2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（下）期末数学试卷

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（下）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜6}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}
2．（5分）已知复数，则|z|＝（ ）
A．3B．C．4D．5
3．（5分）某同学掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数．则可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2
B．中位数为3，众数为2
C．中位数3，方差为2.8
D．平均数为2，方差为2.4
4．（5分）已知tanα，α为第三象限角，则sinα+csα＝（ ）
A．B．﹣2C．D．﹣2
5．（5分）函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a＞3B．﹣1＜a＜3C．a＜﹣1或a＞3D．a＜0
6．（5分）设点A（﹣1，0）、B（1，0），若直线2x+y﹣b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣2，2]
7．（5分）已知正数x，y满足，则当xy取得最小值时，x+2y＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知四面体A﹣BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，则球O的表面积为（ ）
A．B．14πC．28πD．32π
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
（多选）9．（6分）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与D互为对立
C．B与C互斥D．B与D相互独立
（多选）10．（6分）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于对称
C．f（x）在区间上单调递减
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合
（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得PQ∥BD
B．存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C．三棱锥Q﹣APD的体积不是定值
D．存在点Q，使得PQ⊥AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量，，若，共线，则k＝ ．
13．（5分）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为 ．
14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则△ABC的周长为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（14分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且b2+c2+bc＝a2．
（1）求角A；
（2）若，b+c＝4，求△ABC的面积．
16．（15分）已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，，PA＝3PD＝3．
（1）求证：AB⊥平面PBD；
（2）求三棱锥B﹣DEP的体积．
17．（15分）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计这600名学生成绩的中位数；
（3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在[40，60），[90，100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
18．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥平面PCE；
（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；
（3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
19．（17分）若函数y＝f（x）满足且，则称函数y＝f（x）为“M函数”．
（1）试判断是否为“M函数”，并说明理由；
（2）函数g（x）为“M函数”，其在的图像落在直线6x+8y+3π＝0上，在函数g（x）图像上任取一点P，对于定点A（2024π，0），求线段AP的最小值；
（3）函数f（x）为“M函数”，且当时，y＝sinx，求f（x）的解析式；若当x∈，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
二．多选题（共3小题）
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣x＜6}，B＝{x|x+1＞0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2＜x＜3}B．{x|﹣2＜x＜﹣1}C．{x|﹣1＜x＜3}D．{x|﹣1＜x＜2}
