高一升高二数学暑假预习课16讲第06讲 空间向量的应用（二）：距离、夹角问题与7考点精讲（学生版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第06讲 空间向量的应用（二）：距离、夹角问题与7考点精讲（学生版），共16页。
\l "_Tc20616" 一、 由空间向量研究距离问题 PAGEREF _Tc20616 \h 2
\l "_Tc28557" 基础知识 PAGEREF _Tc28557 \h 2
\l "_Tc18865" 考点1 点到平面距离的向量 PAGEREF _Tc18865 \h 2
\l "_Tc3289" 考点2 平行平面距离的向量 PAGEREF _Tc3289 \h 3
\l "_Tc10519" 考点3 点到直线距离的向量 PAGEREF _Tc10519 \h 4
\l "_Tc21485" 二、 由空间向量研究空间角问题 PAGEREF _Tc21485 \h 5
\l "_Tc675" 基础知识 PAGEREF _Tc675 \h 5
\l "_Tc7946" 考点4 求异面直线所成的角 PAGEREF _Tc7946 \h 6
\l "_Tc28076" 考点5 求线面角 PAGEREF _Tc28076 \h 7
\l "_Tc32244" 考点6 求二面角 PAGEREF _Tc32244 \h 8
\l "_Tc24964" 考点7 由空间向量研究存在性问题 PAGEREF _Tc24964 \h 9
\l "_Tc7886" 三、 课后作业 PAGEREF _Tc7886 \h 12
\l "_Tc32626" 单选题 PAGEREF _Tc32626 \h 12
\l "_Tc25258" 多选题 PAGEREF _Tc25258 \h 13
\l "_Tc32134" 填空题 PAGEREF _Tc32134 \h 14
\l "_Tc9113" 解答题 PAGEREF _Tc9113 \h 14
一、 由空间向量研究距离问题
基础知识
1．距离问题
(1)点P到直线 l 的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为(如图)．

点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．
考点1 点到平面距离的向量
【例1.1】（23-24高二上·北京顺义·期末）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，AA1=1，则点D到平面BCD1的距离为（ ）
A．1B．3C．102D．31010
【例1.2】 （2024·河北沧州·二模）已知四面体ABCD满足∠BAC=π3,cs∠CAD=13,cs∠DAB=14,AB=2,AC=3,AD=2，则点A到平面BCD的距离为（ ）
A．52B．32C．3D．102
【变式1.1】（23-24高二下·江西·开学考试）在正三棱锥P−ABC中，AB=2PA=2，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则nm=（ ）
A．3B．233C．3D．33
【变式1.2】（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，AB=2,AA1=3,M是BC的中点，点N是棱CC1上的一个动点，则点A1到平面AMN的距离的最小值为（ ）

A．1B．12C．23D．67
考点2 平行平面距离的向量
【例2.1】（23-24高二上·全国·课后作业）正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为（ ）
A．2B．3C．23D．33
【例2.2】（23-24高二上·陕西西安·期末）两平行平面 α，β 分别经过坐标原点 O 和点 A2,1,1，且两平面的一个法向量 n=−1,0,1，则两平面间的距离是（ ）
A．32B．22C．3D．32
【变式2.1】（2024高二·全国·专题练习）设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，求：
(1)求直线B1C到平面A1BD的距离；
(2)求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
【变式2.2】（2024高二上·全国·专题练习）直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A1A=3，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是C1D1,B1C1的中点．

