广西壮族自治区百色市德保县德保高中2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

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1．B【详解】因为，故复数的共轭复数为.
故选：B.
2．答案为C
3．D【详解】，由三点共线，故存在实数，使，
即，即，解得. 故选：D.
4．答案：C
5．A【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的有颜色溶液，无论怎样转动，其液面总是过正方体的中心．
对于B，当过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，即静止时液面如图（1），故B正确；
对于C，当过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，即静止时液面如图（2），故C正确；
对于D，当过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，即静止时液面如图（3），故D正确；
6．B【详解】在中，由为的垂心，得，
由，得，
则，即，又，
显然，同理得，因此点为的外心，B正确，无判断ACD成立的条件. 故选：B
7．C【详解】如图所示，
延长到点使，连接，
又∵，∴(SAS)，
∴的面积等于的面积．
在中，由余弦定理得，
又，则，
∴． 故选：C．
8．C【详解】如图所示，作
，，，
可得，即，
利用向量的三角形法则，可知
若与O重合，则
若在O左侧，即在上时,
若在O右侧，即在上时，，显然此时最小，利用基本不等式（当且仅当，即为中点时取等号）
故选：C.
9．BD
10．BD【详解】对于A，复数的虚部是，选项A错误；
对于B，，选项B正确；
对于C，设，则，，，选项C错误；
对于D，设，、，则，
令，得且，所以，选项D正确．故选：BD．
11．BC【详解】是的重心，延长交于点，则是中点，
，A错；
由得，所以，
又，即
所以，所以，当且仅当时等号成立，B正确；
，当且仅当时等号成立，，
，C正确；
由得，所以，
，当且仅当时等号成立，所以的最小值是，D错． 故选：BC．
12．【答案】
13．13.
14． 【详解】由已知蛋巢的底面是边长为的正方形，
所以蛋巢过原正方形的四个顶点的平面截鸡蛋（球）所得的截面圆的直径为，
且蛋巢的高度为， 又球的半径为，
所以球心到截面的距离为，
故鸡蛋最高点与蛋巢底面的距离为 故答案为：.
15.
16.17.
18.
19.【答案】(1)证明见解析；
(2)点为的中点，理由见解析.
【分析】（1）利用平行四边形截面，由线线平行即可证明线面平行；
（2）要证明动直线和另一个平面平行，只需要证明动直线所在的平面与另一个平面平行即可.
【详解】（1）
取点为棱的中点，又因为点为棱的中点，所以，且，
又因为，且，所以
则四边形是平行四边形，即，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）

存在点为的中点，满足平面.
因为点为的中点，点为棱的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
再由平面，，平面，平面，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面.