湖南省十三市州2025届初中学业水平考试阶段性检测模拟（一）数学试卷(含解析)

这是一份湖南省十三市州2025届初中学业水平考试阶段性检测模拟（一）数学试卷(含解析)，共19页。
1．作业时量120分钟，满分120分．
2．请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上．
3．请你在答题卡上作答，答在本卷上无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】C
解：由题意得
，
最小，
故选：C．
2. 下列有关学科的图标中（不含文字），是中心对称图形的是（ ）
A. 地理B. 生物
C. 物理D. 化学
【答案】B
解：A．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．原图是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意，
故选：B．
3. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，呈榫卯结构，有利于未来拼装建造月球基地．如图是“月壤砖”的示意图，其左视图为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：根据题中“月壤砖”示意图，可知其左视图为
故选：．
4. 用反证法证明“如果，则”是真命题时，应假设（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：反证法证明“若，则”时，假设，
故选：B
5. 长沙约有2400年建城史，是楚文明和湘楚文化的发源地，境内历史名迹颇多．小明一家准备在岳麓书院、天心阁、橘子洲头、开福寺中随机选择一处游玩，则选到“橘子洲头”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中恰好选中“橘子洲头”的结果有1种，
∴恰好选中选到“橘子洲头”的概率是；
故选：C．
6. 将点向右平移3个单位长度得点Q，点Q刚好落在y轴上，则点P的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解：由题意，即，
∵点Q在y轴上，
，
，
，
故选：B．
7. 翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形中，，，的度数为（ ）．

A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°
【答案】D
解：如图：∵矩形中，
∴,
∵，
∴,
∴,
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴．
故选D．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．
8. 如图，在 中，点分别在的边上，且，的中线交于点G．若四边形的面积与的面积相等，，则的长为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
解：∵与四边形的面积相等，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∵，
，
∴，
∵
∴
∴，
故选：B．
9. 力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（ ）
A. 减小了B. 增大了C. 减小了D. 增大了
【答案】A
解：一定，
结合图象可知，即，
当压强为40时，有，解得，
当压强为60时，有，解得，
，
压强由40增压至60，则物体受力面积减小了，
故选：A．
10. 二位同学在研究函数（a为实数，且）时，甲发现当时，函数图象的顶点在第四象限；乙发现方程必有两个不相等的实数根．则（ ）
A. 甲、乙的结论都错误B. 甲的结论正确，乙的结论错误
C. 甲、乙的结论都正确D. 甲的结论错误，乙的结论正确
【答案】A
解：∵，
∴，
∴函数与x轴的两个交点的横坐标分别为和，
由二次函数的对称性可知：函数顶点的横坐标为：，
∵，∴，
∴，
∴函数的顶点不一定在第四象限，故甲同学的结论不正确；
∵，
∴，且，
其判别式，
∴方程必有两个实数根，
故甲同学结论不正确，乙同学结论不正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11. 若，则代数式的值为______________．
【答案】2025
解：．
故答案为2025．
12. 为响应习近平总书记“坚决打赢关键核心技术攻坚战”的号召，某科研团队最近攻克了12nm的光刻机难题，其中1nm＝0.000000001m，则12nm用科学记数法表示为______m．
【答案】
解：∵1nm=0.000000001m=1×10−9m
∴12nm=1.2×10−8m
故答案为：1.2×10−8．
13. 冰裂纹是我国古典园林的铺装纹样之一，被广泛的应用于建筑装饰．图2是从图1中提取的多边形，则这个多边形的内角和是______．．
【答案】##720度
解：这个多边形为六边形，它的内角和为：．
故答案为：．
14. 一双好眼睛，能更好地探索未来．央视青少年爱眼护眼公益广告——《好视力，好未来》中提到：航天员需要裸眼视力不低于，特警需要裸眼视力不低于，射箭运动员需要裸眼视力不低于，船长需要裸眼视力不低于．数据的中位数是_____________．
【答案】
解：将这组数据从小到大排列为：4.8；4.8；5.0；5.0，
所以中位数为：，
故答案为：．
15. 定义新运算：对于任意实数a，b都有：a⊕b=a（a﹣b）+1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣5，那么不等式3⊕x＜13的解集为 ________.
