平面距离；对于D，通过面面平行，找到平面的交线，从而确认动点的运动轨迹，即可得解.
【详解】对于A：以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，，
则，，
，，，
所以，因为，平面，
则平面，故A正确；
对于B：作中点，的中点，的中点，
连接，，，，，
则正六边形为对应截面面积，
正六边形边长为，
则截面面积为，故B错误；
对于C：由A选项知，向量为平面的法向量，
且，，
所以到平面的距离为
，故C错误；
对于D：取中点，中点，所以相交，
所以平面平面，即平面平面，
由B选项知，当动点在上运动时，平面，总是会有平面，
所以若平面，则点的轨迹为，，
故D正确.
故选AD.
12．【答案】1
【分析】首先求出的坐标，再依题意可得，即可得到方程，解方程即可得解.
【详解】因为，所以，
又与垂直，所以，
即，
解得.
13．【答案】（填范围内任意一个实数即可）
【分析】先进行化简，再根据复数的几何意义，得到不等式，解题即可.
【详解】，由于复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则，解得.
故所求可以是范围内任意一个实数即可.
14．【答案】
【分析】选取作为空间一组基底，用基底表示，求出模，运用公式可以求解.
【详解】如图所示，根据题意，选取作为空间一组基底.
则，同理，.
，
，
；
；
；
则，
点到直线的距离.
15．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）构造平行四边形，证明，然后结合线面平行判定定理即可得证；
（2）利用线面平行，得出，从而得解.
【详解】（1）取的中点，连接
为的中点，且，
为的中点，且，
且，四边形为平行四边形，
，
又平面平面平面；
（2），
．
平面点到平面的距离等于点到平面的距离，
，
又平面.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据正弦定理将已知式子进行化简，可求出角的大小；
（2）根据为上的中线得，结合余弦定理求出，进而求出面积.
【详解】（1），由正弦定理可知，．
又，
，
又，又；
（2）为边上的中线，，
．
由余弦定理可得，即，
，．
17．【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用平面向量线性运算法则即可得解；
（2）解法1：由（1）首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得；解法2：建立坐标系，求出相应点坐标，首先求出的模长和，然后再由夹角公式计算可得.
【详解】（1）在平行四边形中，，，
又，，
，
又，，
，

过作交于，
，
，，
；
（2）解法1：
，
且在中，，
为等边三角形，，
．
解法2：如图所示建系.

则，
，
，
，
.
18．【答案】(1)，对称中心为
(2)
(3)
【分析】（1）先倍角公式和辅助角公式化简，再根据周期的计算公式以及对称中心的求法即可求解；
（2）先求得,，再将所求转化为，再结合正弦两角差公式即可求解；
（3）先求解析式，然后将恒成立问题，参变量分离后，转化为最值问题即可求解.
【详解】（1）
．
，
令，
对称中心为；
（2）由（1）知，，
，又，
，
；
（3）由（1）知，，
由题意，，
当时，，
恒成立恒成立，
．
19．【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)存在，为线段上靠近点的四等分点
【分析】（1）先用线面垂直证明线线垂直，然后利用线面垂直的判定定理即可证明；
（2）利用三点共线时最小，然后结合余弦定理即可求出最小值；
（3）建立空间直角坐标系，用参数表示点的坐标，用平面与平面的夹角余弦值建立关于参数的方程，解方程即可得解.
【详解】（1）证明：平面，
平面，平面，
，
是中点，，
平面，平面；
（2）延长至点，使得，由（1）可知，平面，又平面，
，即，
，为的垂直平分线，
，
，
当，且时，最小，
，，其中，
；
（3）假设存在点满足题意，
平面平面，
平面平面，平面，平面，
如图所示建系，
，设，
设平面法向量为，
，即，
，
又平面的法向量为，
，满足．
即此时为线段上靠近点的四等分点．