2022北京初三一模数学汇编：一次函数与反比例函数练习（含答案）

这是一份2022北京初三一模数学汇编：一次函数与反比例函数练习（含答案），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022·北京门头沟·一模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，那么与．与满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
2．（2022·北京房山·一模）某长方体木块的底面是正方形，它的高比底面边长还多50cm，把这个长方体表面涂满油漆时，如果每平方米费用为16元，那么总费用与底面边长满足的函数关系是（ ）
A．正比例函数关系B．一次函数关系
C．反比例函数关系D．二次函数关系
3．（2022·北京丰台·一模）如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系
B．反比例函数关系，二次函数关系
C．反比例函数关系，一次函数关系
D．一次函数关系，反比例函数关系
4．（2022·北京东城·一模）将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·北京平谷·一模）研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为（ ）
A．300度B．500度C．250度D．200度
6．（2022·北京朝阳·一模）点在反比例函数的图象上，下列推断正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．存在，使得
7．（2022·北京西城·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．①④
8．（2022·北京大兴·一模）某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（ ）
A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系
C．一次函数关系，反比例函数关系D．反比例函数关系，一次函数关系
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点和点B，则点B的坐标为______．
10．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点，则k的值为______．
11．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象经过点，且在每一个象限内，y随x的增大而增大，则点P在第______象限．
12．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为______．
13．（2022·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围是_______．
14．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与双曲线y＝交于点A（2，m），则k的值是 _____．
三、解答题
15．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，4），B（3，m）．
（1）若点A，B在同一个反比例函数y1＝的图象上，求m的值；
（2）若点A，B在同一个一次函数y2＝ax+b的图象上，
①若m＝2，求这个一次函数的解析式；
②若当x3时，不等式mx﹣1ax+b始终成立，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
16．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；
(2)一次函数的图象经过点A，点在一次函数的图象上，点在二次函数的图象上．若，求m的取值范围．
17．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
18．（2022·北京通州·一模）已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点．
(1)当点A的坐标为时．
①求m，k的值；②当时，______（填“”“”或“”）．
(2)将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度后，使得点A，B关于原点对称，求m的值
19．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
(1)如图1，的半径为1，当时，直接写出直线关于的“圆截距”；
(2)点M的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求k的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当k的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值为2，直接写出b的值．
20．（2022·北京房山·一模）如图1，一次函数y=kx+4k（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，且经过点C（2，m）．
(1)当时，求一次函数的解析式并求出点A的坐标；
(2)当x>-1时，对于x的每一个值，函数y=x的值大于一次函数y=kx+4k（k≠0）的值，求k的取值范围．
