黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

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二. 多选题 9.BC 10.BCD 11.ACD
三. 填空题
四. 解答题
15.解：（1）由题知 ，
当 时， 恒成立，故 在 上单调递增，
当 时，由 得 ，（舍负），
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递增，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）因为 ， ，
因为 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值， ，
， ，
由于 ，则 ，
故 时， 的最小值为 ，最大值为 .
16.解（1）依据散点图可以判断， 更适合作为未佩戴头盔人数 与天数 的回归方程类型.
（2）由 ，得 ，
依题意得 ，
，
所以 ，即 .
（3）零假设 ：市民佩戴头盔与性别无关联.
根据列联表中的数据，经计算得到：
，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为市民佩戴头盔与性别有关联，
此推断犯错误的概率不超过 0.10.
17.解：（1）证明：因为 ，
所以当 ， 时， ，
即
又 时， ，
所以数列 为首项为 1，公比为 3 的等比数列．
（2）由（1）知 ，所以 ，
又由 ，可得 ，
所以
18.解：（1）解： ，由已知可得 ，解得 .
（2）解：
① 时， ， 在 单调递增，无极值点；
② 时，令
令 ，
为 的极大值点.
（3）解： ，
，
令 ，解得 ， ；
， ，
在 上单调递增；在 上单调递减；
在 上单调递增.
①若 ，即 时，最大值为 ，
解得 ，
②若 ，解得 时，最大值为 ；
③若 时，即 时，最大值为 ，
综上所述， 在区间 上的最大值为 1，则 a 的取值范围为 .
19 解：（1） ，令
在 单调递增，又 时， ，即 在 单调递减，
时， ，即 在 单调递增. 的减区间为 ，增区间为 .
（2）证明：（法一）易证 （略），不能同时取等，故 .
（法二）令 在 上递增，
又 使得
在 单调递减，在 单调递增 ，又
.
(3)解：（法一） ，令
在 上递增，又
令 ，令
.
（法二）设 ，则 ，
设 ，则 ，
因为 在 上递增，
所以当 时， ，当 时，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
令 ，则
所以 在 递减，
因为 ，
所以 ，所以 ．