广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2024-2025学年高一下学期5月 数学月考模拟卷（含解析）

这是一份广东省惠州市惠阳区泰雅实验学校2024-2025学年高一下学期5月 数学月考模拟卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知，其中为虚数单位，是的共轭复数，则（ ）
A．B．2C．D．8
2．下列结论正确的是（ ）
A．若与都是单位向量，则
B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量
C．直角坐标平面上的轴，轴都是向量
D．若与是平行向量，则
3．已知点M是平行六面体的面对角线上的动点，则下列直线中与恒为异面直线的是（ ）
A． B． C．CDD．
4．下列四个命题中正确的是（ ）
A．所有棱长都相等的直四棱柱是正方体
B．正三棱锥的每个面都是正三角形
C．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
D．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
5．下图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下判断：①BF与DN平行；②CM与BN是异面直线；③DF与BN垂直；④AE与DN是异面直线．则判断正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长之比为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，为线段上一点，若，则（ ）

A．B．C．D．
8．在锐角三角形中，内角的对边分别为，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知平面向量，，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．，则
C．若与的夹角为锐角，则的取值范围为
D．若，则在上的投影向量是
10．圆台的上下底分别是直径为2、4的圆，高为2，则（ ）
A．圆台的表面积为B．圆台的体积为
C．圆台外接球表面积为D．圆台能装下最大球的体积为
11．如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中错误的是（ ）
A．在点运动过程中，直线与始终为异面直线
B．三棱锥的体积为定值
C．异面直线与直线所成的角为定值
D．在点运动过程中，不存在某个位置，使得面平面
三、填空题
12．已知，则复数的虚部是 .
13．如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为 .
14．某半球形容器如图（左）所示，底面圆的半径为2.往其中放入四个大小相同的小球，每个小球都与半球面相切，也与底面相切，其俯视图如图（右）所示，则小球的表面积等于 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)若z为纯虚数，求a的值；
(2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值．
16．已知三棱柱（如图所示），底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）证明：平面；
（3）求三棱锥的体积.
17．已知向量，.
(1)求的值；
(2)若，，且，，三点共线，求实数的值.
18．在中，角、、所对的边分别为、、，且，.
(1)求；
(2)若为锐角三角形，求的面积范围.
19．如下如图，水平桌面上放置一个透明塑料制成的长方体水槽，水面高度恰为长方体高的一半，在该长方体侧面上有一个小孔点到的距离为3.将该长方体水槽绕倾斜（始终在桌面上，如下如图所示），此时水恰好流出时，液面与棱分别相交于点.
(1)证明：四边形是矩形；
(2)当水恰好流出时，求二面角的大小.
泰雅实验学校2025年5月高一数学月考模拟卷
参考答案
1．C
【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念可得，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】由，得，
所以，所以.
故选：C
2．B
【分析】根据单位向量、方位角、平行（共线）向量等的定义判断各项的正误.
【详解】A：由单位向量只是模长相等，但方向任意，故不一定成立，错；
B：如下图，上北右东，则南偏西60°的向量，北偏东60°的向量，
显然它们是方向相反的向量，即为共线向量，对；
C：直角坐标系中，、轴有方向，但无大小，与向量的概念不符，错；
D：与是平行向量，也有可能方向相反的情况，故不一定成立，错.
故选：B
3．C
【分析】举反例，排除ABD，结合异面直线定义证明C正确.
【详解】对于A，当点位于位置时，直线与直线相交，故A错误；
对于D，当点位于位置时，直线与直线相交，故D错误；
对于B，当点位于的中点时，如图，
因为四边形为平行四边形，所以也为的中点，
因为，所以四点共面，所以与共面，故B错误；
对于C，直线平面，直线平面，
点不在直线上，所以直线与直线为异面直线，故C正确；
故选：C.
4．D
【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义综合分析可知D正确，C错误.
【详解】对于A，底面是菱形的直四棱柱，其侧棱长与底面边长相等时，
该直四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，故A错误；
对于B：正三棱锥的底面为正三角形，侧面不一定都是正三角形，只需是等腰三角形，
且能保证顶点在底面内的投影在底面正三角形的中心即可，故B错误；
对于C：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，
以斜边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体是两个同底的圆锥组合而成的几何体，故C错误；
对于D：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，即D正确；
故选：D
5．B
【分析】还原为正方体根据空间直线的位置关系结合正方体的性质即得.
【详解】把平面展开图折起，得到如图所示的正方体,
则BF与DN是异面直线，故①错误；
CM与BN平行，故②错误；
由题可知，所以DF与BN垂直，故③正确；
AE与DN是异面直线，故④正确；
故正确个数为2．
故选：B.
6．A
【分析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为，由题意可得，化简即可得出答案.
【详解】设圆柱与圆锥的底面半径分别为，母线长分别为，高均为，
由题意可得：，即，
化简可得：，
故选：A.
7．D
【分析】设，由平面向量的线性运算可得出关于的表达式，结合平面向量的基本定理可得出关于实数、的方程组，解之即可.
【详解】在中，为线段上靠近点的三等分点，则，
因为为线段上一点，设，
即，整理得
，
又因为，、不共线，
所以，，解得.
故选：D.
8．C
【分析】由已知条件结合余弦定理可得，利用正弦定理边化角得，求得，结合是锐角三角形和三角形内角和定理求出，再由正弦定理结合三角恒等变换可得，运算得解.
