山西省临汾市2025届高三下学期考前适应性训练考试（三）数学试卷（Word版附解析）

这是一份山西省临汾市2025届高三下学期考前适应性训练考试（三）数学试卷（Word版附解析），共21页。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．
2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上．
4．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集，集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为全集，，，
所以，则.
故选：A
2. 已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，
且，则动点的轨迹为椭圆，
易知，，，即方程为.
故选：C.
3. 已知，，则（ ）
A. 3B. 1C. D.
【答案】B
【详解】由，可得，，
则，
故选：B
4. 公共汽车上有3名乘客，在沿途的4个车站随机下车，3名乘客下车互不影响，则恰有2名乘客在第4个车站下车的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】由题意可得每个人在某个站下车的概率为，则恰有两人在第站下车的概率为.
故选：D
5. 为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（ ）
A. 向右平移个单位长度B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度D. 向左平移个单位长度
【答案】D
【详解】因为，所以将函数的图像向左平移个单位长度得，
故选：D.
6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（ ）
A. B. 3C. 4D.
【答案】D
【详解】由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为，
将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且，
，消去x得，
由韦达定理得，则，
由焦半径公式得，，
因为，所以，
联立方程组，解得或（舍去），
则，故D正确.
故选：D
7. 已知，，，设，记，则（ ）
A 624B. 625C. 626D. 627
【答案】C
【详解】由题意可得，，则，
整理可得，即，
所以.
故选：C.
8. 已知，则满足的实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由，易知其定义域为，
由
，则函数为偶函数，
，
由在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
则在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
由，则，即，
整理可得，分解因式可得，
解得.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，B，C成等差数列，则（ ）
A. ，，
B. 当时，周长的最大值为6
C. 当时，面积的最大值为
D. 当时，为等边三角形
【答案】BCD
【详解】∵角A，B，C成等差数列，
∴，即，∴，A，C不确定，故A错；
当时，，
即，
，即周长的最大值为6，故B正确；
当时，，
∴，∴，
即面积的最大值为，故C正确；
当，，
∴，，即，，
∵，∴，,即为等边三角形，故D正确.
故选：BCD
10. 如图，在四面体OABC中，，，E，F，G，H分别是OA，OC，BC，AB上的点，且，，则（ ）

