江西省宜春市丰城市东煌学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份江西省宜春市丰城市东煌学校2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）已知向量，，那么＝（ ）
A．5B．C．8D．
3．（5分）已知m、n是平面α内的两条直线，则“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，计算该扇形弧长的近似值为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）复数（1+i）i的虚数部分为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
6．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图（ ）
A．8cmB．6cmC．2+3cmD．2+2cm
7．（5分）△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且，则A的值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1＝1，，，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
二、多选题
（多选）9．（5分）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线
D．若，满足，且与同向，则
（多选）10．（5分）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
（多选）11．（5分）已知复数z＝1+i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数是1﹣iB．z的虚部是i
C．D．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点E，F分别是棱AD1的中点，M是棱AB上的动点，则（ ）
A．直线CC1与BF所成角的正切值为
B．直线EF∥平面ABC1D1
C．平面EFM⊥平面A1B1CD
D．B1到直线EF的距离为
三、填空题
13．（5分）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2 ．
14．（5分）已知，，且，则非零向量的坐标为 ．
15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝21＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为 ．
16．（5分）函数f（x）＝的值域为 ．
四、解答题
17．（10分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE．求：
（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长；
（2）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
18．（12分）已知复数z＝m+2i是方程x2﹣6x+13＝0的一个虚根（i是虚数单位，m∈R）．
（1）求|z|；
（2）复数z1＝a﹣i，若为纯虚数，求实数a的值．
19．（12分）已知向量＝（3，2），＝（x，﹣1）．
（1）若（+2）⊥（2﹣），求实数x的值；
（2）若＝（﹣8，﹣1），∥（），求向量与的夹角θ．
20．（12分）已知．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c（A）＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
21．（12分）如图（1），六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折（2）所示，且∠AEC＝90°．
（1）求证：CD⊥平面ADEF．
（2）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值．
22．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
（1）求角A的大小；
（2）如图，若△ABC为锐角三角形，且其面积为，且，，点G为△ABC重心，求线段GP的取值范围．
2023-2024学年江西省宜春市丰城市东煌学校高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）已知，则sin2α＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二倍角的正弦公式和sin2α+cs2α＝1将sin2α变成，然后代入tanα＝即可求出答案．
【解答】解：∵，
∴＝．
故选：B．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
2．（5分）已知向量，，那么＝（ ）
A．5B．C．8D．
【分析】通过向量的坐标运算以及向量的模的求法，求解即可．
【解答】解：向量，，那么，﹣2）|＝．
故选：B．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是基础题．
3．（5分）已知m、n是平面α内的两条直线，则“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】根据线面垂直的判定与性质定理即可判断出结论．
【解答】解：由m、n是平面α内的两条直线，反之不成立．
