2025年八年级数学下学期期末总复习(知识梳理)清单04因式分解(考点清单，知识导图+6个考点清单&9大题型解读)(学生版+解析)

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清单01 因式分解
1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．
2.掌握其定义应注意以下几点：
（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；
（2）因式分解必须是恒等变形；
（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．
3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．
因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式
清单02 公因式
像多项式 pa pb  pc ，它的各项都有一个公共的因式 p ，我们把这个公共因式 p
叫做这个多项式各项的公因式
注意：公因式的构成一般情况下有三部分：
①系数一各项系数的最大公约数；
②字母——各项含有的相同字母；
③指数——相同字母的最低次数；
清单03 提公因式
提公因式法的步骤：
第一步是找出公因式；
第二步是提取公因式并确定另一因式．
需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．
注意：
①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；
清单04 提公因式与公式法综合
提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
公式法：
①平方差公式： a2－b2＝ （a＋b）（a－b）
②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2
a2－2ab＋b2＝（a－b）
清单05 十字相乘法
1. x²  p  qx  pq  （x+p ）（x+q ）
2. 在二次三项式 ax2  bx  c(a  0) 中，如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积，
即 a  a1  a2 ，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即c  c1 c2 ，把 a1， a2 ，c1，
c2 排列如下：

按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2  a2c1，若它正好等于二次三项式 ax 2  bx  c 的
一次项系数b ，即 a1c2  a2c1  b ，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x  c1与
a2 x  c2 之积，即 ax2  bx  c  (a1x  c1)(a2 x  c2 ) ．
清单06 分组分解
定义：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．
分组分解的步骤
1. 将原式的各项适当分组；
2. 对每一组进行处理（“提”或“代”）；
3. 将经过处理的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解．
【考点题型一】 判断是否是因式分解（）
【例1】（24-25八年级上·山西朔州·期末）下列式子由左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A．a+ba−b=a2−b2B．m2−2m+1=m−12
C．10xy=2x⋅5yD．x2+6x+8=xx+6
【变式1-1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列等式，从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．aa+1=a2+a B．a+1a−1=a2−1
C．a2−2a+1=a−12 D．a+1a−2=a2−a−2
【变式1-2】（24-25八年级上·天津南开·期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．a+ba−b=a2−b2B．a2−b2=a+ba−b
C．a+b2=a2+2ab2+b2D．a2+2ab=a+b2−b2
【变式1-3】（24-25八年级上·广东广州·期末）下列从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．x2+x=xx+1B．x+2x−2=x2−4
C．x+12=x2+2x+1D．x2−x+1=xx−1+1
【考点题型二】已知因式分解的结果求参数（）
【例2】（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知x2−mx+42=x−nx−7，则m、n的值为（ ）
A．m=13,n=6B．m=−13,n=6
C．m=13,n=−6D．m=−13,n=−6
【变式2-1】（23-24八年级下·四川成都·期末）把多项式3x2+ax−2分解因式，结果是3x+1x+b，则a，b的值为（ ）
A．a=7，b=2B．a=5，b=2
C．a=−7，b=−2D．a=−5，b=−2
【考点题型三】公因式（）
【例3】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）多项式4x3yz2−8x2yz4+12x4y2z3的公因式是（ ）
A．4x3yz2B．−8x2yz4C．12x4y2z3D．4x2yz2
【变式3-1】（23-24七年级下·山东东营·期末）多项式3a3m−6a2m+12am的公因式是 ．
【变式3-2】（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）将多项式6a2b−3ab2+12a2b2分解因式时，应提取的公因式是 ．
【变式3-3】（23-24七年级下·湖南株洲·期末）6ab(a−b)2与4b2(a−b)的公因式是 ．
【考点题型四】提公因式（）
【例4】（24-25八年级上·湖南长沙·期末）因式分解：a2b−5ab2= ．
【变式4-1】（2024·浙江台州·模拟预测）因式分解：a2−9a= ．
【变式4-2】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）分解因式：3m2−3m= ．
【变式4-2】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：2ma−b−3na−b= ．
【考点题型五】运用公式法因式分解（）
【例5】（23-24七年级下·浙江温州·期末）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2+x+1B．x2+2x−1C．x2−1D．x2+6x+9
【变式5-1】（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）分解因式：b2+18b+81= ．
【变式5-2】（24-25八年级上·广东汕头·期末）分解因式：4x2−9= ．
【变式5-3】（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：(x+3)2−5x+3−6．
【考点题型六】提公因式与公式法分解因式（）
【例6】（24-25八年级上·吉林长春·期末）因式分解：4m2−36n2= ．
【变式6-1】（2024·山东东营·中考真题）因式分解：2x3−8x= ．
【变式6-2】（24-25八年级上·广西玉林·期末）分解因式：m3−4m= ．
【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）分解因式：3x2−6xy+3y2= ．
【变式6-4】（2024·云南昆明·模拟预测）分解因式：3a2b2−12b4= ．
【考点题型七】十字相乘法分解因式（）
【例7】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）将多项式x2−x−2进行因式分解，结论正确的为（ ）
A．x−1x−2B．x+1x+2
C．x+1x−2D．x−1x+2
【变式7-1】（24-25八年级上·辽宁铁岭·期末）【阅读理解】用“十字相乘法”分解因式2x2−x−3．
Ⅰ．次项系数2=1×2．
Ⅱ．常数项−3=−1×3=1×(−3)，验算：“交叉相乘之和”
①1×3+2×(−1)=1，②1×(−1)+2×3=5，
③1×(−3)+2×1=−1，④1×1+2×(−3)=−5．
Ⅲ．发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项系数−1，
即(x+1)(2x−3)=2x2−3x+2x−3=2x2−x−3，
则2x2−x−3=(x+1)(2x−3)．
像这样分解因式的方法叫做十字相乘法．
【迁移运用】仿照此方法，分解因式：
(1)x2−5x+6；
(2)3x2+2x−8．
【变式7-2】（24-25八年级上·河南南阳·期末）仔细阅读下面例题，解答问题：
例题：已知二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为x+n，得x2−4x+m=x+3x+n，
则x2−4x+m=x2+n+3x+3n．
∴n+3=−4m=3n．
解得：n=−7,m=−21．
∴另一个因式为x−7,m的值为−21，
解法二：二次三项式x2−4x+m有一个因式是x+3，
∴当x+3=0，即x=−3时，x2−4x+m=0．
把x=−3代入x2−4x+m=0，
得m=−21，
而x2−4x−21=x+3x−7．
问题：仿照以上两种方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x−k有一个因式是2x−5，求另一个因式以及k的值．
【考点题型八】分组分解法分解因式（）
【例8】（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式x2+3xy+2y2+4x+5y+3= ．
【变式8-1】（22-23八年级下·四川达州·期中）如果3x2−4y2−4xy+4y+2x−1因式分解的结果为 ．
【变式8-2】（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期末）阅读下列材料：某校数学社团小组的同学在分解因式2xy+x2−1+y2时，发现可以将这个多项式进行重新分组，先利用完全平方公式，然后再利用平方差公式对这个多项式进行了分解．过程如下：
2xy+x2−1+y2=x2+2xy+y2−1=x+y2−1=x+y+1x+y−1
像这样．将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法．
请你在这种方法的启发下．解决以下问题：
(1)分解因式：a2+b2−n2+2ab；
(2)已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+b2+c2+29−4a−6b−8c=0，求△ABC的周长．
【变式8-3】（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：a2−b2−1−2b．
【考点题型九】因式分解的应用（）
【例9】（24-25八年级上·云南红河·期末）已知x+y=5，x−y=2，则x2−y2的值为（ ）
A．10B．−10C．7D．−7
【变式9-1】（24-25八年级上·广东汕尾·期末）已知a+b=3，ab=−2，则代数式a2b+ab2的值是（ ）
A．−6B．1C．0D．−8
【变式9-2】（24-25八年级上·山东淄博·期中）已知a−b=3，b−c=−4，则整式a2−ac−b(a−c)的值为（ ）
A．−12B．−4C．−3D．3