21．（2022·北京房山·一模）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P，Q两点（Q在P，H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点”，把PQ·PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
(1)如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4），半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A，B，C，D．
①过点E作垂直于y轴的直线m﹐则⊙O关于直线m的“远点”是点__________________（填“A”，“B”，“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为_____________；
②若直线n的函数表达式为，求⊙O关于直线n的“特征数”；
(2)在平面直角坐标系xOy、中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（–1，0）是⊙F关于直线l的“远点”，且⊙F关于直线l的“特征数”是，直接写出直线l的函数解析式．
22．（2022·北京西城·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线与坐标轴分别交于，两点．将直线在x轴上方的部分沿x轴翻折，其余的部分保持不变，得到一个新的图形，这个图形与直线分别交于点C，D．
(1)求k，b的值；
(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AC，CD，DA围成的区域（不含边界）为W．
①当m=1时，区域W内有______个整点；
②若区域W内恰有3个整点，直接写出m的取值范围．
23．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，的半径为1，已知点A，过点A作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与有两个交点时，则称MN是的“双关联直线”，与有一个交点P时，则称MN是的“单关联直线”，AP是的“单关联线段”．
(1)如图1，，当MN与y轴重合时，设MN与交于C，D两点．则MN是的“______关联直线”（填“双”或“单”）；的值为______；
(2)如图2，点A为直线上一动点，AP是的“单关联线段”．
①求OA的最小值；
②直接写出△APO面积的最小值．
24．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，1）．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当x＞0时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
25．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（﹣1，0），（0，2）．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当x＞﹣2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．
26．（2022·北京门头沟·一模）我们规定：在平面直角坐标系中，如果点到原点的距离为，点到点的距离是的整数倍，那么点就是点的倍关联点．
(1)当点的坐标为时，
①如果点的2倍关联点在轴上，那么点的坐标是 ；
②如果点是点的倍关联点，且满足，．那么的最大值为________；
(2)如果点的坐标为，且在函数的图象上存在的2倍关联点，求的取值范围．
27．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象平行于直线，且经过点．
(1)求这个一次函数的表达式；
(2)当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
28．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，直线与直线交于点．
(1)当时，求n，b的值；
(2)过动点且垂直于x轴的直线与，的交点分别是C，D．当时，点C位于点D上方，直接写出b的取值范围．
29．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得为等腰直角三角形，且，则称点C为图形G的“友好点”．
(1)已知点，，在点，，中，线段OM的“友好点”是_______；
(2)直线分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
(3)已知直线分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的的“友好点”，直接写出d的取值范围．
30．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与反比例函数的图象交于点，点P为反比例函数的图象上一点．
(1)求m，k的值；
(2)连接OP，AP．当时，求点P的坐标．
参考答案
1．A
【分析】根据题意求得与．与之间的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断．
【详解】解：由题意可知，花园是矩形，∴，
∴，与满足一次函数关系；
花园面积：，与满足二次函数关系；
故选：A．