∴“直线l⊥m且l⊥n”是“l⊥α”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）我国北宋时期科技史上的杰作《梦溪笔谈》收录了计算扇形弧长的近似计算公式：，公式中“弦”是指扇形中圆弧所对弦的长，“矢”是指圆弧所在圆的半径与圆心到弦的距离之差，已知扇形的面积为，扇形所在圆O的半径为2，计算该扇形弧长的近似值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据扇形的面积公式可得圆心角大小，进而根据弧长的近似计算公式即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角为α，
由扇形面积公式可知，所以，
如图，取的中点C，交AB于点D，
则OC⊥AB．易知，则，
所以CD＝2﹣1＝8，，，
所以扇形弧长的近似值为＝AB+＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，考查了扇形弧长的近似计算公式，属于基础题．
5．（5分）复数（1+i）i的虚数部分为（ ）
A．1B．﹣1C．iD．﹣i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：∵（1+i）i＝﹣1+i，
∴复数（6+i）i的虚数部分为1．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
6．（5分）如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图（ ）
A．8cmB．6cmC．2+3cmD．2+2cm
【分析】判断水平放置的平面图形的直观图的圆图形，求出边长即可求解周长．
【解答】解：正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图是平行四边形，相邻边长为：1和，
原图的周长是：8．
故选：A．
【点评】本题考查平面图形的直观图的画法，边长的求法，考查计算能力．
7．（5分）△ABC的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，且，则A的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知应用正弦定理、三角形内角性质求A的值．
【解答】解：由正弦定理知：，则，
因为A∈（3，π），
所以或，又A+B＜π，
故．
故选：B．
【点评】本题考查正弦定理的运用，考查运算能力，属于基础题．
8．（5分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，棱柱的侧面均为矩形，AA1＝1，，，P是A1B上的一动点，则AP+PC1的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【分析】连接BC1，得△A1BC1，以A1B所在直线为轴，将△A1BC1所在平面旋转到平面ABB1A1，设点C1的新位置为C′，连接AC′，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC′即可．
【解答】解：连接BC1，得△A1BC4，以A1B所在直线为轴，将△A1BC5所在平面旋转到平面ABB1A1，
设点C2的新位置为C′，连接AC′1＝AP+PC′≥AC′，
当A，P，C′三点共线时1的最小值．
在三角形ABC中，，，
由余弦定理得：，
所以A1C1＝4，即A1C′＝2，
在三角形A4AB中，AA1＝1，，
由勾股定理可得：，且∠AA1B＝60°．
同理可求C4B＝2，因为A1B＝BC3＝A1C1＝4，
所以△A1BC1为等边三角形，所以∠BA2C1＝60°，
所以在三角形AA1C′中，∠AA5C′＝∠AA1B+∠BA1C′＝120°，AA7＝1，A1C′＝5，
由余弦定理得：．
故选：D．
【点评】本题主要考查了空间距离的求解，属于中档题．
二、多选题
（多选）9．（5分）已知平面向量、、，下列四个命题不正确的是（ ）
A．若，则
B．单位向量都相等
C．方向相反的两个非零向量一定共线
D．若，满足，且与同向，则
【分析】根据向量的定义和性质，逐项判断正误即可．
【解答】解：对于A，若，则，故A正确；
对于B，单位向量的模为3，故B错误；
对于C，方向相同或相反的两个非零向量为共线向量；
对于D，向量之间不能比较大小，故D错误．
故选：BD．
【点评】本题主要考查向量相等的概念，属于基础题．
（多选）10．（5分）已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据向量的线性运算和向量的模的计算可得选项．
【解答】解：，
所以，所以，
所以，故A正确；
，，
则，，，
所以，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查向量的线性运算和向量的模的计算，是基础题．
（多选）11．（5分）已知复数z＝1+i，则下列说法正确的是（ ）
A．z的共轭复数是1﹣iB．z的虚部是i
C．D．
【分析】根据复数的相关概念与运算逐项分析判断．
【解答】解：对于选项A：z的共轭复数是，故A正确；
对于选项B：z的虚部是1，故B错误；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
（多选）12．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，点E，F分别是棱AD1的中点，M是棱AB上的动点，则（ ）
A．直线CC1与BF所成角的正切值为
B．直线EF∥平面ABC1D1
C．平面EFM⊥平面A1B1CD
D．B1到直线EF的距离为