【答案】x＞﹣1
解：3⊕x＜13，
3（3-x）+1＜13，
解得：x＞-1．
故答案：x＞﹣1 ．
16. 如图所示的扇形中，若，，的长为40，则的长为____________．
【答案】120
解：设扇形圆心角度数为，
∵ ，，
∴在扇形中，，
解得：，
∴在扇形中，，
；
故答案为：120．
17. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，固定点，，把正方形沿箭头方向推，使点落在轴正半轴上的点处，此时，则点的对应点的坐标为________________．
【答案】
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴点的坐标为，
故答案为：．
18. 在欧几里得的《几何原本》中，形如关于的一元二次方程的图解法是：如图1，作，其中，，，在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．根据上述图解法作出关于的一元二次方程的图解，如图2，若，则的值为______．
【答案】6
解：∵，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】2
解：原式
．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】；
解：
，
当时，原式．
21. 2025年中央广播电视台春节联欢晚会，作为春节申遗成功后的首届春晚，整场晚会以“已已如意，生生不息”为主题，充分展示中华优秀传统文化的隽永魅力．为了解某校九年级学生春晚观看方式（A：平板观看；B：手机观看；C：电视观看；D：其他方式或没有观看），小明随机统计了部分学生的春晚观看方式，并绘制成如下统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）这次随机抽取的学生共有________人，并将条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中“手机观看”所对应扇形的圆心角角度为________；
（3）该校九年级共有学生900人，请估计这次九年级学生用电视观看春晚的学生约有多少人？
【答案】（1）40，见解析
（2）
（3）225人
【小问1详解】
这次随机抽取的学生总人数：（人），
“电视观看”的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
【小问2详解】
B“手机观看”所占圆心角，
故答案为：；
【小问3详解】
这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生约有（人），
答：这次九年级学生用“电视观看”春晚的学生为225人．
22. 如图，在矩形中，是对角线的中点．
（1）用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）在（）的条件下，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）作图见解析
（2）证明见解析
【小问1详解】
解：如图所示，直线即为所求；
【小问2详解】
证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形．
23. 湖南茶陵是中华茶文化的发源地之一，茶陵县也是中国历史上唯一以茶命名的行政县，相传炎帝神农氏在这里发现了茶，并被称为“茶祖”，湖南不仅在茶文化上有重要地位，其茶叶品种也非常丰富，其所产的君山银针和古丈毛尖更是享誉全国，某茶庄主要经营的茶类有君山银针和古丈毛尖，其中君山银针卖得比较好的是A规格的，古丈毛尖卖得比较好的是B规格的，它们的进价和售价如下表：
该茶庄计划购进这两种规格的茶共100斤．
（1）若该茶庄购进这两种规格的茶共花费29600元，求该茶庄购进A，B两种规格的茶各多少斤？
（2）根据市场销售分析，A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍．问：该茶庄如何进货才能使本次购进的茶全部销售完获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤；
（2）该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
【小问1详解】
解：设该茶庄购进A规格的茶x斤，购进B规格的茶y斤，根据题意得．
根据题意，得
解得
答：该茶庄购进A规格的茶60斤，B规格的茶40斤．
【小问2详解】
设该茶庄购进A规格的茶m斤，则购进B规格的茶斤．
因为A规格茶的进货量不低于B规格茶进货量的3倍，
所以，
解得．
设该茶庄本次购进的茶全部销售完获得的利润为W元．
根据题意，得．
因为，
所以w随m的增大而减小．
又，
所以当时，w取得最大值，最大值为．
此时．
答：该茶庄购进A规格的茶75斤，B规格的茶25斤时，全部销售完获得的利润最大，最大利润是5500元．
24. 老旧小区改造，一头连着民生福祉，一头连着城市发展，不仅是城市更新的重要内容，更承载着人民对美好生活的向往．某位“综合与实践”小组的同学从安全性及适用性出发，对附近一所小区的一段斜坡进行调研．为提升运用数学知识解决实际问题的能力，该小组同学把斜坡安全改造”作为一项课题活动，在老师的带领下利用课余时间进行实地测量，如下为活动报告．
请根据活动报告，解答下列问题：
（1）求改造后斜面底部延伸出来的部分的长度；
（2）求改造这段斜坡需要多少立方米的混凝土材料？（结果保留根号）
【答案】（1）改造后斜面底部延伸出来的部分的长度为米．
（2）改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料．
【小问1详解】
解：如图，过点A作，交的延长线于点H，
在中，米，
（米），（米），
在中，，
（米）,
米．
答：改造后斜面底部延伸出来的部分BE的长度为米；
【小问2详解】
解：平方米，
立方米．
答：改造这段斜坡需要立方米的混凝土材料．
25. 综合探究
如图（1），在矩形中，，E是的中点，与关于对称，连接．
（1）求证：．
（2）以为直径作．
①如图（2），过点F作于点G，当时，试判断此时与的位置关系，并证明；
②如图（3），当时，求m的值．
【答案】（1）见解析 （2）①与相切，见解析；②
【小问1详解】
证明：如图，
∵与关于对称，
∴，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：①与相切，证明如下：如图，连接，
∵，
∴，，
在G中，，
∴，
∴，
∴，
在矩形中，，
由对称可知，
∵是的直径，
∴点F在上，
∴，
∴，
∴，即，
∴与相切，．
解：②如图，连接，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴（负值已舍）．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定，矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形的应用等知识．涉及的知识点较多，难度较大．
26. 已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点，对称轴为直线．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值；
（3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为，求n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：设二次函数的解析式为，把代入得，
解得，
∴；
【小问2详解】
解：点B平移后的点的坐标为，
则，解得或（舍），
∴m的值为；
【小问3详解】
解：当时，
∴最大值与最小值的差为，解得：不符合题意，舍去；
当时，
∴最大值与最小值的差为，符合题意；
当时，
最大值与最小值差为，解得或，不符合题意；
综上所述，n的取值范围为．种类
君山银针A规格
古丈毛尖B规格
进价（元/斤）
160
500
售价（元/斤）
200
600
课题
斜坡安全改造
成员
老师：××× 组长：××× 组员：×××，×××，×××
测量工具
测角仪、皮尺等
方案设计
如图①，原坡面是矩形，计划将斜坡改造成图②所示的坡比为的斜坡，坡面的宽度保持不变．
测量数据
【步骤一】利用皮尺测得米，米；
【步骤二】在点处用测角仪测得斜坡的坡角为．
……
……