河南省漯河市2023−2024学年高一下学期期末质量监测 数学试题（含解析）

这是一份河南省漯河市2023−2024学年高一下学期期末质量监测 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则的长为（ ）

A．1B．2C．3D．4
3．三角形中，内角的对边分别为，若，则三角形的形状是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形
4．已知空间两条不同直线，两个不同平面，下列命题不正确的是（ ）
A．，则B．，，则
C．，则D．，则
5．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为，乙罐中有三个相同的小球，标号为，从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件“抽取的两个小球标号之积小于6”，则下列说法错误的是（ ）
A．事件发生的概率为B．事件相互独立
C．事件是互斥事件D．事件发生的概率为
6．已知向量，满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．B．C．D．
7．函数，则“”是“函数在上存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
8．已知O为的外心，且．若向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．1B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．复数的共轭复数
C．若角的终边经过点，则
D．函数的一个对称中心是
10．在中，，，所对的边分别是，，，，，则（ ）
A．若，则角有一个解
B．若，则边上的高为
C．的周长不可能为
D．若为锐角三角形，则面积的最值范围为
11．已知正方体的棱长为3，棱的中点分别为，点在底面正方形内（含边界），且平面平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若存在实数使得，则
B．若，则平面
C．三棱锥体积的最大值为
D．二面角的正切值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知平面向量，若向量与共线，则 .
13．某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，为了获取学生身高信息，采用男、女按比例分配分层抽样的方法抽取样本50人，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为170，方差为20，女生样本的均值为160，方差为30，据此估计该校高一年级学生身高的总体方差为 ．
14．在侧棱长为4的正三棱锥中，点为线段上一点，且，则该正三棱锥的外接球体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．设复数（其中），.
(1)若是实数，求的值；
(2)若是纯虚数，求.
16．已知三角形的内角所对的边分别为，若，且.
(1)若，求；
(2)点在边上且平分，若，求三角形的周长.
17．俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示：

(1)求样本中数据落在的频率；
(2)求样本数据的第50百分位数；
(3)若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率.
18．在四棱锥中，平面平面，E为边上一点，为中点，.
(1)求四棱锥的体积；
(2)证明:平面；
(3)证明:平面平面.
19．如图所示，设多边形的顶点均在半径为2的圆上，恰好为圆的直径，点在上，，且，设.

(1)用表示；
(2)求的最小值以及取得最小值时的值；
(3)求多边形的面积与的函数关系式，并求出的取值范围.
参考答案
1．【答案】D
【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解.
【详解】因为，所以.
故选D.
2．【答案】C
【分析】根据斜二测画法的规则可得相关线段长，将直观图复原为原图形，即可求得答案.
【详解】由题意知，,
如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形，