【分析】求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x＜6}＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x+1＞0}＝{x|x＞﹣1}，
故A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）已知复数，则|z|＝（ ）
A．3B．C．4D．5
【分析】先将复数z化简，再求模．
【解答】解：，所以．
故选：B．
【点评】本题考查复数的运算，属于基础题．
3．（5分）某同学掷骰子5次，并记录每次骰子出现的点数．则可以判断出这组数据一定没有出现点数6的是（ ）
A．平均数为3，中位数为2
B．中位数为3，众数为2
C．中位数3，方差为2.8
D．平均数为2，方差为2.4
【分析】对于ABC中数据都不能判断这组数据是否出现点数6；
对于D，假设这组数据出现点数6，又因为平均数为2，以此可计算方差，可判断D．
【解答】解：对于ABC中数据都不能判断这组数据是否出现点数6，∴不选ABC；
对于D，假设这组数据出现点数6，又因为平均数为2，可计算方差大于2.4，∴选D．
故选：D．
【点评】本题考查数据的平均数、中位数、众数、方差，考查数学运算能力及数据分析能力，属于基础题．
4．（5分）已知tanα，α为第三象限角，则sinα+csα＝（ ）
A．B．﹣2C．D．﹣2
【分析】利用同角三角函数基本关系式，求解处sinα和csα的值可得答案．
【解答】解：由tanα，得sinαcsα，sin2α+cs2α＝1，可得cs2α，
又α为第三象限角，∴
∴sinα+csα＝3csα
故选：C．
【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．
5．（5分）函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点的充分不必要条件是（ ）
A．a＞3B．﹣1＜a＜3C．a＜﹣1或a＞3D．a＜0
【分析】由题意求出a的取值范围，结合选项判断哪个选项对应集合为其真子集，即可确定答案．
【解答】解：函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点，则x2+（a﹣1）x+1＝0有2个不等实数根，
即（a﹣1）2﹣4＞0，所以a＞3或a＜﹣1，
所以函数有两个零点的充要条件为：（3，+∞）∪（﹣∞，﹣1），
故a＞3为函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点的充分不必要条件，
显然﹣1＜a＜3，a＜0均不能推出a＞3或a＜﹣1，不符合题意；
所以a＞3是函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点的充分必要条件．
a＜﹣1是函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+1有两个零点的充分必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查函数有零点的充要条件的求法，属于基础题．
6．（5分）设点A（﹣1，0）、B（1，0），若直线2x+y﹣b＝0与线段AB相交，则b的取值范围是（ ）
A．[2，+∞）B．[0，2]C．[﹣2，2]D．（﹣2，2]
【分析】由题意知，两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b＝0的两侧，利用直线两侧的点的坐标代入直线的方程2x+y﹣b＝0中的左式，得到的结果为异号，得到不等式，解之即得m的取值范围．
【解答】解：由题意得：
两点A（﹣1，0），B（1，0），分布在直线2x+y﹣b＝0的两侧，
∴（﹣2﹣b）（2﹣b）≤0，
∴b∈[﹣2，2]．
故选：C．
【点评】本题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、点与直线的位置关系、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）已知正数x，y满足，则当xy取得最小值时，x+2y＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，利用基本不等式得到，即xy，整理得，然后根据取等号的条件，算出x+2y的值．
【解答】解：根据题意，可得xy，
即xy，两边平方，整理得，当且仅当，即x＝4，时取得等号，
因此，当xy取得最小值时，．
故选：A．
【点评】本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用，考查了计算能力，属于中档题．
8．（5分）已知四面体A﹣BCD的各顶点均在球O的球面上，平面ABC⊥平面BCD，AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，则球O的表面积为（ ）
A．B．14πC．28πD．32π
【分析】本题首先可根据题意将四面体A﹣BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，然后求出直三棱柱的外接球的半径，最后根据球的表面积计算公式即可得出结果．
【解答】解：因为平面ABC⊥平面BCD，
AB＝BC＝AC＝CD＝2，BC⊥CD，