(1)求证：平面AMN //平面EFBD；
(2)求平面AMN与平面EFBD的距离．
考点3 点到直线距离的向量
【例3.1】（23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知点A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3B．2C．22D．3
【例3.2】 （23-24高二下·江苏南通·阶段练习）在三棱锥P−ABC中，PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心为G，则点P到直线AG的距离为（ ）
A．67B．53C．21717D．22117
【变式3.1】（23-24高二下·北京·开学考试）如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为线段AB上的点，且AEEB=3，点P在线段D1E上，则点P到直线AD距离的最小值为（ ）
A．22B．32C．35D．34
【变式3.2】 （23-24高二上·北京昌平·期末）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=3，P，Q分别是棱BC和C1D1上的两个动点，且PQ=2，则PQ的中点E到CC1的距离为（ ）
A．32B．22C．33D．12
二、 由空间向量研究空间角问题
基础知识
1．夹角问题
(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90° 的二面角称为平面α与平面β的夹角．
(2)空间角的向量法解法
2．用向量法求异面直线所成角：
(1)建立空间直角坐标系；
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的绝对值.
3．向量法求直线与平面所成角:
(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角.
4．向量法求二面角:
用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角的大小.
考点4 求异面直线所成的角
【例1.1】（23-24高二下·江苏常州·期中）已知四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90° PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，则异面直线AC与PB所成的角的余弦值为（ ）
A．55B．105C．155D．255
【例1.2】（23-24高二下·湖北·期中）如图，ABC−A1B1C1是一个由棱长为2a的正四面体沿中截面所截得的几何体，则异面直线A1C与BB1夹角的余弦值为（ ）
A．63B．312C．33D．36
【变式1.1】（23-24高二上·广东中山·期中）如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC、AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为（ ）
A．π4B．π3C．π2D．2π3
【变式1.2】（23-24高一下·浙江绍兴·期中）如图是棱长均相等的多面体EABCDF，其中四边形ABCD是正方形，点P，Q，M，N分别为DE，AB，AD，BF的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值为（ ）
A．13B．12C．23D．34
考点5 求线面角
【例2.1】（23-24高二下·辽宁·阶段练习）在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，AB=AC=2，PA=4，则直线PA与平面DEF所成角的余弦值为（ ）
A．255B．55C．35D．235
【例2.2】 （2023·四川甘孜·一模）在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,M,N分别是为AD1和C1D1的中点，MN与平面BB1C1C所成的角为30∘，则该长方体的体积为（ ）
A．82B．6C．26D．83
【变式2.1】（2024·重庆·二模）如图，直棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB//DC，且AB=2DC,E,F分别是棱AB，AD的中点.

(1)证明：平面D1EF//平面C1BD；
(2)已知AA1=AD=DC=1,∠DAB=60∘，求直线DC1与平面A1EF所成角的正弦值.
【变式2.2】 （2024·河北秦皇岛·二模）如图，在四棱锥P−ABCD中，BA=BD=BP=5，CD=1，PA=PD=2，PA⊥PD，E是棱PA的中点，且BE//平面PCD，点F是棱PD上的一点.
(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；
(2)若直线PC与平面ABF所成角的正弦值为1135105，求DF的长
考点6 求二面角
【例3.1】（23-24高二上·陕西渭南·期末）在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=1，BC=22，M为PD的中点，则二面角M−BC−A的余弦值为（ ）
A．31010B．1010C．55D．255
【例3.2】（22-23高二上·山东烟台·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角Q−PD−A的平面角大小为30°，则△ADQ面积的取值范围是（ ）
A．0,21515B．0,255
C．0,21015D．0,3105
【变式3.1】（23-24高二下·甘肃·期中）图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，∠ABC=60∘，AP=AB,E为CD的中点.

(1)求证：CD⊥平面PAE；
(2)求平面PAE与平面PBC所成二面角的余弦值.
【变式3.2】（2024·全国·模拟预测）如图，四棱台ABCD−A1B1C1D1中，BC∥AD，CC1⊥平面ABCD，AD=2AB=2BC.
(1)证明：CD⊥AC1；
(2)若CC1=2，CD=3，BC=A1D1=52，求二面角A1−AB−C的余弦值．
考点7 由空间向量研究存在性问题
【例4.1】 （23-24高二下·湖南·期中）如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=120°,AB=2，且直线BD1与平面BCC1B1所成角为30°．
(1)求直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的高；
(2)在棱AA1上是否能找到一点M，使得平面CD1M与平面BCC1B1的夹角为30°？若能，求出AMAA1的值；若不能，说明理由．
【例4.2】（23-24高三上·北京·期中）如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F为棱CD上一点.
(1)求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；
(2)求二面角A−A1C1−E的正弦值；
(3)是否存在点F，使D1F//平面A1EC1？若存在，求出DF的长度；若不存在，请说明理由.
【变式4.1】（23-24高三上·江苏·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，△PAD是正三角形，∠ABC=90°,AB∥CD,AB=2CD=2BC=4，平面PAD⊥平面ABCD，M是棱PC上动点．
(1)求证：平面MBD⊥平面PAD；
(2)在线段PC上是否存在点M，使得直线AP与平面MBD所成角为30°？若存在，求出PMPC的值；若不存在，说明理由．
【变式4.2】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PDC⊥平面ABCD，AD⊥DC,AB∥DC，AB=12CD=AD=1，M为棱PC的中点．
(1)证明：BM//平面PAD；
(2)若PC=5,PD=1，
（i）求二面角P−DM−B的余弦值；
（ii）在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是269？若存在，求出PQ的值；若不存在，说明理由．
三、 课后作业
单选题
1．（23-24高二下·浙江·期中）空间点A−1,1,1,B−1,2,3,C1,2,4，则点A到直线BC的距离d=（ ）
A．255B．5C．215D．1055
2．（2024高三下·全国·专题练习）如图，正三棱锥M−ABC的高为2，AB=6，E，F分别为MB，MC的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A．34B．33344C．191188D．1944
3．（23-24高二上·浙江宁波·期中）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1C1与AD1之间的距离是（ ）
A．2B．233C．1D．223
4．（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，在多面体A1B1C1D1ABC中，侧面四边形A1B1C1D1，AA1B1B，BB1C1C是三个全等且两两垂直的正方形，平面A1B1C1D1//平面ABC，E是棱AA1的中点，则直线EC1与平面ACD1所成角的余弦值为（ ）