因为，是的中点，故，且,
故,故，
故选C.
3．【答案】A
【分析】根据余弦定理进行转化，判断三角形的形状.
【详解】由余弦定理，，
因为，所以.
故选A.
【一题多解】，由正弦定理可知，，故，即,，故三角形的形状为等腰三角形.故选A.
4．【答案】D
【分析】根据线面垂直的有关性质可判断ABC的真假，根据线面平行和面面平行的有关性质可判断D的真假.
【详解】对A：因为垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；
对B：因为，所以在平面内，存在直线，使得，又，所以，且，所以.故B正确；
对C：因为垂直于同一条直线的两个平面平行，故C正确；
对D：两个平面互相平行，与这两个平面平行的直线位置关系不能确定，故D错误.
故选D.
5．【答案】B
【分析】写出样本空间以及各个事件所包含的基本事件，结合古典概型概率计算公式、独立事件以及互斥事件的概念即可逐一判断各个选项.
【详解】从甲罐､乙罐中分别随机抽取1个小球，设甲罐中抽取小球的标号为，乙罐中抽取小球的标号为，
则的所有可能为：，共12种可能，
事件“抽取的两个小球标号之和大于5”包含的基本事件有：，共3种可能，
事件“抽取的两个小球标号之积小于6”包含的基本事件有：
，共7种可能，
对于A，事件发生的概率为，故A不符合题意；
对于BC，，而不可能同时发生，这意味着事件是互斥事件，即，
故，即事件不相互独立，故B符合题意，C不符合题意；
对于D，事件发生的概率为，故D不符合题意.
故选B.
6．【答案】A
【分析】根据向量的数量积运算律运算即可.
【详解】由题得，
所以.
故选.
7．【答案】C
【分析】首先得出“函数在上存在零点”的充要条件是的取值范围是，进一步结合必要不充分条件的定义即可得解.
【详解】设方程即方程在上存在零点，
令，显然在上单调递减，
而，所以的值域为，
所以函数在上存在零点当且仅当的取值范围是，
所以“”是“函数在上存在零点”的必要不充分条件.
故选C.
8．【答案】D
【分析】先通过条件得到三点共线，进而根据O为的外心得到，且O为斜边的中点，再利用投影向量的定义结合已知可得.
【详解】，
，即，
又O为的外心，则,
,
则
即，且O为斜边的中点，过作的垂线，垂足为，
向量在向量上的投影向量为，
，
.
故选D.
9．【答案】BCD
【分析】选项A，利用复数的定义，即可求解；选项B，利用共轭复数的定义，即可求解；选项C，根据条件，利用三角函数的定义，即可求解；选项D，利用的性质，求出函数的对称中心，即可求解.
【详解】对于选项A，因为复数的虚部为，所以选项A错误，
对于选项B，因为复数的共轭复数为，所以选项B正确，
对于选项C，因为角的终边经过点，得到，所以选项C正确，
对于选项D，由，得到，取，
得到函数的一个对称中心是，所以选项D正确，
故选BCD.
10．【答案】BD
【分析】利用正弦定理可判断A选项，结合向量数量积公式及三角形面积可判断B选项，利用正弦定理与周长及面积公式结合三角函数求值域可判断D选项.
【详解】A选项，由正弦定理，即，则，又，故有两个解，A选项错误；
B选项，由，即，所以()，即，解得，B选项正确；
C选项，由正弦定理，即，，
的周长为，又，即，故，又，故C选项错误；
D选项，的面积，为锐角三角形，则，即，，D选项正确；
故选BD.
11．【答案】ABD
【分析】做辅助线，根据面面平行分析可知由面面平行的性质可知点线段.对于A：根据向量的线性关系分析判断；对于B：根据面面平行的性质可得，即可得结果；对于C：根据垂直分析可知以为底面的三棱锥的体积最大值为，进而可得结果；对于D：根据平行的性质可知二面角等于二面角，结合二面角的定义运算求解.
【详解】分别取的中点，连接，
可知，，因为，则，
同理可得，，可知六点共面，平面即为平面，
又因为，平面，平面，得平面，同理平面，
且，平面，所以平面平面，
又因为点在底面正方形内（含边界），由面面平行的性质可知点线段.
对于A：若存在实数使得，可知三点共线，则点即为点，为的中点，所以，正确；
对于B：若，可知点即为点，
因为平面平面，且平面平面，平面平面，得，
又平面，平面，所以平面，即平面，正确；
对于C：因为平面，平面，则，又为正方形，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，同理，
且，平面，可得平面，
结合正方体的对称性可知：正方体中点到平面的距离最大，
可知在正方体内，以为底面的三棱锥的体积最大值为，
可得，
所以三棱锥体积的最大值不为，错误；
对于D：设，连接，
因为平面平面，可知二面角等于二面角，
因为，且为的中点，则，
可知二面角的平面角为，
因为，则，
所以二面角的正切值为，正确；
故选ABD.
【关键点拨】对于选项D，立体几何求角度问题，常常利用平行的性质进行转化，把复杂的线面关系转化为简单的线面关系，进而求解.
12．【答案】/
【分析】由向量共线可列关于的方程，进而求解.
【详解】平面向量，若向量与共线，则，解得.
故答案为：.
13．【答案】48
【分析】根据分层抽样的均值和方差的计算公式计算即可.
【详解】由题意，某校有高一学生1000人，其中男生600人，女生400人，
可得总体的均值为，
总体的方差为.
故答案为：48.
14．【答案】
【分析】取中点，连接、，只需证明、、两两垂直即可求得正三棱锥的外接球的半径，进一步即可得解.
【详解】
取中点，连接、，则有，，
又，、平面，故平面，
又平面，故，又，
，、平面，故平面，
又、平面，故，，
由正三棱锥的性质可得、、两两垂直，
正三棱锥的外接球的半径为，
所以正三棱锥的外接球体积为.
故答案为：.
15．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题知为实数，所以，求得，再进行复数的乘法运算即可；
（2）由题知为纯虚数，所以，求得，再根据复数的模长公式计算即可.
【详解】（1）由已知，
是实数，
，即，
.
（2），
由于是纯虚数，，解得，
则.
.
16．【答案】(1)
(2)6
【分析】（1）利用正、余弦定理进行边角转化，即可求B，进而可得结果；
（2）利用面积关系可得，结合列式求解即可.
【详解】（1）由正弦定理可知，
则.
可得，整理可得.
由余弦定理知，
且，可得，
由知.
可知为直角三角形，所以.
（2）点在边上且平分，可知，
则，
即，可得.①
又因为，即，可得.②
①代入②得到，解得或（舍去），
所以的周长为.
17．【答案】(1)0.4
(2)52.5
(3)
【详解】（1）由频率分布直方图可得：组距为10，所以：
，
得：，故样本中数据落在的频率为：.
（2）设第50百分位数为，易得位于50和60之间，
则有：
解得：.
（3）分组人数为：人；
分组人数为：人，
利用分层抽样的方法易得：
分组抽人，
分组抽人，
从这6人中随机抽取2人进行座谈，抽取的2人中至少有1人的年龄在分组，即：
2人中有1人的年龄在分组，另1人的年龄在分组；2人的年龄都在分组，
故抽取的2人中至少有1人的年龄在这一组的概率为：.
18．【答案】(1)3
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）证明平面以及求出四边形的面积即可根据锥体体积公式求解；
（2）取中点，连接，利用平行四边形证明即可得证；
（3）证明平面，再结合面面垂直判定定理即可得证.
【详解】（1），
且，
又，
由余弦定理得，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
连接为等边三角形，
，
为直角三角形，
，
（2）取中点，为中点，
为中位线，，且，
又，且，
，且，四边形为平行四边形，
，又平面平面，
平面，
（3）由（2）得四边形为平行四边形，为的中点，
，又，
，在中，为中点，
，平面平面，
平面，又平面，
平面⊥平面.
19．【答案】(1)
(2)最小值4，
(3)，
【分析】（1）由题意得，结合数量积的运算律、定义即可求解；
（2）由（1）中结论得出表达式，结合基本不等式即可求解；
（3）由，用表示出各个线段长即可得表达式，进一步通过换元法结合二次函数性质即可求解.
【详解】（1）

连接，因为，
所以，所以，同理，
又因为，所以.
如图，
.
（2）在中，，所以
当且仅当，即时取等号；
因为，所以，所以.
（3）在直角三角形中，，
所以，所以，
所以
，
令，则，且，
所以，
此函数在上单调递增，
当，即时，，
代入得到，
所以多边形的面积的取值范围是.
【关键点拨】第三问的关键是得到，由此即可顺利得解.