所以可将四面体A﹣BCD看作底面是等边三角形的直三棱柱的一部分，
如图所示：
则四面体ABCD的外接球即直三棱柱的外接球，
因为底面三角形ABC的外心到三角形ABC的顶点的长度为，
所以直三棱柱的外接球的半径，
则球O的表面积．
故选：A．
【点评】本题考查四面体的外接球的表面积的求法，考查四面体、球等基础知识，是中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
（多选）9．（6分）盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件A＝“两个球颜色相同”，B＝“第1次取出的是红球”，C＝“第2次取出的是红球”，D＝“两个球颜色不同”．则下列说法正确的是（ ）
A．A与B相互独立B．A与D互为对立
C．B与C互斥D．B与D相互独立
【分析】根据事件相互独立、互斥、对立的概念，逐一判断可得选项．
【解答】解：盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，共4×3＝12个基本事件，
事件A共4个基本事件，事件B共6个基本事件，事件C共6个基本事件，事件D共8个基本事件，
A．由于P（A），P（B），P（A•B），故P（A）•P（B）＝P（A•B）成立，所以A与B相互独立，故A正确；
B．由于A∩D＝Ø，A∪D＝Ω，故A与D是对立事件，故B正确；
C．由于B∩C≠Ø，故B与C不互斥，故C不正确；
D．由于P（D），P（B），P（B•D），故P（B）•P（D）＝P（B•D）成立，所以B与D相互独立，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查的知识点是互斥事件和对立事件，难度不大，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数，则下列命题正确的是（ ）
A．f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）的图象关于对称
C．f（x）在区间上单调递减
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度后所得到的图象与函数y＝2sin2x的图象重合
【分析】根据二倍角的正弦公式和辅助角公式可得f（x）＝2cs（2x），结合余弦函数的图象与性质依次判断选项即可求解．
【解答】解：．
A：函数f（x）的最小正周期为，故A正确；
B：，为f（x）的最小值，故B正确；
C：由，得，所以函数f（x）在上单调递增，故C错误；
D：将函数f（x）图象向左平移个单位长度，
得图象，
与函数y＝2sin2x的图象不重合，故D错误；
故选：AB．
【点评】本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（6分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段A1C1的中点，Q为线段BC1上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点Q，使得PQ∥BD
B．存在点Q，使得PQ⊥平面AB1C1D
C．三棱锥Q﹣APD的体积不是定值
D．存在点Q，使得PQ⊥AC
【分析】直接证明A错误；利用直线与平面垂直的判定判断B；分析BC1与面APD不平行判断C；举例说明D正确．
【解答】解：对于A、正方体中，BD∥B1D1，而P为线段A1C1的中点，即为B1D1的中点，
∴B1D1∩PQ＝P，故BD，PQ不可能平行，故A错误；
对于B、若Q为BC1的中点，则PQ∥A1B，而A1B⊥AB1，故PQ⊥AB1，
又AD⊥面ABB1A1，A1B⊂面ABB1A1，则A1B⊥AD，故PQ⊥AD，
AB1∩AD＝A，AB1，AD⊂面AB1C1D，则PQ⊥面AB1C1D，
∴存在Q使得PQ⊥平面AB1C1D，故B正确；
对于C、由正方体的性质知，BC1∥AD1，而AD1∩面APD＝A，故BC1与面APD不平行，
∴Q在线段BC1上运动时，到面APD的距离不一定相等，
故三棱锥Q﹣APD的体积不是定值，故C正确；
对于D、∵PQ⊂平面A1B1C，而当Q与B重合时，PQ⊥A1C1，
又AC∥A1C1，则PQ⊥AC，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查线线平行的判断，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，线线角的求解，属中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知向量，，若，共线，则k＝ ﹣14 ．
【分析】根据向量共线即可确定k的取值．
【解答】解：向量，，
若，共线，则有，则有﹣2k＝28，k＝﹣14．
故答案为：﹣14．
【点评】本题考查共线向量，属于基础题．
13．（5分）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为 45π ．
【分析】根据题意，设原来圆锥的母线长为l，由圆锥的结构特征可得，求出l的值，进而求出原来圆锥的侧面积和截去圆锥的侧面积，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设原来圆锥的母线长为l，其底面半径为4，
其轴截面如图：
截去圆锥的底面半径为1，母线长为3，
则有，解可得l＝12，
则原来圆锥的侧面积S1＝π×4×12＝48π，截去圆锥的侧面积S2＝π×1×3＝3π，
故所得圆台的侧面积S＝S1﹣S2＝45π．