【详解】由余弦定理，与联立，可得，
即，由正弦定理可得，，即，
故或（舍去），
因为，故，故，
所以，因为是锐角三角形，
所以，解得，则，
所以
.
故选：C.
9．ABD
【分析】根据平行和垂直的坐标关系即可求解AB，根据数量积的坐标运算即可求解C,根据投影向量的计算公式即可求解D.
【详解】对于A, 若，则,故A正确，
对于B,若，则，故，B正确，
对于C, ，当时，，
而当时，此时共线且方向相同，
故与的夹角为锐角，则的取值范围为，C错误，
对于D, 时，则在上的投影向量是，故D正确，
故选：ABD
10．BC
【分析】A选项，作出辅助线，得到圆台的母线长，进而求出侧面积，加上上下底面积，得到表面积；B选项，利用台体体积公式进行计算；C选项，作出辅助线，得到外接球半径，求出表面积；D选项，当为球的直径时，球的体积为，故得到圆台能装下最大球的体积小于等于，D错误.
【详解】A选项，圆台的上底面面积为，下底面面积为，
由题意得，过点作⊥于点，
则，由勾股定理得，
故侧面积为，
故表面积为，A错误；
B选项，圆台的体积为，B正确；
C选项，设外接球球心为，连接，则，
设，则，
由勾股定理得，即，
同理可得，
故，解得，
故，故圆台外接球表面积为，C正确；
D选项，当为球的直径时，即半径为1，此时球的体积为，
故圆台能装下最大球的体积不会大于，D错误.
故选：BC
11．ABC
【解析】结合异面直线的定义，可判定A准确；根据三棱锥的体积，可判定B正确；根据线面垂直的性质，可判定C正确；根据线面平行的性质，可判定D不正确，即可得到答案.
【详解】由题意，在正方体中，点在线段上运动，当在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内，所以直线与始终为异面直线，故A正确；
由三棱锥的体积，其中的面积为定值，
又由直线平面，所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
在正方体中，平面，因为平面，
所以，又由，可证得平面，
又因为平面，所以异面直线与直线所成的角为，故C正确；
当点与点重合时，根据正方体的结构特征，可得平面平面，
即存在点，使得平面平面，所以D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题主要考查了正方体的几何结构特征，异面直线的判定，以及线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记正方体的结构特征，异面直线的定义，以及熟练应用线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键，着重考查推理与论证能力，属于中档试题.
12．
【解析】利用复数的乘方，将，转化为，从而得到复数，进而可求得其虚部.
【详解】因为，
所以
所以
所以复数的虚部是
故答案为：
【点睛】本题主要考查复数的乘方和复数相等以及复数的概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13．10
【分析】根据斜二测画法的原则还原四边形进行求解即可.
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.
故答案为：10
14．
【分析】设四个小球的球心分别为，半径为，其在底面上的射影分别为，半球形容器的球心为，作出草图，在直角三角形中，利用数量关系和勾股定理即可求出小球的半径，即可求出小球的表面积；
【详解】设四个小球的球心分别为，半径为，其在底面上的射影分别为，半球形容器的球心为，如图所示，在长方体中，，,
连接则，
在直角三角形中，，即，
解得或（舍去）；
所以小球的表面积.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.
15．(1)；
(2)，最小值为.
【分析】（1）由纯虚数的定义列式求出值.
（2）求出复数对应点的坐标，列出不等式组求出范围；再由复数模的定义，结合二次函数求出最小值.
【详解】（1）复数为纯虚数，则且，
所以.
（2）复数在复平面内对应的点位于第二象限，
则且，解得，
，当且仅当时取等号，
所以a的取值范围是，的最小值为.
16．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【分析】（1）连接，证得底面，得到，再在正证得，结合线面垂直的判定地鞥了，即可证得平面；
（2）连接交与，得出，结合线面平行的判定定理，即可证得平面.
（3）取的中点，连接，证得可得平面，得出为三棱锥的高，且，结合体积公式，即可求解.
【详解】（1）连接，由底面，且，可得底面，
又由底面，所以，
又因为为正边的中点，所以，
因为，且平面，
所以平面.
（2）连接交与，则为的中点，连接，则.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）因为，.
取的中点，连接，则，可得平面，
即为三棱锥的高，，
三棱锥的体积.
【点睛】本题主要考查了空间中位置关系的判定与证明，以及几何体的体积的计算，对于空间几何体体积问题的常见类型及解题策略：①若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．②若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据平面向量的坐标运算可得的坐标，从而利用坐标运算得模长；
（2）根据平面向量共线的坐标运算列方程求得实数的值.
【详解】（1）因为向量，，
所以，
故；
（2），，
因为，，三点共线，
所以，解得.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据，，利用正弦定理得到，再利用三角恒等变换求解；
（2）设的外接圆半径为，得到，再由求解.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为，
所以，则，
因为，
所以，又，则，
所以.
（2）设的外接圆半径为，则，
所以，
，
，
，
，
因为为锐角三角形，
所以，解得，
则，
则，
所以，
所以的面积范围.
19．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据面面平行的性质可得、，则四边形是平行四边形，结合线面垂直的性质可得，即可证明；
（2）根据柱体的体积公式可得，由（1）可知即为所求的平面角，求出即可.
【详解】（1）因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，
所以四边形是平行四边形，
因为始终在桌面上，所以，
在长方体中，平面平面，
所以，即，所以四边形是矩形.
（2）由题意知，，水的体积为，
所以，即，所以，
由（1）知，桌面与水面平行，所以二面角即为二面角，
由（1）知，又，所以，
所以即为所求的平面角，在直角梯形中，，
所以，所以二面角的大小为.
【点睛】方法点睛：利用定义法求二面角的步骤：
①先在公共棱上任取一点；
②过这点在两个平面内分别引棱的垂线；
③这两条垂线所成的角即为二面角的平面角；
④解平面角所在的三角形即可.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
D
B
A
C
C
ABD
BC
题号
11









答案
ABC