青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷及参考答案

这是一份青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷及参考答案，文件包含青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷docx、青竹湖湘一外国语学校2025年中考二模数学试卷答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
1.下列全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】试题解析：选项A既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该该选项错误；
选项B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故该选项错误；
选项C 既是轴对称图形，也是中心对称图形，故该选项正确；
选项D是轴对称图形，但不是中心对称图形，故该选项错误.故选C.
2.下列各数中，是无理数的是（ ）
A.B.C.D.5
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了无理数的识别，求一个数的立方根，解题关键是明确无理数的定义，掌握无理数常见形式．根据无理数定义逐个判断，即可解题．
【详解】解：A.是有理数，不符合题意；B.是有理数，不符合题意；
C.是无理数，符合题意；D.5是有理数，不符合题意；故选：C．
3.截至2025年5月10日，国产动画电影《哪吒之魔童闹海》全球累计票房已突破元人民币．将数据用科学记数法表示为（ ）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】【分析】本题考查了正整数指数科学记数法， “对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为正整数．”正确确定a和n的值是解答本题的关键．
详解】解：．故选：C．
4.下列运算正确的是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】根据二次根式的加法.完全平方公式.乘方和同底数幂相乘逐项判断即可．
详解】解：A.原式=，错误；B.原式=，正确；C.原式=，错误；
D.原式不能合并，错误．故选B．
5.某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（ ）
A.25B.26C.27D.30
【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可．
【详解】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多，故众数为．故选：B．
6.如图，已知直线，平分，，则的度数是（ ）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．由邻补角的定义得，由角平分线的定义得，最后根据得，即可得解．
【详解】解：，，
平分，，
，，故选：B．
7.直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（ ）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】【分析】本题考查函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减.上加下减直接求解即可得到答案．熟记函数图象的平移法则：左加右减.上加下减是解决问题的关键．
【详解】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为，即，故选：D
8.如图，圆锥底面圆的半径为3，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图的弧长，熟练掌握圆锥底面周长等于的长是解题的关键．根据底面周长等于的长，即可求解．
【详解】解：根据题意，的长．故选：B．
9.从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是（ ）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】【分析】本题考查了概率公式求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据概率公式求解即可．
【详解】解：从4名男生和6名女生的学号中随机抽取一个学号，抽到的学号为男生的概率是；故选：A．
10.二次函数（a，b，c是常数，）的图象如图所示，其对称轴为直线．下列选项正确的是（ ）
A.B.
C.D.当时，
【答案】C
【解析】【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据图象与y轴的交点可判断A；根据图象与x轴的交点可判断B.D；根据图象的开口方向.对称轴以及时的函数值可判断C，进而可得答案．
【详解】解：∵该函数图象与y轴负半轴相交，∴，故选项A结论错误，不符合题意；
∵该函数图象与x轴有两个交点，∴，故选项B结论错误，不符合题意；
∵该函数图象开口向上，对称轴为直线，∴，，即，
∵当时，，
∴，即，故选项C结论正确，符合题意；
∵该函数图象与x轴交点在和0之间，其对称轴为直线，
∴该函数图象与x轴的另一个交点在1和3之间，
∴当时，一部分，一部分，故选项D结论错误，不符合题意；故选：C．
二.填空题
11.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_________．
【答案】
【解析】【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得．
【详解】解：由题意可得，，，故答案为：．
12.分解因式：_____．
【答案】
【解析】【详解】解：先提取公因式2后继续应用完全平方公式分解即可：