故答案为：45π．
【点评】本题考查圆锥的侧面积计算，涉及圆锥的结构特征，属于基础题．
14．（5分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，，且，则△ABC的周长为 9 ．
【分析】由题知sinB＝2sinC，进而结合题意得角C的正弦值，余弦值，再根据余弦定理解方程即可得答案．
【解答】解：因为b＝2c，由正弦定理可得：sinB＝2sinC，b＞c，
又因为，
所以，又C为锐角，所以，
由余弦定理得，解得c＝2或，
因为当时，b＝2c＝a＝3，此时∠ABC一定不是钝角，故舍去．
所以c＝2，所以△ABC的周长为2+4+3＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（14分）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且b2+c2+bc＝a2．
（1）求角A；
（2）若，b+c＝4，求△ABC的面积．
【分析】（1）由已知，根据余弦定理求得，然后根据特殊角的三角函数值求解即可；
（2）结合完全平方和公式，利用余弦定理求得bc＝4，然后代入三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由已知及余弦定理，
得a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2+bc，
所以，又0＜A＜π，
所以；
（2）由b+c＝4，可得（b+c）2＝b2+c2+2bc＝16，
所以b2+c2＝16﹣2bc，
因为，a2＝b2+c2+bc，
故12＝16﹣bc，故bc＝4，又，
所以．
【点评】本题考查余弦定理及三角形面积求法，属中档题．
16．（15分）已知四边形ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，△ABD为等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为PA的中点，，PA＝3PD＝3．
（1）求证：AB⊥平面PBD；
（2）求三棱锥B﹣DEP的体积．
【分析】（1）通过计算说明PD⊥AD，利用平面与平面的垂直，证明PD⊥AB，即可证明AB⊥平面PBD；
（2）求出点E到平面PBD的距离，即可通过体积公式求解．
【解答】解：（1）证明：由题意，PA＝3PD＝3，满足AD2+PD2＝AP2，
∴PD⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
∴PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥AB，又BD⊥AB，PD∩BD＝D，
∴AB⊥平面PBD；
（2）由（1）得AB⊥平面PBD，又E为PA的中点，
所以点E到平面PBD的距离为AB的一半，设为d，
∵，△ABD为等腰直角三角形，
∴AB＝2，则d＝1，
∴．
【点评】本题主要考查了直线与平面垂直判断定理的应用，考查了几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，属于中档题．
17．（15分）亚运聚欢潮，璀璨共此时.2023年9月第19届亚洲运动会在杭州举办，来自亚洲45个国家和地区的1万多名运动员在这里团结交流、收获友谊，奋勇拼搏、超越自我，共同创造了亚洲体育新的辉煌和荣光，赢得了亚奥理事会大家庭和国际社会的广泛好评．亚运会圆满结束后，杭州某学校组织学生参加与本届亚运会有关的知识竞赛．为更好地了解该校学生对本届亚运会有关赛事和知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了600名学生进行调查，成绩全部分布在40～100分之间，根据调查的结果绘制的学生成绩频率分布直方图如图所示，
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计这600名学生成绩的中位数；
（3）根据频率分布直方图，按分层抽样的方法从成绩在[40，60），[90，100]的学生中选取5人，再从这5人中任意选取2人，求这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
【分析】（1）根据各矩形面积之和为1，列式计算，即可求得a的值；
（2）根据频率分布直方图，结合中位数的求解方法，即可求得答案；
（3）求出[40，60），[90，100]内的人数之比，根据分层抽样可求得两组各抽取的人数，列举出从这5人中任意选取2人的所有可能情况，再列举出这2人中至少有1人成绩不低于90分的情况，根据古典概型的概率公式，即可求得答案．
【解答】解：（1）由频率分布直方图，得10×（0.004+0.008+0.012+a+0.026+0.032）＝1，
解得a＝0.018；
（2）由频率分布直方图，得10×（0.004+0.008+0.012）＝0.24＜0.5，
10×（0.004+0.008+0.012+0.026）＝0.5，
则估计这600名学生成绩的中位数为80；
（3）由题意得，成绩在[40，60）的频率为0.012×10＝0.12，
成绩在[90，100]的频率为0.018×10＝0.18，频率之比为2：3，
所以按分层抽样的方法从中选取5人，成绩在[40，60）的学生有2人，分别记为a1，a2，
成绩在[90，100]的学生有3人，分别记为b1，b2，b3，
从这5人中任意选取2人，有a1a2，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3，共10种选法，