【分析】把直线CC1与BF所成的角，转化为直线BB1与BF所成的角，在直角△BFN中，求得所成的角的正切值为，可判定A不正确；由EF∥AD1，利用线面平行的判定定理，证得EF∥平面ABC1D1，可判定B正确；由 AD1⊥平面A1B1CD，得到EF⊥平面A1B1CD，结合面面垂直的判定定理，可判定C正确；设A1D∩EF＝O，证得EF⊥B1O，得到B1O即为点B1到直线EF的距离，在直角△A1B1O中求得B1O，可判定D正确．
【解答】解：对于A中，在正方体ABCD﹣A1B1C8D1中，可得CC1∥BB7，
所以异面直线CC1与BF所成的角，即为直线BB1与BF所成的角，设∠FBB7＝θ，
取BB1的中点N，连接B1F和FN，
在直角△BFN中，，即异面直线CC1与BF所成的角的正切值为，所以A不正确；
对于B中，因为点E，DD1的中点，可得EF∥AD2，
又因为EF⊄平面ABC1D1，AD7⊂平面ABC1D1，所以直线EF∥平面ABC8D1，所以B正确；
对于C中，在正方体ABCD﹣A1B8C1D1中，可得AD8⊥平面A1B1CD，
因为EF∥AD3，所以EF⊥平面A1B1CD，
又因为EF⊂平面EFM，所以平面EFM⊥平面A6B1CD，所以C正确；
对于D中，设A1D∩EF＝O，因为EF⊥平面A6B1CD，且B1O⊂平面A7B1CD，
可得EF⊥B1O，所以B6O即为点B1到直线EF的距离，
在直角△A1B7O中，，
所以，
即B1到直线EF的距离为，所以D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了线面平行和面面垂直的判定，考查了求异面直线所成的角，以及求点到直线的距离公式，属于中档题．
三、填空题
13．（5分）已知正四棱台的上底边长为2，下底边长为4，侧棱长为2 ．
【分析】在正四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，分别取上下底面的中心O1、O，过点A1作A1H⊥AO，利用勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，在正四棱台ABCD﹣A1B1C7D1中，分别取上下底面的中心O1、O，有，
过点A1作A6H⊥AO，垂足为H1O1＝，
在Rt△A1HA中，，故正四棱台的高为．
故答案为：．
【点评】本题考查了正四棱台高的计算，属于基础题．
14．（5分）已知，，且，则非零向量的坐标为 （﹣2，﹣4） ．
【分析】由已知可设（λ≠0），求出的坐标，再由列式求得λ值，则答案可求．
【解答】解：∵非零向量满足，且，
可设（λ≠0），则，
由，得，
得5λ2+10λ+5＝4，即λ＝0（舍去）．
则＝（﹣2．
故答案为：（﹣4，﹣4）．
【点评】本题考查平面向量共线定理的应用，考查向量模的求法，是基础题．
15．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝21＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为 ．
【分析】根据线面角的定义结合勾股定理和正切的定义即可得到答案．
【解答】解：因为AA1⊥面ABCD，AC⊂面ABCD1⊥AC，
所以直线A8C与平面ABCD所成角即为∠ACA1，
因为AB＝1，BC＝3，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查线面角的计算，属于基础题．
16．（5分）函数f（x）＝的值域为 ．
【分析】通过平方关系式化简sinxcsx为（1+sinx+csx）（sinx+csx﹣1），然后化简函数的表达式，通过两角和的正弦函数，以及正弦函数的有界性，求出函数的值域．
【解答】解：∵sinxcsx
＝[（sinx+csx）8﹣1]
＝（1+sinx+csx）（sinx+csx﹣1）
∴y＝
＝
＝（sinx+csx﹣1）
又2+sinx+csx≠0即sinx+csx≠﹣1
且sinx+csx＝sin（x+]．
∴函数f（x）＝的值域为：．
故答案为：．
【点评】本题是中档题，考查三角函数的化简求值，两角和的正弦函数的应用，考查计算能力．
四、解答题
17．（10分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE．求：
（1）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长；
（2）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的表面积．
【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；
（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积．
【解答】解：（1）由题意BE＝EC＝1，DE＝AE＝2×sin60°＝，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，
又BC⊂面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD＝，
又D是CC1的中点，故侧棱长为8；
（2）底面积为S1＝3S△ABC＝2×2×＝52＝4＝5×2×2．
所以棱柱表面积为S＝S1+S2＝12+2．
【点评】本题主要考查了正三棱柱的结构特征，属于基础题．
18．（12分）已知复数z＝m+2i是方程x2﹣6x+13＝0的一个虚根（i是虚数单位，m∈R）．
（1）求|z|；
（2）复数z1＝a﹣i，若为纯虚数，求实数a的值．
【分析】（1）根据已知条件，结合韦达定理，以及共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；
（2）根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