原式，故答案为：．
13.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是______．
【答案】4【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系；设该方程的另一个根为，然后根据“”可进行求解．
【详解】解：设该方程的另一个根为，由关于x的一元二次方程的一个根是，
可得：，∴；故答案为：4．
14.如图，在△ABC中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点．若，则的度数为______．

【答案】30°
【解析】【分析】根据等腰三角形性质得到，，再由尺规作图得到垂直平分，从而由中垂线性质得到，进而，即可得到 ．
【详解】解：∵，，∴，，由尺规作图可知垂直平分，∴由中垂线性质可知，∴，，故答案为：30°．
15.在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，则的取值范围是________．
【答案】m＜3
【解析】【分析】根据反比例函数的增减性，列出关于m的不等式，进而即可求解．
【详解】解：∵在反比例函数的图象的每一支曲线上，函数值随自变量的增大而增大，
∴m-3＜0，即：m＜3．故答案是：m＜3．
16.如图，是一个盛有水的容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．

【答案】
【解析】【分析】过点作于点，交于点，则，依题意，得出，进而在中，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，交于点，则，

∵水的最深处到水面的距离为，的半径为．
∴，
在中，∴故答案为：．
三.解答题
17.计算：．
【答案】4
【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
18.解不等式组：，并求其整数解．
【答案】，不等式组的整数解为
【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：，
由①得：，解得：，
由②得：，解得：，
∴不等式组的解集为：．
∴不等式组的整数解为．
19.为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆的高度是，从侧面点测得显示牌顶端点和底端点的仰角分别是和．求路况显示牌的高度是多少米？（用含根号的式子表示结果）
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，在中，知道了已知角的对边，可用正切函数求出邻边的长；同理在中，知道了已知角的邻边，用正切值即可求出对边的长；进而由得解．
【详解】解：在中，，，
．
在中，，，（米，
．答：路况显示牌的高度约为．
20.某学校为落实国家15分钟课间政策，丰富学生的课间生活，随机抽取学生开展“你最喜爱的课间活动是___________”的问卷调查，要求学生必须从“A（体育竞技类）.B（轻松游戏类）.C（自由交流类）.D（艺术创作类）”四种类型中选择一项，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
请你根据图中提供的信息，完成下列问题：
（1）本次调查的学生人数为___________人；
（2）在扇形统计图中，“A（体育竞技类）”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________度；
（3）补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
（4）若该校共有2000名学生，估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有多少人？
【答案】（1）100 （2） （3）见解析 （4）估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人
【解析】【分析】本题考查条形统计图.扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的关键．
（1）从两个统计图中可知，选择“B（轻松游戏类）”的人数是35人，占调查人数的，可求出调查人数；（2）求出选择“A（体育竞技类）”所占的百分比，即可求出相应的圆心角度数；
（3）用总人数减去A.B.D的人数，求出选择“C（自由交流类）”的人数，即可补全条形统计图；
（4）利用样本中“D（艺术创作）”的百分比估计总体2000人喜爱“D（艺术创作）”的学生的人数．
【小问1详解】解：（人），故答案为：100；
【小问2详解】解：，故答案为：；
【小问3详解】解：（人），补全条形统计图如下：
【小问4详解】解：（人），答：估计该校最喜爱“D（艺术创作）”的学生有500人．
21.如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．
【小问1详解】证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，
在和中，
，
∴；
【小问2详解】∵，为的角平分线，∴
由作图可得，∴，
∵，为的角平分线，
∴，
∴
22.随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车.2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车.3辆B型汽车的进价共计175万元．
（1）每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？
【答案】（1）每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；
（2）共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆；方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）．
