青海省海东市2024−2025学年高三下学期5月模拟预测 数学试题（含解析）

这是一份青海省海东市2024−2025学年高三下学期5月模拟预测 数学试题（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若复数，则（ ）
A．2B．C．D．
2．现有一组数据1.3，1.2，1.2，1.4，1.6，1.3，1.1，则这组数据的分位数为（ ）
A．1.2B．1.3C．1.4D．1.6
3．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
4．若小林某天选择自驾、乘坐地铁去上班的概率分别为0.8，0.2，且自驾、乘坐地铁去上班不迟到的概率分别为0.7，0.9，则小林这天去上班不迟到的概率为（ ）
A．0.82B．0.74C．0.86D．0.78
5．已知函数，若数列满足，则是（ ）
A．等差数列B．等比数列C．递减数列D．常数列
6．定义：，其中为向量的夹角.若，则（ ）
A．8B．16C．D．
7．已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于异于左、右顶点的两点.若是以为斜边的直角三角形，且，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．设公比为的等比数列的前项和为，若，，则（ ）
A．B．
C．或D．为递增数列
10．已知函数的最小正周期为12，且其图象与y轴交于点，则（ ）
A．
B．
C．图象的对称轴方程为
D．在上的值域为
11．对于任意的，函数满足，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
12．的展开式中含的项的系数为 .
13．已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为 .
14．《九章算术•商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为 .
四、解答题
15．已知的内角的对边分别为，.
（1）证明：是与的等差中项；
（2）若，且，求的值.
16．在三棱台中，底面，底面是以为斜边的等腰直角三角形，，为的中点.
（1）证明：；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
17．正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.
（1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求；
（2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望.
18．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围，并证明.
19．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形称为阿基米德三角形.已知抛物线的焦点为，（与不关于轴对称）是上两点，且三点共线，为阿基米德三角形，是抛物线在弦两端点处的两条切线的交点.
（1）证明：点在的准线上；
（2）证明：；
（3）已知为坐标原点，与弦交于点，求的最小值.
（附：抛物线以点为切点的切线方程为）
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】从小到大排序：1.1 1.2 1.2 1.3 1.3 1.4 1.6，
，
所以第60百分位数为第五个数1.3，
故选B
3．【答案】B
【详解】由题意得，所以.
故选B.
4．【答案】B
【详解】根据题意可得小林这天去上班不迟到的概率为.
故选B.
5．【答案】A
【详解】由，得，
因为函数在上单调递增，所以，，所以是等差数列.
故选A.
6．【答案】B
【详解】 因为，所以.
故选B.
7．【答案】D
【详解】
设，则，，
所以，解得，
则，.
在中，，即，
解得.
故选D.
8．【答案】C
【详解】 ，
由，得，则，
.
故选C.
9．【答案】BCD
【详解】，，
所以，解得或，A错误；
当时，，，，；
当时，，，，.
综上可得是递增数列，BCD正确.
故选BCD.
10．【答案】BCD
【详解】由，得，B正确；
，得.因为，所以，A错误；
，令，得，
则图象的对称轴方程为，C正确；
由，得，，则，D正确；
故选BCD.
11．【答案】ACD
【详解】令，得，解得，故A正确；
令，得，即，
因为，，所以，故B错误；
因，则，
令，则，故C正确；
又，，
则，故D正确．
故选ACD
12．【答案】
【详解】的通项公式，
令得，
所以展开式中含的项的系数为.
13．【答案】
【详解】双曲线的右焦点，
设的左焦点为，则，
因为是右支上一点，所以，
所以，
当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为.
14．【答案】
【详解】
由题意，则，令，
由，得，
堑堵体积，
当且仅当，即时取等号.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）由，得，
即，所以，即，
所以是与的等差中项.
（2）由，得.
若，则由（1）可得，所以，，
则，
因为，所以.
故.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）取的中点，连接，.
在三棱台中，，因为，
所以，，所以四边形为平行四边形，则.
因为底面，所以底面，
又底面，所以.
因为为的中点，所以，
因为底面是以为斜边的等腰直角三角形，
所以，所以.
因为，平面，平面，
所以平面.
因为面，所以.
（2）以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
根据题意不妨设，则，，，
则，.
设是平面的法向量，
由取.
同理可得是平面的一个法向量，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为.
17．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）.
（2）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，
记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，，
，
则的分布列为：
则.
18．【答案】（1）答案见解析
（2），证明见解析
【详解】（1）因为，所以.
当时，，所以在上单调递增；
当时，由，得，
因为在上，，在上，，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
综上，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）有两个零点，不妨设，
由（1）得，且，解得，即a的取值范围是.
由，，可得，即，
所以.
要证，需证，令，即证.
设，则，即在上单调递减，
所以，即得.
19．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）设，，因为三点共线，所以AB的方程为.
联立得，所以.
以A为切点的切线方程为，以B为切点的切线方程为，
两切线方程联立可得，
所以交点在的准线上.
（2）将代入，可得.
因为，所以，则点P的坐标为.
焦点，则，
所以，故.
（3）由（2）可知，所以.
由于抛物线的对称性，可令，
所以
，当且仅当时，等号成立.
因为与互补，所以，
故的最小值为.
0
100
200
P