【解答】解：（1）z＝m+2i是方程x2﹣7x+13＝0的一个虚根，
则也是方程x7﹣6x+13＝0的一个虚根，
故，解得m＝3，
z＝6+2i，
所以|z|＝；
（2）z5＝a﹣i，
则＝＝＝，
∵为纯虚数，
∴，解得a＝．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
19．（12分）已知向量＝（3，2），＝（x，﹣1）．
（1）若（+2）⊥（2﹣），求实数x的值；
（2）若＝（﹣8，﹣1），∥（），求向量与的夹角θ．
【分析】（1）根据题意，求出+2和2﹣的坐标，由向量垂直的判断方法可得（+2）•（2﹣）＝（3+2x）（6﹣x）＝0，解可得答案；
（2）根据题意，求出+的坐标，由向量平行的坐标表示方法可得关于x的方程，解可得x的值，即可得的坐标，进而求出csθ的值，分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，向量，2），，﹣1），
则+5，0），2﹣，4），
若（+2﹣），则（）•（2﹣，
解可得：x＝﹣或6，
（2）根据题意，+＝（x﹣2，
若∥（），
解可得x＝5，则＝（5，
csθ＝＝＝，
又由7≤θ≤π，则θ＝．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
20．（12分）已知．
（1）若，求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c（A）＝2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）＝2sin（2x+）+1，由题意可求，利用正弦函数的性质即可求解f（x）的值域．
（2）由（1）可得，可求，解得，利用三角形的面积公式可求bc的值，利用余弦定理可求b+c的值，即可得解△ABC的周长．
【解答】解：（1）由题意，
＝2cs6x+sin2x
＝7cs2x﹣1+sin2x+1
＝cs8x+sin2x+2
＝2sin（2x+）+1，
当x时，可得，
所以﹣＜sin（2x+，
所以f（x）＝2sin（2x+）+1∈（0，
所以函数f（x）的值域为（8，3]．
（2）由（1）可得 ，
所以，
因为A∈（0，π），
所以，解得，
又由，可得bc＝8，
由余弦定理得a2＝b6+c2﹣bc＝（b+c）2﹣4bc＝（b+c）2﹣24，
因为a＝6，
所以，
所以△ABC的周长为．
【点评】本题考查了三角函数恒等变换，正弦函数的性质，三角形的面积公式以及余弦定理的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
21．（12分）如图（1），六边形ABCDEF是由等腰梯形ADEF和直角梯形ABCD拼接而成，且∠BAD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝4，沿AD进行翻折（2）所示，且∠AEC＝90°．
（1）求证：CD⊥平面ADEF．
（2）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值．
【分析】（1）根据题意可证明CD⊥ED，CD⊥AD，然后证明CD⊥平面ADEF即可；
（2）根据垂直关系可得∠CED就是二面角C﹣AE﹣D的平面角，进而可得结果．
【解答】解：（1）证明：在等腰梯形ADEF中，作EM⊥AD于M，
则，可得，
连接AC，则，
因为∠AEC＝90°，可得，
由ED2+DC2＝EC4，可得CD⊥ED，
且CD⊥AD，AD∩ED＝D，ED⊂平面ADEF，
所以CD⊥平面ADEF．
（2）由（1）可知CD⊥平面ADEF，且AE⊂平面ADEF，
且CE⊥AE，CE∩CD＝C，CD⊂平面CDE，
且DE⊂平面CDE，可得AE⊥DE，
又AE⊥CE，可知∠CED就是二面角C﹣AE﹣D的平面角，
在Rt△CDE，可得，
所以二面角C﹣AE﹣D的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定以及二面角的计算，属于中档题．
22．（12分）在△ABC中，a，b，c，分别是角A，B，C的对边；②两个条件中任选一个，解决以下问题：
（1）求角A的大小；
（2）如图，若△ABC为锐角三角形，且其面积为，且，，点G为△ABC重心，求线段GP的取值范围．
【分析】（1）若选①，先由正弦定理的边角互化，然后结合余弦定理即可得到结果；
若选②，先由正弦定理的边角互化，再结合二倍角公式，即可得到结果．
（2）用作为平面内的一组基底表示出，再根据平面向量共线定理及推论表示出，即可表示，利用面积公式求出bc＝2，再由三角形为锐角三角形求出b的取值范围，最后根据数量积的运算律及对勾函数的性质计算可得．
【解答】解：（1）若选①，因为，
由正弦定理可得，，
化简可得a2＝b2+c4﹣bc，
又因为a2＝b2+c7﹣2bccsA，
则，故．
若选②，因为，
由正弦定理可得，，
且sinC≠0，则，且，
所以，其中，
所以，则．
（2）由题意可得，
所以＝，
因为C、N、P三点共线，
同理M、B、P三点共线，
则，解得，
所以，
则＝（2﹣），
因为，所以bc＝2，
又因为△ABC为锐角三角形，
当C为锐角，则，
即，
即，所以b＞5；
当B为锐角，则，即＝c3﹣bc＞3，
则2c＞b，即，所以0＜b＜2；
综上可得3＜b＜2，
又因为，
则＝4+＝，
因为1＜b＜7，则1＜b2＜6，
且在（1，f（1）＝13，
所以f（x）∈（6，13），即，
所以，
即线段GP的取值范围是（，）．
【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算问题，属于中档题．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/26 12:38:12；用户：语数外；邮箱：15290311958；学号：48861359