其中至少有1人成绩不低于90分的选法有a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，b1b2，b1b3，b2b3，共9种，
所以这2人中至少有1人成绩不低于90分的概率．
【点评】本题考查频率分布直方图、中位数、古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（16分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，AD⊥DC，，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．
（1）求证：AB∥平面PCE；
（2）求证：平面PAB⊥平面PBD；
（3）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．
【分析】（1）连接CE，先证四边形ABCE是平行四边形，可得AB∥CE，再由线面平行的判定定理，即可得证；
（2）先利用勾股定理证明AB⊥BD，由PA⊥平面ABCD，知PA⊥BD，再由线面、面面垂直的判定定理，即可得证；
（3）由AD⊥CD，PD⊥CD，根据二面角的定义知∠ADP＝45°，由平面PAB⊥平面PBD，知∠APB即为所求，再由三角函数的知识，求解即可．
【解答】（1）证明：连接CE，
因为AD∥BC，，且E是AD的中点，
所以AE∥BC，AE＝BC，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以AB∥CE，
又AB⊄平面PCE，CE⊂平面PCE，
所以AB∥平面PCE．
（2）证明：在直角梯形ABCD中，，
所以AB，BD，
所以AB2+BD2＝AD2，即AB⊥BD，
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AB∩PA＝A，AB、PA⊂平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，
又BD⊂平面PBD，
所以平面PAB⊥平面PBD．
（3）解：因为PA⊥平面ABCD，AD⊥DC，
所以由三垂线定理知，PD⊥CD，
所以∠ADP就是二面角P﹣CD﹣A的平面角，即∠ADP＝45°，
所以PA＝AD＝2，
所以PB，
由（2）知，平面PAB⊥平面PBD，
所以直线PA与平面PBD所成角即为∠APB，
在Rt△PAB中，sin∠APB，
故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为．
【点评】本题考查立体几何的综合应用，熟练掌握线与面平行或垂直的判定定理、性质定理，线面角、二面角的定义与找法是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
19．（17分）若函数y＝f（x）满足且，则称函数y＝f（x）为“M函数”．
（1）试判断是否为“M函数”，并说明理由；
（2）函数g（x）为“M函数”，其在的图像落在直线6x+8y+3π＝0上，在函数g（x）图像上任取一点P，对于定点A（2024π，0），求线段AP的最小值；
（3）函数f（x）为“M函数”，且当时，y＝sinx，求f（x）的解析式；若当x∈，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解，记该方程所有解的和为S，求S．
【分析】（1）由“M函数”的定义，即可判断；
（2）结合函数的周期性和对称性，画出函数的图象，利用数形结合转化为点到直线的距离，即可求解；
（3）首先结合“M函数”的定义，利用周期性和对称性求函数的解析式，再画出函数的图象，讨论a得到取值，利用对称性求和．
【解答】解：（1）的周期为，满足
，．
，所以函数不是“M函数”；
（2）若g（x）为“M函数”，满足且
所以函数的周期为，且函数关于对称，
根据，函数g（x）的图象落在直线6x+8y+3π＝0上，利用对称性和周期性画出函数g（x）的图象，

设x∈[，π]，
所以
根据周期可知，的图象，如上图所示，
线段AP的最小值就是如图点A到直线的距离，根据周期转化为到直线的距离，
即 ，
所以AP的最小值为．
（3）设，则
所以，
，则，
，
设，则
，
所以f（x），
所以，
作出函数f（x）的图象，如图所示，

关于x的方程f（x）＝a（a为常数）有解等价于函数y＝f（x）与y＝a的图象有交点，
由图可知，当a＝0时，方程f（x）＝a（a为常数）有3个解，
则方程所有的解的和为，
或a＝1时，方程f（x）＝a（a为常数）有4个解，其方程所有解的和，
当时，方程f（x）＝a（a为常数）有6个解，其方程所有解的和，
当时，方程f（x）＝a（a为常数）有8个解，其方程所有解的和
综上所述，当，关于x的方程f（x）＝a（a为常数）所有解的和为S，则．
【点评】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质，考查了数形结合思想，属于难题．
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答案
C
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C
A
C
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ABD
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BCD