A. E，F，G，H四点共面
B. 当时，
C.
D. 当时，
【答案】AC
【详解】A：由，
得，
所以，
得，所以四边形为平行四边形，
即四点共面，故A正确；
B：当时，
，故B错误；

C：由，
得，所以，
，所以，
所以，则，
即，故C正确；
D：由，得，
，
，
得
，
因为，的值无法判断，
所以不一定成立，故不成立，故D错误.
故选：AC
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与有唯一公共点M，过点M且与l垂直的直线与x轴、y轴分别交于点，，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 设关于对称的点为N，则M，N，三点共线
C. 当时，的面积为
D. 当点M运动时，点在离心率为的双曲线上
【答案】ABD
【详解】A：双曲线的渐近线方程为，而，
又双曲线与直线有唯一公共点，
则直线与双曲线相切，由，
消去得①，
由，化简得，故A正确；
B：将代入方程①，得，即，
解得，代入直线方程得，得，即.
由，得直线的方程为，即，
易知，设，由点关于直线对称，
得，解得，
即，又，
所以，
，
，故，所以三点共线，故B正确；
C：由选项B知的方程为，
令，得；令，得，即.
当时，，不妨取，则，
此时，故C错误；
D：由选项C知，，得，
所以，整理得，
为焦点在轴上且双曲线，其离心率为，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，复数为纯虚数，则_______．
【答案】2
【详解】由题意可得，
解得：，
故答案为：
13. 已知正三棱柱各棱长均为2，则直线与AB所成角的正弦值为_______．
【答案】##
【详解】取 的中点 ，连接 ，因为是正三角形，所以 .
又因为正三棱柱中，平面 平面 ，
平面 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系.
已知正三棱柱各棱长均为 ，则 ，，，。
所以，.
则 .
设直线 与 所成角为 ，
所以 .
故答案为：
14. 已知集合，其中，，．表示中所有不同值的个数．若集合，则_______；若集合，则_______．
【答案】 ①. 5 ②.
【详解】由，得；
∵最多有个值，
∴，
又集合，任取，，
当时，不妨设，则，
即，
当时，，
∴当且仅当时，，
即所有的值两两不同，
∴．
故答案为：5；
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. “政府送温暖，老人有饭吃”．近年来，我国各级政府重视提高老年人的生活质量．在医疗、餐饮等多方面，为老人提供了方便．单从用餐方面，各社区创建了“幸福大食堂”、“爱心午餐”、“老人食堂”等不同名称的食堂，解决了老人的吃饭问题．据统计“幸福大食堂”2025年1月份共为1600名老人提供了午餐服务，其中好评有1200位老人，其余均为非好评．为了提升菜品品质，该食堂更换了厨师，更换厨师后该食堂2025年2月份为4000名老人提供了午餐服务，其中好评有3200位老人，其余均为非好评．
（1）完成上面：列联表，并依据小概率值的的独立性检验，判断该食堂的好评率是否与更换厨师有关联；
（2）现从更换厨师前的评价中，用比例分配的分层抽样方法做抽样调查，拟从好评和非好评两层中抽取8位老人，再从这8位老人中随机抽取3位，记抽取的3位老人中好评的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：，其中．
【答案】（1）列联表见解析，该食堂的好评率和更换厨师有关联
（2）分布列见解析，
【小问1详解】
由题可得列联表，
记零假设为：该食堂的好评率和更换厨师无关．
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为该食堂的好评率和更换厨师有关联，此推断犯错误的概率不超过．
【小问2详解】
由题可知，抽样调查的8位老人中，
好评的人数为人，非好评的人数为2人，则的可能取值为．
而；；；
从而X的分布列为：
则数学期望．
16. 已知正项数列中，，满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足求数列的前项和．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
由，得，
因为，所以，则，
所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．
【小问2详解】
方法一：
由（1）知
方法二：
由（1）知
设，则可得，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以的前n项和，
设
所以的前n项和
所以．
17. 在平面直角坐标系中，设二次函数图象与轴交于两点，与轴交于点．
（1）求的最小值；
（2）问经过三点的圆是否经过定点（与无关）？请证明你的结论．
【答案】（1）
（2）圆M恒过点，证明见解析
【小问1详解】
因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以，得
设，，则有，，
二次函数与y轴交于点C，得，
所以，，
所以
设，
由二次函数的性质知，当时，取得最小值，
即的最小值为．
【小问2详解】
方法一：
设经过三点的圆为圆，
易知的垂直平分线为，
的垂直平分线为，
联立，解得，即，
圆M的半径，
所以圆M的方程为，
即
所以当，，等式恒成立，
故圆M恒过点．
方法二：
设经过三点的圆M为，
又因为，，
解之得：，，，
故所求圆的方程为，
即
所以当，，等式恒成立，
故圆恒过点．
18. 如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，点P是圆上异于点C，D的任意一点．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点D到平面的距离；
（3）求与平面所成角的正弦值的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【小问1详解】
因为CD是圆的直径，所以.
又因为平面PDC，平面PCD，所以.
因为，都在平面内，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
方法一：等积法
因为，所以P为弧CD的中点，
所以，，
由（1）知平面，因为平面，所以.
在中，，，
故，
设D到平面的距离为d，由得，解得，
即点D到平面ACP的距离为
方法二：定义法
过点D作，垂足为E，
因为平面平面，
平面平面，平面，
所以平面ACP，
因为，所以P为弧CD的中点，
则，，
在中，，
所以，即点D到平面的距离为．
【小问3详解】
方法一：定义法
由（2）知，平面，
所以即为AD与平面ACP所成角．
设，，
在中，，，
，
所以
所以．
因为，所以，
所以，
即与平面所成角的正弦值的取值范围为．
方法二：向量法
如图，以为原点，分别为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，
故，，
设，则，，
故，
设平面ACP的法向量为，则即，
取，
设AD与平面所成角为θ，则
，
因为，故所以，
即，
即AD与平面ACP所成角的正弦值的取值范围为．
19. 设，函数．
（1）若曲线在处的切线恒过原点，求的值；
（2）若存在一组，使得的定义域和值域均为
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）2 （2）（ⅰ）；（ⅱ）
【小问1详解】
因为，所以，
故在处的切线方程为
因为其过原点，所以
解得：．
【小问2详解】
（ⅰ）由（1）知在上单调递减，在上单调递增．
①当时，函数在上单调递减，有，
即，，所以，不符合题意；
②当时，函数在上单调递增，有，
即在上有两个根．
设，，由知在上单调递增，在上单调递减，所以；
③当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以．
所以．
又因为，
所以只需证时，有大于1的根即可．
由的单调性知其成立．
综上：．
（ⅱ）由（ⅰ）知当，即时，时，此时不合题意；
当时，有m、n满足，
设，所以，则．
令，则，
设，由知在单调递减，
于是，
所以，在单调递减，好评
非好评
合计
更换厨师前
更换厨师后
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
2.706
3.841
6.635
7879
好评
非好评
合计
更换厨师前
400
1600
更换厨师后
3200
800
4000
合计
4400
5600
x
1
2
3
P