A．13B．789C．39D．223
5．（23-24高二下·甘肃·期中）已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，M，N分别是A1B1,AD,CC1的中点，则直线AC与平面EMN之间的距离为（ ）
A．1B．33C．32D．3
6．（2023·吉林通化·二模）已知四棱锥P−ABCD的底面为平行四边形，AD=2，DC=4，∠BAD=60∘，PD⊥平面ABCD，直线PD与平面PAC所成角为30∘，则PD=（ ）
A．22B．475C．677D．7
7．（23-24高三上·河北邢台·开学考试）三棱锥A−BCD中，已知∠BAC=60°，∠CAD=30°，∠BAD=45°，则平面CAD与平面BAD所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．3−2B．3−22C．2−12D．2−1
8．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）如图，在几何体ABC−A1B1C1中，四边形A1ACB1是矩形，△ACB≌△A1B1C1，且平面ACB//平面A1B1C1，AA1⊥AB，AB=BC=AA1=22AC=1，则下列结论错误的是（ ）

A．AC1//BB1B．异面直线BB1、C1C所成的角为π3
C．几何体ABC−A1B1C1的体积为12D．平面A1BB1与平面AC1C间的距离为33
多选题
9．（23-24高三上·湖北·开学考试）如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE,AD//BC,AD⊥AB,AE=BC=2，AB=AD=1，CF=87，则（ ）
A．BD⊥CE
B．BF//平面ADE
C．二面角E−BD−F的余弦值为13
D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为59
10． （23-24高二上·山东聊城·期末）如图，四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，O、P分别是AC,SC的中点，M是棱SD上的动点，则（ ）

A．OM⊥AP
B．存在点M，使OM//平面SBC
C．存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D．点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
填空题
11．（23-24高二下·浙江杭州·期中）在空间直角坐标系中，O为坐标原点，若OA=1,0,0，OB=0,1,0，OC=0,0,2，则点O到平面ABC的距离为 .
12．（2024·广东茂名·模拟预测）已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是正方形，AB=4，AA1=42，点B1在底面ABCD的射影为BC中点H，则直线AD1与平面ABCD所成角的正弦值为 ．
解答题
13．（2024高三下·河南·专题练习）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，O为△A1B1C1的重心，D是棱CC1上的一点，且OD//平面A1B1C.
(1)证明：CDDC1=12；
(2)若AA1=2A1B1=12，求点D到平面B1AC的距离.
14．（2024·全国·模拟预测）如图，圆柱O1O的轴截面ABCD为正方形，且AB=2，点E在圆O上（与A,B不重合）．
(1)求证：AE⊥EC；
(2)若点O到平面ACE的距离为33，求直线OD与平面ACE所成角的正弦值．
15． （23-24高二下·江苏连云港·期中）如图， AE⊥平面ABCD， CF//AE， AD//BC， AD⊥AB， AB=AD=1， AE=BC=3.
(1)求证: AB⊥平面ADE；
(2)求直线CE与平面BDE所成角的余弦值
(3)若二面角E−BD−F的余弦值为 3911209，求线段CF的长.
16．（2024·山东聊城·三模）如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB=2，点D,E,F分别是棱AC，CC1,C1B1的中点，点P满足AP=λAB+μAA1，其中λ∈0,1,μ∈0,1.
(1)当λ=μ=12时，求证：DP∥平面A1EF；
(2)当λ=1时，是否存在点P使得平面ACP与平面A1EF的夹角的余弦值是155？若存在，指出点P的位置，若不存在，请说明理由.
角的分类
向量求法
范围
两条异面直线所成的角
设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cs θ＝|cs〈u，v〉|＝ eq \f(|u·v|,|u||v|)
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
直线与平面所成的角
设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cs 〈u，n〉|＝eq \f(|u·n|,|u||n|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))
两个平面的夹角
设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cs θ＝|cs 〈n1，n2〉|＝eq \f(|n1·n2|,|n1||n2|)
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))