（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解；
（2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案．
【小问1详解】设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元．
依题意，得解得
答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元；
【小问2详解】设购进型汽车辆，型汽车辆．
依题意，得，所以．因为，均为正整数，所以或
所以共两种购买方案，方案如下．
方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆．
方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆．
23.如图，在中，，过点作的平行线，使得，连接交于点，过点作的垂线分别交于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）当时，求与的长．
【答案】（1）证明见解析 （2），
【解析】【分析】（1）证明，得到，推出四边形是平行四边形，再根据，即可得证；
（2）设，得到，勾股定理求出，在和中利用锐角三角函数得到，进而求出的值，证明，列出比例式进行求解即可．
【小问1详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】解：∵，
∴设，则：，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即：，
解得：（舍去），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24.定义：若某个函数在某个条件只有最小值没有最大值，我们称这个函数为谷函数，这个最小值叫做谷值；若某个函数在某个条件下只有最大值没有最小值，我们称这个函数为峰函数．这个最大值叫做峰值：若某个函数在一定条件下既有最大值又有最小值，我们称这个函数为峰谷函数，这个最大值叫做峰值，最小值叫做谷值；若某个函数在一定条件下既没有最大值也没有最小值，我们称这个函数为非峰非谷函数：
（1）根据条件判断下列函数的类型，将代码（A谷函数；B峰函数；C峰谷函数；D非峰非谷函数）写在后面的括号内：
①函数；（ ）
②函数；（ ）
③函数（为全体实数）；（ ）
（2）若函数在实数范围内为峰函数，且经过点和点，其图象与轴交于.两点，且，求该函数的峰值；
（3）若函数（）在实数范围内为谷函数，函数图象经过点，且满足，求的最小值．
【答案】（1）..． （2） （3）
【解析】【分析】本题考查了新定义，一次函数.反比例函数.二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键；
（1）根据定义，结合反比例函数图象，一次函数图象，二次函数图象，分析判断，即可求解；
（2）根据定义，可得，根据经过点和点，，建立方程组，解方程组求得的值，得出解析式，进而化为顶点式，求得最大值，即可求解；
（3）根据定义，可得，根据经过点，得出，根据题意可得，设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，根据方程有实数根，得出的最小值为，，根据要使得的最小值．则同号，则，即可求解．
【小问1详解】解：①函数；没有最大值也没有最小值则是非峰非谷函数（）
②函数；既有最大值又有最小值，是峰谷函数（）
③函数开口向上，只有最小值没有最大值，是谷函数（为全体实数）；（）
故答案为：..．
【小问2详解】解：∵函数在实数范围内为峰函数，∴，
∵经过点和点，∴∴，
函数的图象与轴交于.两点，设
∴是方程的两个实数根，∴
又∵，∴∴即∴
∵，， ∴解得：（，正值舍去）∴
∴
∵
∴顶点坐标为，即该函数的峰值为；
【小问3详解】∵函数（）在实数范围内为谷函数，∴，
∵函数的图象经过点∴∴
又∵∴
设中，是最大的数，设是方程的两个实数根，
∴，∴
∵方程有实数根，
∴
设，
如图
∴当时，
∵，即最小值为
∴当取得最小值时，
∵要使得的最小值．则同号，
∴
∴的最小值为．
25.如图，已知扇形的半径为，圆心角为直角，点是劣弧上的一个动点，点是弦的中点，点是弦的中点，连接..．
（1）求的长（用含的代数式表示）；
（2）设的长度为，当点沿着劣弧从点开始，顺时针运动到点时，的外心所经过的路径的长度为；求的值：
（3）设弦.，连接，分别交.于.，记以线段..为三边的三角形的外接圆半径为；
①试求..之间的关系式．
②当四边形的面积最大时，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】（1） （2） （3）①；②
【解析】【分析】（1）可得为中位线，则，再由勾股定理求，即可求解；（2）连接， 由题意得：，可得点共圆，直径为，圆心为中点，则，即可求解；
（3）①过点作交延长线于点，先求出，则是弦的中点，点是弦的中点，则，则，那么，由，代入化简得到；②连接，连接交于点，先求出，则以线段..为三边的三角形为，那么，可得，则最大时，点到的距离最大即可，那么点为中点时，最大，则，化简得到，证明，则，化简得到，那么，故，代入即可求解．
【小问1详解】解：连接，
∵为的中点，∴，
∵，，∴，∴；
【小问2详解】解：连接，如图：
由题意得：，
∵为的中点，
∴由垂径定理得，
∴，
∴点共圆，直径，圆心为中点，
∴，
∴；
【小问3详解】解：①过点作交延长线于点，
∵，
∴，
∴
∵是弦的中点，点是弦的中点，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接交于点，
∵，
∴，
∵垂直平分，垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴以线段..为三边的三角形为，
∴，
由于等腰是轴对称图形，
∴，
∴，
∵不变，
∴最大，则最大，
∵不变，
∴点到的距离最大即可，
∴点为中点时，最大，
∴，即，
∴，
∴
∵点为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴．