四川省绵阳南山中学2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题

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一、单选题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C A B A D C
二、多选题：
题号 9 10 11
答案 ACD BD BC
三、填空题：
12. 13. 14.
四、解答题：
15．解：（1）设随机抽取的 3 篇课文中该同学能背诵的篇数为 ，则
， ， ， ．
所以，抽到该同学背诵的课文的数量的分布列为：
0 1 2 3
（2）由（1）知，该同学能及格的概率：
抽到该同学能背诵的课文数量的期望 ．
16．解：（1）由题意得： ；
当 ，即 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极值；
当 ，即 时，令 ，解得： ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
的极小值为 ，无极大值；
综上所述：当 时， 无极值；当 时， 极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
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当 时， ， 恒成立， 无零点；
当 时， ， 有唯一零点 ；
当 时， ，
又 ，当 趋近于正无穷大时， 也趋近于正无穷大，
在 和 上各存在一个零点，即 有两个零点；
综上所述：当 时， 无零点；当 时， 有且仅有一个零点；当 时， 有两个不
同的零点.
17．解：（1）当 时， ．
当 时，由 ，得 ，
则 ，则 ，
因为 也符合上式，所以 ．
（2）由（1）可知， ，
则 ，则 ，
两式相减得 ，则
18．解：（1）由题意可知： 的定义域为 ，且 ，
当 时， ，可知 在 上单调递减；
当 时， ，得 ；由 得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增；
综上所述：当 时， 的单调减区间为 ，无单调增区间；
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当 时， 的单调减区间为 ，单调增区间为 .
(2)法一：由已知得 在 上恒成立，
等价于 在 上恒成立，设 ，
则 ，
设 ，可知 在 上单调递减，且 ，
当 时， ，即 ；当 时， ，即 ；
可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ，可得 ，即 的取值范围为 .
法二：由题意可知： 在 上恒成立，
由(1)知，当 时， 在 上单调减，且 ，不合题意；
当 时，可知 ，
设 ，可知 在 上单调递增，
且 ，若 则 ，可得 ，故 的取值范围为 .
19．解：（1）设 为“第一天选择米饭套餐”： 为“第二天选择米饭套餐”，则 为“第一天不选择米饭套餐”，
根据题意 ， ， ， ，
由全概率公式得： .
（2）①：证明：设 为“第 n 天选择米饭套餐”，则 ， ，
根据题意， ， ，
由全概率公式得：
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因此 ， . 是以 为首， 为公比的等比数列.
②：根据①可得 ，所以 ，下求 的最大值，
要求 的最大值，则 为偶数，当 为偶数时， ，此时 是单调递减数列，
所以 的最大值为 ，因此 ，则 m 的取值范围是 .
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