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的简单应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用题中数量关系式（矩形周长=长与宽的和的2倍；矩形面积=长与宽的积）是解决应用题的关键．
2．D
【分析】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，则可表示出y与x的函数关系，根据关系式即可作出选择．
【详解】设底面边长为xcm，则正方体的高为(x+50)cm，设总费用为y元，
由题意得：，
这是关于一个二次函数．
故选：D．
【点睛】本题考查了列函数关系并判断函数形式，关键是根据题意列出函数关系式．
3．D
【分析】根据底面的周长公式“底面周长=2（长+宽）”可表示出l与x的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积=长×宽×高”可表示出h与x，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．
【详解】解：由底面的周长公式：底面周长=2（长+宽）
可得：
即：
l与x的关系为：一次函数关系．
根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高
可得：
h与x的关系为：反比例函数关系．
故选：D
【点睛】本题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并且能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．
4．B
【分析】根据注水开始一段时间内，当大容器中书面高度小于h时，小水杯中无水进入，此时小水杯水面的高度h为0cm；当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到；然后小水杯水面的高度一直保持在h不再发生变化，对各选项进行判断即可．
【详解】解：由题意知，当大容器中书面高度小于h时，小水杯水面的高度h为0cm；
当大容器中书面高度大于h时，小水杯先匀速进水，此时小水杯水面的高度不断增加，直到；然后小水杯水面的高度一直保持在h不再发生变化；
故选：B．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出一次函数．
5．C
【分析】先求出反比例函数解析式，然后求出当时y的值即可得到答案．
【详解】解：设近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的反比例函数解析式为，
∵小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
∴小明的近视镜度数可以调整为250度，
故选C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于能够正确求出反比例函数解析式．
6．C
【分析】反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】解：反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小，那么：
A、若，且（x1，y1）、(x2，y2)在同一个象限，则，故选项错误，不符合题意；
B、若，且（x1，y1）、(x2，y2)分别在三、一象限内，则，故选项错误，不符合题意；
C、若，则，故选项正确，符合题意；
D、若，则，即y1=y2，另外，还可根据函数的定义：对于自变量x的值，y都有唯一确定的值和它相对应，所以当时，不可能．故选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比较反比例函数值的大小,，解题的关键是数形结合，掌握函数的定义和反比例函数图象的性质．
7．D
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8．B
【分析】根据已知条件求出S随h，S随r变化的函数关系式即可得到解答．
【详解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104，
∴S=，
∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系，
故选B．
【点睛】本题考查函数类型的判别，根据实际问题列出函数解析式并根据解析式的特征判断函数的类型是解题关键．
9．
【分析】先将A点坐标分别代入两个解析式中求解得到正比例函数与反比例函数的解析式，然后联立求解即可得到交点坐标．
【详解】解：将代入得
解得
∴
将代入得
解得
∴
联立直线与双曲线得
∴
整理得
解得或
∴方程组的解为或
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，正比例函数与反比例函数的交点坐标．解题的关键在于求出函数解析式．
10．1
【分析】把代入函数解析式，得到关于k的一元一次方程，求解即可．
【详解】解：把代入函数解析式，
可得，
解得，
故答案为：1．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上的点都会满足其解析式．
11．四
【分析】直接利用反比例函数的性质确定m的取值范围，进而分析得出答案．
【详解】解：∵反比例函数（k≠0）图象在每个象限内y随着x的增大而增大，
∴k＜0，
又反比例函数的图象经过点，
∴
∴
∴在第四象限．
故答案为：四．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆点的坐标的分布是解题关键．
12．
【分析】把，代入反比例函数，求出m、n的值即可．
【详解】∵点，都在反比例函数的图象上
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键．
13．
【分析】把点A、B坐标代入反比例函数，，可知==m-2．由与同号且，考虑A、B在不同象限情况即可求解．
【详解】根据题意，把点A、B坐标代入反比例函数y=．
，，
可知==m-2．
∴=，
∴与同号，
∵，
∴当＜＜0，点A、B在第四象限，，且．
当0
(2)
【分析】（1）①将点A的坐标为分别代入、求解即可；
②根据一次函数和反比例函数的性质，联系图象即可求解；
（2）设 ，可得，根据平移的规律得到新的解析式，将A、B坐标代入，即可求解．
（1）
① 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A
将点A的坐标为分别代入、得
解得
解得
m，k的值分别为-3，2
② m，k的值分别为-3，2
在第一象限内， 随x的增大而增大， 随x的增大而减小
一次函数的图象与反比例函数的图象交于A
即当 时，
当时，
故答案为：>；
（2）
设 ，
点A，B关于原点对称

将一次函数的图象沿y轴向下平移4个单位长度，可得新的解析式为
将A、B坐标代入，可得
解得
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数的平移，一次函数和反比例函数的性质，一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键．
19．(1)
(2)①或 ②-≤b≤
【分析】(1)直线与圆的交点分别为A(0，1)和B(-1，0)，则OA=OB=1，根据勾股定理计算即可．
(2) ① 根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性，确定k的范围．
②分最短弦长2的弦在x轴上方和下方，两种情形求解．
(1)
解：如图1，∵，
∴直线的解析式为y=x+1，
∴直线与y轴的交点为A(0，1)，与x轴的交点为B(-1，0)，
∵的半径为1，
∴圆O与y轴的正半轴交点为A(0，1)，与x轴的负半轴交点为B(-1，0)，
∴直线关于该圆的“圆截距”为AB，
∵OA=OB=1，
∴AB=．
(2)
①如图2，设直线与y轴正半轴交点为A，且A(0，1)
∵点M的坐标为，的半径为1，
∴圆与x轴正半轴交点为B(2，0)，
当时，直线的解析式为y=kx+1，
当直线经过点B时，2k+1=0，
解得k=；
过点M作MF⊥AB，垂足为F，
∵OA=1，OB=2，
∴AB=，
∴sin∠ABO=，
∵MB=1，sin∠ABO=，
∴，，
设直线AB与圆M的另一个交点为C，
则BC=2BF=，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
设直线AM与圆的一个交点为N，
∵点A(0，1)，点M的坐标为，
∴OA=OM，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMN=45°，
根据圆的对称性，直线AB和直线AD关于直线AN对称，此时ED=CB，
∴∠DMN=45°，
∴∠DMB=90°，
∴D的坐标为(1，-1)，
∴k+1=-1，
解得k=-2，
直线AD的解析式为y=-2x+1，
∵关于的“圆截距”小于，
∴k的取值范围是；
综上所述，k的取值范围是或．
②如图3，设圆M与x轴的正半轴交点为A,
当AF=2时，作直线AB交y轴的正半轴于点B，此时b的值最大，
过点M作MD⊥AB，垂足为D，
∵AF=2，
∴AD=1，
∵MA=2，
∴∠DMA=30°，∠BAO=60°，
∵OA=3，tan∠BAO=，
∴OB=OAtan60°=，
此时b的最大值为；
设圆M与x轴的正半轴交点为A,
当AF=2时，作直线AC交y轴的负半轴于点C，此时b的值最小，
过点M作ME⊥AC，垂足为E，
∵AG=2，
∴AE=1，
∵MA=2，
∴∠EMA=30°，∠CAO=60°，
∵OA=3，tan∠CAO=，
∴OC=OAtan60°=，
此时b的最小值为-；
故b的取值范围-≤b≤．
【点睛】本题考查了了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．(1)一次函数表达式为，点的坐标为（﹣4，0）
(2)
【分析】（1）当时，把点C的坐标代入y=kx+4k（k≠0），即可求得k的值，得到一次函数表达式，再求出点A的坐标即可；
（2）根据图像得到不等式，解不等式即可．
(1)
解：∵，
∴将点代入，
解得；
∴一次函数表达式为，
当y＝0时，，
解得x＝﹣4
∵一次函数的图象与x轴交于点A，
∴点的坐标为（﹣4，0）．
(2)
解：∵当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，结合函数图象可知，
当时，，
解得．
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用函数图像解不等式，数形结合是解答本题的关键．
21．(1)①D；10；② ⊙O关于直线n的“特征数”为6；
(2)或
【分析】（1）①根据题干中“远点”及“特征数”的定义直接作答即可；②过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，首先判断直线n也经过点E（0，4），在中，利用三角函数求出∠EFO=60°，进而求出PH的长，再根据“特征数”的定义计算即可；
（2）连接NF并延长，设直线l的解析式为y=kx+b1,用待定系数法得到，再根据两条直线互相垂直，两个一次函数解析式的系数k互为负倒数的关系可设直线NF的解析式为y=x+b2,用待定系数法同理可得，消去b1和b2，得到关于m、n的方程组；根据⊙F关于直线l的“特征数”是，得出NA=，再利用两点之间的距离公式列出方程(m+1)2+n2=，把代入，求出k的值，便得到m、n的值即点A的坐标，再根据待定系数法求直线l的函数表达式．注意有两种情况，不要遗漏．
(1)
解：（1）①⊙O关于直线m的“远点”是点D，
⊙O关于直线m的“特征数”为=2×5=10；
②如下图：过圆心O作OH⊥直线n，垂足为点H，交⊙O于点P、Q，
∵直线n的函数表达式为，
当x=0时，y=4；
当y=0时，x=，
∴直线n经过点E（0，4），点F（，0），
在中，
∵===，
∴∠FEO=30°，
∴∠EFO=60°，
在中，
∵，
∴HO=·FO=2，
∴PH=HO+OP=3，
∴PQ·PH=2×3=6，
∴⊙O关于直线n的“特征数”为6；
(2)
如下图，∵点F是圆心，点是“远点”，
∴连接NF并延长，则直线NF⊥直线l，设NF与直线l的交点为点A（m，n），
设直线l的解析式为y=kx+b1（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=kx+b1中，
②-①得：n-4=mk-k，③
又∵直线NF⊥直线l，
∴设直线NF的解析式为y=x+b2（k≠0）,
将点与A（m，n）代入y=x+b2中，
④-⑤得：-n=+，⑥
联立方程③与方程⑥，得：
解得：，
∴点A的坐标为（，）；
又∵⊙F关于直线l的“特征数”是，⊙F的半径为，
∴NB·NA=，
即2·NA=，
解得：NA=，
∴[m-(-1)]2+(n-0)2=()2，
即(m+1)2+n2=18，
把代入，解得k=-1或k=；
当k=-1时，m=2，n=3，
∴点A的坐标为（2，3），
把点A（2，3）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为；
当k=时，m=，n=，
∴点A的坐标为（，），
把点A（，）与点代入y=kx+b1中，解得直线l的解析式为．
∴直线l的解析式为或．
【点睛】本题是一次函数与圆的综合题，考查了直线与圆的位置关系、一次函数的图象和性质、解直角三角形等，理解“远点”和“特征数”的意义，熟练掌握一次函数的图象和性质、两点之间距离公式、两条直线互相垂直的两个一次函数解析式中系数k互为负倒数的关系是解题的关键．
22．(1)
(2)1；
【分析】（1）利用待定系数法可求得直线的解析式；
（2）①画出图象，确定点B关于x轴的对称点及与直线的交点C，根据图象可求解；②利用图象找到区域W内恰好有1个整点和恰有3个整点时的m的取值即可求解．
(1)
∵直线与坐标轴分别交于，两点,
∴，
解得，且．
(2)
如图所示，点B关于x轴的对称点坐标为(0，-4)
当m=1时，直线l2的解析式为，恰好过(0，-4)，即为交点C，此时区域W内有1个整点E，
故答案为：1
如图所示，当m=1时，直线l2的解析式为，恰好经过整点G，F，
当直线恰好经过整点H时，区域W内恰有3个整点，此时把整点H的坐标(0，-5)代入得，，
解得，
∴区域W内恰有3个整点时，m的取值范围为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，利用图象求解问题，通过画图象确定临界点是解题的关键．
23．(1)双，或
(2)①；②
【分析】（1）根据“双关联直线”定义即可判断，需要利用分类讨论的思想求解；
（2）①过作直线的垂线交于点，明白此时的为最小值，利用等面积法求解；②当与直线垂直时，AP是的“单关联线段”即AP是的切线时，面积最小，因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小．
(1)
解：当与轴重合时，与有两个交点，
由“双关联直线”定义知，
是的“双关联直线”，
设MN与交于C，D两点，
当点在轴正半轴时，
，
，
当点在轴负半轴时，
，
，
故答案为：双，或；
(2)
解：①过作直线的垂线交于点，
即可得到的最小值；
当，
当，
，
由勾股定理得：，
解得：；
②当与直线垂直时，
AP是的“单关联线段”
即AP是的切线时，面积最小，
因为有条直角边为1，当斜边最短时，面积最小，
如下图：
，
．
【点睛】本题考查了新定义问题，垂线段距离最短、一次函数与几何问题、切线的性质、勾股定理，解题的关键是掌握相应的知识，利用分类讨论及数形结合的思想进行求解．
24．(1)
(2)
【分析】（1）由一次函数图象平移可知，将代入，求的值，进而可得一次函数解析式；
（2）如图，由图象可知，时，当x＞0时，对于x的每一个值均有，进而可得答案．
(1)
解：由题意知，
将代入得，
解得
∴一次函数解析式为．
(2)
解：如图，
由图象可知，时，当x＞0时，对于x的每一个值均有
∴的取值范围为．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数解析式，一次函数与不等式等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
25．(1)
(2)
【分析】（1）通过待定系数法将点，代入解析式求出的值，进而可得一次函数表达式；
（2）由题意知，将代入得，则，根据题意：， 如图，当时，与平行，可知当时，成立；当时，将代入中得，解得，由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；进而可得m的取值范围．
(1)
∵一次函数的图象经过点，，
∴，
解得：，
∴一次函数的表达式为：．
(2)
解：由（1）得：，将代入得，则
根据题意：， 如图，
当时，与平行，可知当时，成立；
当时，将代入中得，解得
由一次函数的图象与性质可知，当时，当时，成立；
综上所述，
∴m的取值范围为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质．运用数形结合的思想是解题的关键．
26．(1)①（1.5，0）或（﹣4.5 ，0），② 3
(2)1－≤b≤1＋
【分析】（1）①根据点的坐标为，点的2倍关联点在轴上，利用关联点的定义即可求解；②根据点是点的倍关联点，且满足，，列出不等式，即可求解；
（2）根据当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，分两种情况解答即可．
(1)
解：①∵点的坐标为，
∴ 点到原点的距离为1.5，
∴ a＝1.5，
∵点的2倍关联点在轴上
∴2a＝3
∴点M的横坐标为-1.5＋3＝1.5或﹣1.5－3＝﹣4.5
∴点M的坐标是（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）
故答案为：（1.5，0）或（﹣4.5 ，0）
②∵点是点的倍关联点，且满足，
∴a＝1.5
∴点M的坐标是（-1.5，1.5k）
当时，即，解得，
当时，即，解得，
∴ k的取值范围为，
∵ k是整数，
∴k的最大值是3
故答案为：3
(2)
解：∵点的坐标为
∴a＝1，
∴的2倍关联点在以点为圆心，半径为2 的圆上
∵在函数的图象上存在的2倍关联点，
∴当直线与⊙相切时，即直线和，b分别取最大值b1和最小值b2，如图所示，
在Rt△AB中，∠AB＝90°，∠AB＝45°，A＝2
∴sin∠AB＝
∴
∴点B的坐标是（1＋，0）
代入得
﹣（1＋）＋b1＝0
解得b1＝1＋
∴直线AB为
在Rt△CD中，∠DC＝90°，∠DC＝45°，D＝2
∴sin∠DC＝
∴
∴点C的坐标是（1－，0）
代入得
﹣（1－）＋b2＝0
解得b2＝1－
∴直线CD为
∴1－≤b≤1＋
【点睛】本题主要考查了坐标系中的点之间的距离，一次函数的图像和性质，圆的切线、解直角三角形等知识，数形结合是解决此题的关键．
27．(1)
(2)
【分析】（1）根据一次函数图象平移时k不变可知，再把点A（2，2）代入求出b的值，进而可得出结论．
（2）由函数解析式可知其经过点（0，-1），由题意可得临界值为当，两条直线都过点A（2，2），将点A（2，2）代入到一次函数，可求出m的值，结合函数图象的性质即可得出m的取值范围．
(1)
解：∵一次函数 的图象与函数的图象平行，
∴，
∵一次函数的图象过点A（2，2），
∴，
∴，
∴这个一次函数的表达式为；
(2)
对于一次函数，当时，有，可知其经过点（0，-1）．
当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于一次函数的值，即一次函数图象在函数的图像上方，由下图可知：
临界值为当时，两条直线都过点A（2，2），
将点A（2，2）代入到函数中，
可得 ，解得，
结合函数图象及性质可知，当，时，一次函数的值大于一次函数的值，
又∵如下图，当时，，根据一次函数的图象可知，不符合题意．
∴m的取值范围为：．
【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换、待定系数法求函数解析式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质，学会运用数形结合的思想思考问题是解题关键．
28．(1)n=4；b=3；
(2)b＞
【分析】（1）将点A（2，n）代入y=2x，求出n的值，得到A点坐标，再将点A坐标代入直线l1的表达式求得b的值；
（2）把x=t分别代入直线l1与直线l2的解析式，求出C，D两点的纵坐标，根据点C位于点D上方，列出关于t的不等式，即可求解．
(1)
解：当m=2时，，
∵直线过点，
∴n=2×2=4，
∴，
∵直线过点，
∴，
解得：b=3，
(2)
∵过动点P（t，0）且垂直于x轴的直线与l1，l2的交点分别为C，D，
∴C（t，），D（t，2t），
∵点C位于点D上方，
∴＞2t，
解得b＞，
∵，
∴b＞．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，难度适中．
29．(1)C1、C3
(2)1≤b3
(3)≤d≤
【分析】（1）根据“友好点”的定义逐个判断即可；
（2）分两种情况讨论，直线PQ在点C上方或下方．过B作PQ的垂线，垂足为B，交x轴于H，根据题目中的定义知：BQ或BP的长度要大于或等于BC的长度，求解即可；
（3）首先分析得到E点的运动范围，作出图形知OE≥2，当EH平分∠FEO时，其中H（2，0），是其最大临界值，根据勾股定理求出最大值为，即得结论．
(1)
解：如图所示，
由题意知三角形OC1M为等腰直角三角形，C1符合题意；
过C2作C2A⊥OM于A，则AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合题意；
过C3作C3B⊥OM于B，则C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合题意；
故答案为：C1、C3．
(2)
解：分两种情况讨论，当直线PQ在C点上方时，过C作CB⊥PQ于B，延长BC交x轴于H，如图所示，
则△BPH为等腰直角三角形，BP=BH>BC，
故在线段PQ上必存在A点，使得∠ABC=90°，AB=BC，
将x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，
即b>3；
当直线PQ在C点下方时，过C作CB⊥PQ于B，CB延长线交x轴于H，
则当BQ≥BC时，符合题意，
当直线PQ过H点时，BQ=BC，如图所示，
此时，－1+b=0，即b=1，
即1≤b